云南省昆明市官渡区官渡区云大附中星耀学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份云南省昆明市官渡区官渡区云大附中星耀学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

班级 姓名 学号
诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次作业中，独立完成，诚实守信，作业真实有效．
学生签名：
一、选择题
1. 怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B. 通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的
C. “守株待兔”是随机事件
D. “垂直于弦的直径平分这条弦”是不确定事件
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了概率的意义，事件的分类，垂径定理等等，根据概率的意义可判断A、B；根据事件的分类和垂径定理即可判断C、D．
【详解】解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，原说法错误，不符合题意；
B、通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，原说法错误，不符合题意；
C、“守株待兔”是随机事件，原说法正确，符合题意；
D、“垂直于弦的直径平分这条弦”是确定事件，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
3. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义得到，根据一元二次方程有两个实数根得到，求出的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
又∵，
∴且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握根的判别式与方程的解的关系是解题的关键，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
4. 将抛物平移后得到抛物线，则下列平移正确的是（ ）
A. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
B. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，分别求出平移前后抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标判断出平移方式即可得到答案．
【详解】解：，
∴平移前抛物线的顶点坐标为，
∵平移后的抛物线顶点坐标为，
∴平移方式为：向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
故选：A．
5. 若方程（m﹣1）﹣x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A 0B. ±1C. 1D. ﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于m的一元二次方程，解之，代入m-1，计算求值，判断后即可得到答案．
详解】解：根据题意得：
m2+1＝2，
解得：m＝1或﹣1，
把m＝1代入m﹣1得：m﹣1＝0（不合题意，舍去），
把m＝﹣1代入m﹣1得：m﹣1＝﹣2（符合题意），
故选：D．
【点睛】此题考查一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题关键．
6. 某人画二次函数 的图象时，列出下表（计算没有错误）：
根据此表判断：一元二次方程 的一个根满足下列关系式中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系，观察表格可知，之间，y随x的增大逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的x的值在之间．
【详解】解：根据表格可知，时，对应的x的值在之间．
故选：B．
7. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )
A. x(x－1)＝2070B. x(x＋1)＝2070C. 2x(x＋1)＝2070D. ＝2070
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x=2070，
故选A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系是解决问题的关键．
8. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把它沿AC所在直线旋转一周，则所得几何体的侧面积是（ ）
A. 12πB. 15πC. 20πD. 36π
【答案】C
【解析】
【详解】 Rt△ABC沿AC所在直线旋转一周，所得几何体为圆锥，
母线AB的长=，
所以圆锥的侧面积=×2π×4×5=20π．
故选C．
9. 如图，点，，，在上，，，，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，，据此根据三角形内角和为180度即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
10. 如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 8米
【答案】A
【解析】
【分析】根据正常水位时水面宽米，求出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求出x即可；
【详解】解：∵米，
∴当时，，
当水位上升5米时，，
把代入得，，
解得，
此时水面宽米，
故选：A；
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据图形找出相关数据进行求值．
11. 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中成活情况的一组数据统计结果．下面三个推断：①当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以“移植成活”的概率是0．904；②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0．880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0．880；③若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0．875，则“移植成活”的概率是0．875．其中合理的是（ ）
A. ①③B. ②③C. ①D. ②
【答案】D
【解析】
【分析】根据统计图中的数据和频率与概率的关系，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以此时“移植成活”的频率是0.904，但概率不一定是0.904，故①错误，
随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0.880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0.880，故②正确，
若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0.875，则“移植成活”的概率也不一定是0.875，因为某一次或几次的频率太高或太低会影响估计概率，概率是一件事情发生的可能性，故③错误，
故选D.
【点睛】此题考查频率与概率，统计图，解题关键在于看懂图中数据.
12. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确
再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC
=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=，
∴选项A、C不一定正确，
∴∠A =∠EBC，
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选D．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
13. 如图，点 是上的三点，且四边形 是平行四边形，交圆 于点 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质以及圆周角定理，根据平行四边形的性质得和，结合圆的性质即可判定为等边三角形，根据等边三角形的性质可得，利用圆周角定理即可求得答案．
【详解】解：连接，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴为等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
由圆周角定理得．
故选：B．
14. 将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知，可用“降次法”求得的值是（ ）
A. 2B. 1C. 0D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】先根据例子求得x2=x+1，再代入x4-3x-1即可得出答案．
【详解】解：∵x2-x-1=0，
∴x2=x+1，
∴x4-3x-1=（x+1）2-3x-1
=x2+2x+1-3x-1
=x2-x
=x+1-x
=1，
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解及整体代入思想，将四次先降为二次，再将二次降为一次．
15. 已知二次函数的图象如图，且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ）
A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与轴的交点．由抛物线与轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，即可判断②；由抛物线与直线有一个交点，即可判断③；由、，可得出，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴，①正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
，，，
，
，②错误；
∵方程没有实数根，
，③正确；
，，
，④正确．
故选：C．
二、填空题
16. 若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝_____．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而即可求解．
【详解】解：∵点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，
∴b=-3，a-2=-a，
∴a=1，
∴a+b=-2．
故答案是：-2．
【点睛】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键．
17. 把一个正多边形绕它的中心旋转36°后能与原来的位置重合，则这个多边形的边数至少是_____．
【答案】10##十
【解析】
【分析】正多边形都是旋转对称图形，中心角即为最小的旋转角，（360°÷中心角度数）即为边数．
【详解】解：∵正多边形绕它的中心旋转36°后，能和原来的图形重合，
∴多边形的边数是：360°÷36°＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了旋转对称的知识，解答本题的关键是掌握旋转对称及旋转角的定义．
18. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，因曰：我亦无他，唯手熟尔．”可见技能通过反复苦练而达到熟能生巧．若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为_____．（结果保留π）
【答案】．
【解析】
【分析】直接利用几何概率的意义分别得出圆和正方形面积进而得出答案．
【详解】解：由题意可得，圆的面积为：π×22＝4π（cm2），正方形面积为：1×1＝1（cm2），
故油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了几何概率，正确理解概率的意义是解题关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当______时，与坐标轴相切．
【答案】1或3或5
【解析】
【分析】设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，证明出是等腰直角三角形，，然后分三种情况进行讨论：①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当点只与轴相切时．
【详解】解：设与坐标轴的切点为，
直线与轴、轴分别交于点、，点，
时，，
时，，
时，，
，，，
根据勾股定理：，，，
是等腰直角三角形，，
①当与轴相切时，
点是切点，的半径是1，
轴，，
是等腰直角三角形，
，，
，
点的速度为每秒个单位长度，
；
②如图，与轴和轴都相切时，
，
，
点的速度为每秒个单位长度，
；
③当点只与轴相切时，
，
，
点的速度为每秒个单位长度，
．
综上所述，则当或3或5秒时，与坐标轴相切，
故答案为：1或3或5．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的判定及性质，利用分类讨论的思想求解．
三、解答题
20. 用适当的方法解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进而解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
21. 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）．
（1）在图中标出△ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标；
（2）将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后，得到△A′B′C，画出旋转后的△A′B′C；
（3）求△ABC旋转过程中点A经过的路径长．
【答案】（1）见解析；D点坐标为（3，2）；（2）见解析；（3）π
【解析】
【分析】（1）先利用点A、B的坐标建立直角坐标系，根据三角形外心的性质得到AC的中点为D；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点 A′、B′即可；
（3）先计算出CA的长，然后根据弧长公式计算．
【详解】解：（1）如图，点D为所作，D点坐标为（3，2）；
（2）如图，△A'B'C为所作；
（3）CA，
所以△ABC旋转过程中点A经过的路径长＝．
【点睛】本题考查了三角形的外心定义、图形的旋转、弧长计算公式等知识点，较难的是题（3），正确找出图形的运动轨迹是解题关键．
22. 2022年9月，《劳动教育》成为一门教育部规定的独立课程． 官渡区某学校在校园开辟了一块劳动教育基地，小星和小耀两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，他们各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种，记种植辣椒为，种植茄子为 ，种植西红柿为 ．假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等． 记小星同学的选择为，小耀同学的选择为．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求 所有可能出现的结果总数；
