山东省菏泽重点学校2024届高三下学期开学考试数学试题（含解析）

这是一份山东省菏泽重点学校2024届高三下学期开学考试数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数，则复数其中表示z的共轭复数表示的点在上( )
A. x轴B. y轴C. D.
2.已知角和，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为( )
A. B. 2C. D.
5.一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩不相邻的站法种数是( )
A. 6B. 12C. 18D. 36
6.设抛物线的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在函数的部分图象中，若，则点A的纵坐标为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为6
D. 若，则
10.将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则( )
A. 该几何体的表面积为
B. 该几何体的体积为
C. 过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D. 直线平面BCE
11.已知函数恰有三个零点，设其由小到大分别为，，，则( )
A. 实数a的取值范围是
B.
C. 函数可能有四个零点
D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是____
13.已知，，则 ， .
14.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
在如图所示的中，有
求的大小；
直线BC绕点C顺时针旋转与AB的延长线交于点D，若为锐角三角形，，求CD长度的取值范围
16.本小题15分
如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，，点E，F分别为AB和PB的中点.
证明：
若，求直线CF与平面PBD所成角的正弦值.
17.本小题15分
随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.
若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
试求变量y与x的样本相关系数结果精确到
试求y关于x的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.
附：经验回归方程，其中，，样本相关系数;
参考数据：，
18.本小题15分
已知椭圆W：的右顶点为A，左焦点为F，椭圆W上的点到F的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆W过点记坐标原点为O，圆E过O、A两点且与直线相交于两个不同的点P，在第一象限，且P在Q的上方，，直线QA与椭圆W相交于另一个点
求椭圆W的方程；
求的面积．
19.本小题17分
已知函数
求曲线在点处的切线方程;
证明：是其定义域上的增函数;
若，其中且，求实数a的值.
答案解析
1.【答案】C
【解析】【分析】本题考察复数的几何意义和计算，属于基础题.
，进而判断即可.
【解答】，所以对应的点在直线上．
2.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查充要条件的判断，比较容易.
解题时要注意，要说明一个命题正确，应从理论上给出证明，要说一个命题错误，举出反例，即可判断.【解答】
解：当时，，不存在；又，时，，
所以“”是“”的既不充分又不必要条件.
故选
3.【答案】C
【解析】【解析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，
由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则，
所以，
所以圆锥的高，
圆锥的体积为22
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的性质重点考查双曲线的渐近线，点到直线的距离公式，属于较易题目，
利用双曲线渐近线的倾斜角，求出b，进而求出右焦点坐标，然后利用点到直线的距离求解即可.
【解答】解：因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，
所以该渐近线的方程为，所以2，
解得或舍去，所以，
此双曲线的右焦点坐标为，
到一条渐近线的距离为
5.【答案】B
【解析】【分析】本题考查环形排列问题，属于简单题.
直接根据环形排列问题写出答案即可.
【解答】解：不同的排列方法为：
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抛物线的性质和定义，属于一般题.
利用平面几何的知识，得出，则有，求出，即可求出结果.
【解答】
解：设抛物线的准线交x轴于点K，如图所示：
由抛物线的定义，
可知，
又因为，
所以，
在中，，
又，则，
因为，，
所以，解得
故选
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查对数式的化简求值，属于基础题.
根据题意得出利用，即可求出结果.
【解答】
解：因为，，，
所以
所以，
所以
故选
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角函数图像，考查诱导公式和二倍角公式，属于较难题.
先求出T点坐标，结合题意表示A，B坐标间关系，利用诱导公式和二倍角公式即可求解.
【解答】
解：由图可知点T纵坐标为，，则，，
设，，，
，，
，，
故选
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查向量的模、向量平行或垂直的判断、三角函数的最值，属于中档题.
利用向量共线的坐标运算判断A；利用向量垂直的坐标运算判断B；根据向量的模的运算判断
【解答】
解：，，
若，则，，故选项A正确；
若，则，
联立，解得，故选项B错误；
，
，其中，
时，取得最大值，故选项C正确；
若，则，即，
所以，故选项D正确．
故选
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查组合体表面积与体积、面面垂直、线面位置关系，属于中档题.
对于A，由几何体的表面由六个边长为1的等边三角形组成即得；对于B，求出一个正四面体的体积再乘2即得；对于C，由平面平面ABC即得；对于D，由AD与EF相交即得.
【解答】
解：对于A，该几何体的表面由六个边长为1的等边三角形组成，
其面积为，A正确；
对于B，正三棱锥的高为，
故其体积为，故组合体体积为，B错误；
对于C，设三角形ABC中心为O，连接DE，则O为DE中点，
易得，平面DBE，平面ABC，则平面平面ABC，C正确；
对于D，取BC中点F，连接EF，由对称性，AD与EF共面，
假设，则AD与平面ABC所成角和EF与平面ABC所成角相等，显然不成立，
故AD与EF相交，D错误.
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数零点，属于难题.
利用奇函数特征判断B；构造转化判断C；求导，结合代数运算判断D；结合图象特征判断
【解答】
解：对于B，，而为奇函数，
有三个根，，，则，且，B正确；
对于C，由，
，
所以，
所以，
所以，
当时，令，，
只需保证与的三个零点不等，可使有4个零点，C正确；
由B知，，
，
，
，D正确；
，，，
，，，，
，，A错误.
故选
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查元素与集合的关系，以及不等式的解法，属于基础题．直接由条件：且即2满足不等式，1不满足已知的不等式，代入得到关于a的不等式组，解之即可.
【解答】解：且，所以
所以
13.【答案】
；
【解析】【解析】
由得2，则2，
由得，则，
所以，
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查随机事件发生的概率，属于难题.
根据题意设i出发最终从1号口出的概率，由题意得到，即可求解.
【解答】
解：设从i出发最终从1号口出的概率，
，
则有，
整理得：，
解得，
故答案为：
15.【答案】方法一：由得，
两边同时平方可得：2B，
由22整理得2，解得或，
又，则
方法二：，则，
得或，又，则，
由得，则，由题可知，则，
设，则，
由余弦定理有CD222，所以，
由正弦定理有，
所以，
因为为锐角三角形，则得，
所以，则，
所以，
即CD的取值范围为

