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江苏省仪征中学2023-2024学年高三下学期期初调研测试数学试题
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这是一份江苏省仪征中学2023-2024学年高三下学期期初调研测试数学试题，共8页。试卷主要包含了若，则的最小值为，已知一组数据等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的展开式的常数项是（ ）
A.40 B.-40 C.20 D.-20
2.已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和抛物线分别交于两点，且，则（ ）
A.2 B. C. D.4
3.在中，“”是“”的（ ）条件
A.充分必要 B.充分不必要
C.必要不充分 D.既不充分也不必要
4.已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A.2 B. C.-2 D.
5.复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为系列､系列､系列，其中系列的幅面规格为：，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；，如此对开至规格.现有纸各一张，已知纸的幅面面积为，则这9张纸的面积之和是（ ）
A. B. C. D.
6.某大学计算机学院的丁教授在2024年人工智能方向招收了6名研究生.丁教授拟从人工智能领域的“语音识别”､“人脸识别”､“数据分析”､“机器学习”､“服务器开发”，共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习.其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A.480种 B.360种 C.240种 D.120种
7.若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.4
8.如图，已知正方体的棱长为2，棱的中点分别是，点是底面内任意一点（包括边界），则三棱锥的体积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ）
A.中位数不变 B.平均数不变
C.方差不变 D.第40百分位数不变
10.如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向作匀速圆周运动，每转一圈.则该质点到轴的距离是关于运动时间的函数，则下列说法正确的是（ ）
A.函数的最小正周期是
B.函数的最小正周期是
C.
D.
11.已知定义域为的函数满足以下条件：①对任意实数恒有；②当时，的值域是；③.则下列说法正确的是（ ）
A.值域为
B.单调递增
C.
D.的解集为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，则__________.
13.已知复数满足，则__________.
14.已知双曲线与直线交于两点（点位于第一象限），点是直线上的动点，点分别为的左､右顶点，当最大时，（为坐标原点），则双曲线的离心率__________.
四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
在中，内角的对边分别为.
（1）求角；
（2）若，求角的平分线的长度.
16.（本小题15分）
已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆的上顶点，是等边三角形，的内切圆的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点在轴负半轴上且，过的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
17.（本小题15分）
某地政府为推动旅游业高质量发展､加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服各方式，培育新业态､新产品､新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为.
（1）若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；
（2）若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为，求的分布列和数学期望.
18.（本小题17分）
设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求；
（2）证明：.
19.（本小题17分）
三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中为单位正交基底.以为坐标原点､分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.
（1）①若，求；
②证明：.
（2）记的面积为，证明：.
（3）证明：的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的6倍.
江苏省仪征中学2023-2024学年度第二学期高三数学期初调研测试
答案
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D 2.D 3.B 4.C 5.A 6.B 7.C 8.C
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.AD 10.AD 11.BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13.-8 14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
解：（1）由得.
由正弦定理得，
得，
得.
因为，所以，即，
又，所以.
（2）由余弦定理，，可得，
又，
即，则
16.（本小题15分）
解：（1）设椭圆的半焦距为.
因为的内切圆的面积为，所以的内切圆的半径为，
因为是等边三角形，所以，即，解得，则，
所以，则，则.
所以椭圆的方程为.
（2），则点，
由题意知直线的斜率存在且不为0.
设直线的方程为，
代入椭圆方程，整理得，
由，可得.
由韦达定理，得，
所以的面积
，
当且仅当，即时（此时适合的条件）取得等号.
故面积的最大值为.
17.（本小题15分）
解：（1）由题意知共有个团队，
一次抽取2个团队的情况有种，其中全是私家游团队的情况有种，
故一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率是，
整理得，解得或（舍去）.
若一次抽取的3个团队全是私家游团队，则共有种情况，
若一次抽取的3个团队全是跟团游团队，则共有种情况，
所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，这3个团队全是跟团游团队的概率
为.
（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.
，
.
故的分布列为
数学期望.
18.（本小题17分）
解：（1）函数的定义域为.将代入，解得，即，
由切线方程，则切线斜率.故，解得.
（2）证明：由（1）知，从而等价于.
设函数，则.所以当时，，当时，.
故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为.
设函数，从而在上的最大值为.故，即.
19.（本小题17分）
解：（1）①因为，则.
②证明：设，则，将与互换，与互换，与互换，
可得，故.
（2）证明：因为，
故，
故要证，只需证，
即证.