（2）求两名同学选择种植同一种蔬菜的概率 ．
【答案】（1）9种 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率：
（1）根据题意列出树状图，即可得到答案；
（2）根据（1）列出的情况，找到两名同学选择种植同一种蔬菜的情况，进而根据概率计算公式得出概率即可．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
∴由树状图可知，共有9种情况，分别是：．
【小问2详解】
解：两名同学选择种植同一种蔬菜的情况有，共3种，
∴两名同学选择种植同一种蔬菜的概率，
23. 阅读下面的材料并完成解答
《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阁共六十步，欲先求阁步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：
（1）将四个完全相同面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 步；中间小正方形的面积为 平方步；
（2）若设矩形田地的宽为步，请你用小正方形的面积作为等量关系列式解决问题．
【答案】（1）60；144
（2）矩形田地的宽为24步
【解析】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的实际应用，一元二次方程的应用：
（1）根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解；再求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解小正方形的面积；
（2）设矩形田地的宽为x步，则长为步，从而可得小正方形的边长，再利用正方形的面积公式建立方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵矩形田地的面积为864平方步，它的长与宽之和为60步，
∴大正方形的边长为 60步，
∴大正方形的面积为平方步，
∴中间小正方形的面积为平方步，
故答案为：60；144；
【小问2详解】
解：设矩形田地的宽为x步，则长为步，
∴小正方形的边长为步，
∴小正方形的面积为平方步；
∴，
解得(舍去) ，
答：矩形田地的宽为24步．
24. 我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器，图1是它的示意图，其中 与半圆 的直径 在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等； 与 垂直于点 ，够长． 使用方法如图2所示，若要把 三等分，只需适当放置三分角器，使 经过 的顶点 ，点 在边 上，半圆 与另一边 恰好相切，切点为 ，则，就把 三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明． 请你根据已知和求证，写出证明过程．
已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点 ，，与半圆 相切于点 ．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】通过证明，得到，通过证明，得到，即可求解，
本题考查了全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质、判定定理．
【详解】解：，
，
又，
，
，
与半圆 相切于点 ，
，
，
，
，
．
25. 2024元旦前夕，幸福花店购进一批单价为4元/枝的玫瑰，按每枝10元的价格销售，每天能售出80枝． 经市场调查发现这种玫瑰的销售单价每降低1元，平均每天就能多售出40枝，
（1）为了吸引顾客前来购买这种玫瑰需要采用更低的价格，并使得销售玫瑰每天的利润达到600元，则店家应将其销售单价降低多少元？
（2）当这种玫瑰的销售单价降低多少元时，才能使该花店销售玫瑰每天所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）店家应将其销售单价降低3元
（2）这种玫瑰的销售单价降低2元时，才能使该花店销售玫瑰每天所获利润最大，最大利润是640元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的性质，
（1）根据题意可求得平均每天的销售量和一支玫瑰的利润，根据每天利润=一支玫瑰的利润每天的销售量，据此列一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可解题；
（2）在（1）所列的式子基础上，令总利润为，表示成二次函数形式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，即可解得最大值．
【小问1详解】
解：设每枝玫瑰降价元，则这种玫瑰平均每天就能多售出枝，那么平均每天的销售量为枝，且一支玫瑰的利润元，
根据题意得，，
整理得：，
即，
解得，，
为了吸引顾客，应取降低数值大的数，故舍去，
答：店家应将其销售单价降低3元可使得该玫瑰每天的利润达到600元．
【小问2详解】
设销售玫瑰每天所获利润为元，
则
，
二次函数图象开口向下，有最大值，
当时，最大值，
答：当这种玫瑰的销售单价降低2元时，才能使该花店销售玫瑰每天所获利润最大，最大利润是640元．
26. 如图，是的直径，弦（不是直径）交于点，且，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得，结合平行线的性质得，即可证明切线；
（2）连接，可得和的长，由直角证明，有，求得和，可知，利用即可求得．
【小问1详解】
证明：∵是直径，，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵是直径，
∴是的切线．
【小问2详解】
连接，如图，
由（1）知，则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，
∵，，
∴，
则．
【点睛】本题主要考查垂径定理、圆的切线、相似三角形的判定和性质、直径所对的圆周角是直角以及求阴影部分面积，解题的关键是熟悉圆的知识和三角形相似的性质．
27. 已知二次函数（为常数）．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）当 时，若 时，，求 的取值范围；
（3）当时，若函数（为常数）的图象的最低点到直线 的距离为2，求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或或或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数性质和绝对值的意义，
（1）将抛物线转化成顶点式求解即可；
（2）将代入抛物线求出解析式，然后根据二次函数的对称性得到当时，，最后根据时，，结合二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意分和两种情况讨论，根据函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为2列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线解析式为
∴该抛物线顶点坐标为；
【小问2详解】
∵，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线的对称轴为，顶点坐标为，开口向上，
∴抛物线最小值为4，
当时，，且当时，，
∵时，，
∴m的取值范围是；
【小问3详解】
∵抛物线的对称轴为，
①当时，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，图象取得最低点，代入抛物线解析式得，，
∵函数（为常数）图象的最低点到直线的距离为2，
∴，即或，
解得：或或或，
∵，
∴或或；
②当时，当时，函数的最低点为顶点，
∵函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，
∴，即或
∴解得：或
∵
∴；
综上所述，当或或或时，函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为2．