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微专题31　不等式-2024年高考数学二轮微专题系列

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这是一份微专题31　不等式-2024年高考数学二轮微专题系列，共20页。试卷主要包含了若a>b，则，故选A，下列函数中最小值为6的是等内容，欢迎下载使用。

1.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( )
A.{x|－1C.{x|x<－1}∪{x|x>2}D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
答案 B
解析法一因为A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，
所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
法二因为A＝{x|x2－x－2>0}，
所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
2.(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则( )
A.ln(a－b)>0 B.3a<3b
C.a3－b3>0 D.|a|>|b|
答案 C
解析由函数y＝ln x的图像(图略)知，
当0故A不正确；
因为函数y＝3x在R上单调递增，
所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；
因为函数y＝x3在R上单调递增，
所以当a>b时，a3>b3，
即a3－b3>0，故C正确；
当b3.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
答案 BC
解析因为ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)，
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x＋y)2－1＝3xy≤3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)，
解得－2≤x＋y≤2，
当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，
当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x2＋y2)－1＝xy≤eq \f(x2＋y2,2)，
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；
因为x2＋y2－xy＝1可变形为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(y,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)y2＝1，
设x－eq \f(y,2)＝cs θ，eq \f(\r(3),2)y＝sin θ，
所以x＝cs θ＋eq \f(\r(3),3)sin θ，
y＝eq \f(2\r(3),3)sin θ，
因此x2＋y2＝cs2θ＋eq \f(5,3)sin2θ＋eq \f(2\r(3),3)sin θcs θ＝1＋eq \f(\r(3),3)sin 2θ－eq \f(1,3)cs 2θ＋eq \f(1,3)
＝eq \f(4,3)＋eq \f(2,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，2))，
所以当x＝eq \f(\r(3),3)，y＝－eq \f(\r(3),3)时满足等式，
但是x2＋y2≥1不成立，所以D错误.
4.(2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.
答案 eq \f(4,5)
解析法一由题意知y≠0.
由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝eq \f(1－y4,5y2)，
所以x2＋y2＝eq \f(1－y4,5y2)＋y2＝eq \f(1＋4y4,5y2)＝eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y2)＋4y2))≥eq \f(1,5)×2eq \r(\f(1,y2)×4y2)＝eq \f(4,5)，
当且仅当eq \f(1,y2)＝4y2，即y＝±eq \f(\r(2),2)时取等号.
所以x2＋y2的最小值为eq \f(4,5).
法二设x2＋y2＝t＞0，则x2＝t－y2.
因为5x2y2＋y4＝1，
所以5(t－y2)y2＋y4＝1，
所以4y4－5ty2＋1＝0.
由Δ＝25t2－16≥0，
解得t≥eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t≤－\f(4,5)舍去)).
故x2＋y2的最小值为eq \f(4,5).
热点一不等式的性质及应用
不等式的常用性质
(1)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；
a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
(2)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd＞0.
(3)a＞b＞0⇒an＞bn，eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N，n≥2).
(4)a＞b，ab＞0⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b).
例1 (1)(多选)(2022·苏州模拟)若a＞b＞0＞c，则( )
A.eq \f(c,a)＞eq \f(c,b) B.eq \f(b－c,a－c)＞eq \f(b,a)
C.ac＞bc D.a－c＞2eq \r(－bc)
(2)(2022·长沙模拟)已知a，b，c满足a＞b＞c，且ac＞0，则下列选项中一定能成立的是( )
A.ab＞ac B.c(b－a)＞0
C.ab(a－c)＞0 D.cb2＞ca2
答案 (1)ABD (2)C
解析 (1)由于a＞b＞0＞c，
对于A：eq \f(c,a)－eq \f(c,b)＝ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b－a,ab)))>0，
故eq \f(c,a)－eq \f(c,b)＞0，∴eq \f(c,a)＞eq \f(c,b)，故A正确；
对于B：由于a＞b＞0，所以eq \f(b－c,a－c)＞eq \f(b,a)，故B正确；
对于C：当a＞b＞1时，ac对于D：由于a＞b＞0＞c，所以a－c＞b－c＞2eq \r(b（－c）)＝2eq \r(－bc)，故D正确.
(2)取a＝－1，b＝－2，c＝－3，
则ab＝2＜ac＝3，cb2＝－12＜ca2＝－3，排除A，D；
取a＝3，b＝2，c＝1，则c(b－a)＝－1＜0，排除B；
因为a＞b＞c，且ac＞0，所以a，b，c同号，且a＞c，
所以ab(a－c)＞0.
规律方法判断关于不等式命题真假的常用方法
(1)作差法、作商法.
(2)利用不等式的性质推理判断.
(3)利用函数的单调性.
(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题.
训练1 (1)(多选)(2022·广州模拟)设a，b，c为实数且a＞b，则下列不等式一定成立的是( )
A.eq \f(1,a)＞eq \f(1,b) B.2 023a－b＞1
C.ln a＞ln b D.a(c2＋1)＞b(c2＋1)
(2)设eq \f(1,2)＜a＜1，m＝lga(a2＋1)，n＝lga(1－a)，p＝lgaeq \f(1,2a)，则m，n，p的大小关系是( )
A.n＞m＞p B.m＞p＞n
C.p＞n＞m D.n＞p＞m
答案 (1)BD (2)D
解析 (1)对于A，若a＞b＞0，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，所以A错误；
对于B，因为a－b＞0，所以2 023a－b＞1，所以B正确；
对于C，函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，而a，b不一定是正数，所以C错误；
对于D，因为c2＋1＞0，所以a(c2＋1)＞b(c2＋1)，所以D正确.故选BD.