由（1），
故，
又，
，
则成立，故.
（3）证明：由（2），得，
故，
故的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的6倍.0
1
2
3
4
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的展开式的常数项是（ ）
A.40 B.-40 C.20 D.-20
2.已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和抛物线分别交于两点，且，则（ ）
A.2 B. C. D.4
3.在中，“”是“”的（ ）条件
A.充分必要 B.充分不必要
C.必要不充分 D.既不充分也不必要
4.已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A.2 B. C.-2 D.
5.复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为系列､系列､系列，其中系列的幅面规格为：，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；，如此对开至规格.现有纸各一张，已知纸的幅面面积为，则这9张纸的面积之和是（ ）
A. B. C. D.
6.某大学计算机学院的丁教授在2024年人工智能方向招收了6名研究生.丁教授拟从人工智能领域的“语音识别”､“人脸识别”､“数据分析”､“机器学习”､“服务器开发”，共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习.其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A.480种 B.360种 C.240种 D.120种
7.若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.4
8.如图，已知正方体的棱长为2，棱的中点分别是，点是底面内任意一点（包括边界），则三棱锥的体积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ）
A.中位数不变 B.平均数不变
C.方差不变 D.第40百分位数不变
10.如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向作匀速圆周运动，每转一圈.则该质点到轴的距离是关于运动时间的函数，则下列说法正确的是（ ）
A.函数的最小正周期是
B.函数的最小正周期是
C.
D.
11.已知定义域为的函数满足以下条件：①对任意实数恒有；②当时，的值域是；③.则下列说法正确的是（ ）
A.值域为
B.单调递增
C.
D.的解集为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，则__________.
13.已知复数满足，则__________.
14.已知双曲线与直线交于两点（点位于第一象限），点是直线上的动点，点分别为的左､右顶点，当最大时，（为坐标原点），则双曲线的离心率__________.
四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
在中，内角的对边分别为.
（1）求角；
（2）若，求角的平分线的长度.
16.（本小题15分）
已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆的上顶点，是等边三角形，的内切圆的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点在轴负半轴上且，过的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
17.（本小题15分）
某地政府为推动旅游业高质量发展､加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服各方式，培育新业态､新产品､新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为.
（1）若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；
（2）若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为，求的分布列和数学期望.
18.（本小题17分）
设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求；
（2）证明：.
19.（本小题17分）
三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中为单位正交基底.以为坐标原点､分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.
（1）①若，求；
②证明：.
（2）记的面积为，证明：.
（3）证明：的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的6倍.
江苏省仪征中学2023-2024学年度第二学期高三数学期初调研测试
答案
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D 2.D 3.B 4.C 5.A 6.B 7.C 8.C
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.AD 10.AD 11.BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13.-8 14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
解：（1）由得.
由正弦定理得，
得，
得.
因为，所以，即，
又，所以.
（2）由余弦定理，，可得，
又，
即，则
16.（本小题15分）
解：（1）设椭圆的半焦距为.
因为的内切圆的面积为，所以的内切圆的半径为，
因为是等边三角形，所以，即，解得，则，
所以，则，则.
所以椭圆的方程为.
（2），则点，
由题意知直线的斜率存在且不为0.
设直线的方程为，
代入椭圆方程，整理得，
由，可得.
由韦达定理，得，
所以的面积
，
当且仅当，即时（此时适合的条件）取得等号.
故面积的最大值为.
17.（本小题15分）
解：（1）由题意知共有个团队，
一次抽取2个团队的情况有种，其中全是私家游团队的情况有种，
故一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率是，
整理得，解得或（舍去）.
若一次抽取的3个团队全是私家游团队，则共有种情况，
若一次抽取的3个团队全是跟团游团队，则共有种情况，
所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，这3个团队全是跟团游团队的概率
为.
（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.
，
.
故的分布列为
数学期望.
18.（本小题17分）
解：（1）函数的定义域为.将代入，解得，即，
由切线方程，则切线斜率.故，解得.
（2）证明：由（1）知，从而等价于.
设函数，则.所以当时，，当时，.
故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为.
设函数，从而在上的最大值为.故，即.
19.（本小题17分）
解：（1）①因为，则.
②证明：设，则，将与互换，与互换，与互换，
可得，故.
（2）证明：因为，
故，
故要证，只需证，
即证.
由（1），
故，
又，
，
则成立，故.
（3）证明：由（2），得，
故，
故的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的6倍.0
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