【解析】略
16.【答案】解：取PE中点G，连接DG，
由，，有是等腰直角三角形.
此时，又，所以
因为，所以
由，所以
此时，，有C，D，G，F四点共面，
因为，FG、平面CDGF，
所以直线平面
由平面CDGF，所以
由，，且，所以直线平面PDE
由，所以是等边三角形.
以E为原点，EB，ED所在直线分别为x轴、y轴，过点E且与平面ABCD垂直的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，，
，，
设平面PBD的法向量，
由，即，取，得到平面PBD的一个法向量
又，设直线CF与平面PBD所成角的大小为，
则，
所以直线CF与平面PBD所成角的正弦值为

【解析】本题考查了线面垂直的判定、线面垂直的性质和直线与平面所成角的向量求法，是中档题.
先证明直线平面CDGF，由线面垂直的性质即可得证；
建立空间直角坐标系，得出平面PBD的法向量，利用空间向量求解即可.
17.【答案】解：由已知可得，
，
又，
所以，，
则样本相关系数；
设y关于x的经验回归方程为，
其中，
，
所以y关于x的经验回归方程为，
把代入得万元
所以预测2024年2月份该公司的直播销售金额为万元.
【解析】本题考查了样本相关系数和回归直线方程，是中档题.
根据公式得出变量y与x的样本相关系数r；
根据公式得出和，可得y关于x的经验回归方程，代入可得预测值.
18.【答案】解：依题有，又a222，所以
所以椭圆W的方程为，
又点在椭圆W上，所以，
解得，
所以椭圆W的方程为
设P，Q，yPQ，，，
因为，所以yPQ，①
圆E过点O与A且与直线相交于两个不同的点P，Q，则圆心E的坐标为，
又，所以，
解得yPyQ，②
另法一：设直线与x轴交于点G，则有，
又，，所以yPyQ，②
另法二：由知，，yPQ，②
由①②解得yP，yQ，
所以，kAQ，
所以直线QA的方程为，
与椭圆方程联立消去y得7x2，
解得B点的横坐标xB，
所以，
又O到直线QA的距离，
所以的面积

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆的相关性质，属于较难题.
根据题意可得，结合椭圆W过点即可求解；
设P，Q，yPQ，根据可得yPQ，①根据可得yPyQ，②另法一：设直线与x轴交于点G，根据，可得yPyQ，②另法二：根据可得yPQ，②，联立①②解得yP，yQ，可得直线QA的方程为，联立直线与椭圆方程可得弦长，进而可解.
19.【答案】解：
，
故切线方程为：
定义域为
令，则，令，得
当时，，单调递减，，所以，单调递增;
当时，，单调递增，，所以，单调递增.
所以在和上都是增函数.
令，，令，得
当时，，单调递减;当时，，单调递增.
时，，，所以
时，，，所以
综上所述，是定义域上的增函数.
由可知，时，，所以，故
记，其中
令
由题意，时，时，
若，则当时，，不满足条件.
所以
令，
令，得
在单调递减，在单调递增.
若，则当时，，单调递减，
此时，不满足题意;
若，则当时，，单调递减，
此时，不满足题意;
若，则时，，单调增，，
且时，，单调增，，满足题意.
所以，解得：
综上所述：
【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，导数中的不等式，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．
求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；
定义域为，令，求导，判断其单调性，即可求解；
记，其中令求出函数的导数，令，求导，判断函数单调性，根据函数的单调性分类讨论即可求解.
年月
2023年
8月
2023年
9月
2023年
10月
2023年
11月
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12月
2024年
1月
月份编号x
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销售金额万元