(2)因为eq \f(1,2)＜a＜1，
所以a2＋1－eq \f(1,2a)＝eq \f(2a3＋2a－1,2a)＞0，
eq \f(1,2a)－(1－a)＝eq \f(1－2a＋2a2,2a)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2),2a)＞0，y＝lgax为减函数，
所以m＜p，p＜n.
可得n＞p＞m.
热点二不等式的解法
不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)＞a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min＞a，x∈I；f(x)＜a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max＜a，x∈I.
(2)f(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立⇔当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方.
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.
例2 (1)已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b＜0的解集是( )
A.(－∞，－3)∪(2，＋∞) B.(－3，2)
C.(－∞，－2)∪(3，＋∞) D.(－2，3)
(2)若不等式x2－ax≥16－3x－4a对任意a∈[－2，4]都成立，则x的取值范围为( )
A.(－∞，－8]∪[3，＋∞)B.(－∞，0)∪[1，＋∞)
C.[－8，6]D.(0，3]
答案 (1)A (2)A
解析 (1)由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，
得b＝2a且a＜0，
则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b＜0可化为x2＋x－6＞0，
即(x＋3)(x－2)＞0，
解得x＜－3或x＞2，
所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞).
(2)由题意得不等式(x－4)a－x2－3x＋16≤0对任意a∈[－2，4]都成立，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－4）×（－2）－x2－3x＋16≤0，,（x－4）×4－x2－3x＋16≤0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2－5x＋24≤0，,－x2＋x≤0，))
解得x≥3或x≤－8.故选A.
易错提醒求解含参不等式ax2＋bx＋c＜0恒成立问题的易错点
(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况.
(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解.
(3)不考虑a的符号.
训练2 (1)已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)≥f(－3－x2)对任意x∈(0，3]恒成立，则a的取值范围为( )
A.[－1，＋∞) B.(3，＋∞)
C.[0，＋∞) D.[1，＋∞)
(2)若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)
C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)
答案 (1)D (2)A
解析 (1)由题意得，不等式－4x＋a≥－3－x2对任意x∈(0，3]恒成立，
所以a≥－x2＋4x－3对任意x∈(0，3]恒成立，
令g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
当x∈(0，3]时，g(x)∈(－3，1]，
所以a≥1，
即a的取值范围为[1，＋∞).故选D.
(2)不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，x∈(1，4).
令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，
所以g(x)＜g(4)＝－2，
所以a＜－2.
热点三基本不等式及其应用
基本不等式求最值的三种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值.
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值.
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋eq \f(A,g（x）)＋Bg(x)(AB＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.
例3 (1)(多选)(2022·青岛模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A.lg2a＋lg2b≥－2 B.ab＋eq \f(1,ab)≥eq \f(17,4)
C.eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≤3＋2eq \r(2) D.2a－b＞eq \f(1,2)
(2)(2022·湖北九师联盟质检)已知a>0，b≠0，且a＋|b|＝3，则eq \f(9,a)＋eq \f(b＋3,|b|)的最小值为________.
答案 (1)BD (2)3＋2eq \r(3)
解析 (1)lg2a＋lg2b＝lg2(ab)
≤lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)＝－2，A错误；
因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)＝eq \f(1,2)(当且仅当a＝b时取等号)，
所以0因为函数y＝x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))上单调递减，
所以ab＋eq \f(1,ab)≥eq \f(1,4)＋4＝eq \f(17,4)，B正确；
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2eq \r(2)(当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(a,b)时取等号)，
所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥3＋2eq \r(2)，C错误；
易知0所以－1所以2a－b>2－1＝eq \f(1,2)，D正确.选BD.
(2)eq \f(9,a)＋eq \f(b＋3,|b|)＝eq \f(9,a)＋eq \f(3,|b|)＋eq \f(b,|b|)，
当b>0时，eq \f(b,|b|)＝1，
当b<0时，eq \f(b,|b|)＝－1.
eq \f(9,a)＋eq \f(3,|b|)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,a)＋\f(3,|b|)))(a＋|b|)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12＋\f(9|b|,a)＋\f(3a,|b|)))≥eq \f(1,3)(12＋6eq \r(3))＝4＋2eq \r(3)，
当且仅当eq \f(9|b|,a)＝eq \f(3a,|b|)，
即a＝eq \f(3\r(3),\r(3)＋1)，|b|＝eq \f(3,\r(3)＋1)时等号成立，
所以当a＝eq \f(3\r(3),\r(3)＋1)，b＝－eq \f(3,\r(3)＋1)时，
eq \f(9,a)＋eq \f(b＋3,|b|)取得最小值，且最小值为3＋2eq \r(3).
易错提醒利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件：
(1)一正二定三相等，三者缺一不可；
(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.
训练3 (1)(2022·重庆质检)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则eq \f(x,x－1)＋eq \f(2y,y－1)的最小值为( )
A.3 B.eq \f(5,2)＋eq \r(6)
C.3＋eq \r(6) D.3＋2eq \r(2)
(2)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为( )
A.eq \r(2) B.2eq \r(2)
C.4 D.eq \f(9,2)
答案 (1)D (2)B
解析 (1)∵x＋y＝xy，
∴(x－1)(y－1)＝1，
∴eq \f(x,x－1)＋eq \f(2y,y－1)＝eq \f(（x－1）＋1,x－1)＋eq \f(2（y－1）＋2,y－1)＝3＋eq \f(1,x－1)＋eq \f(2,y－1)≥3＋2eq \r(\f(1,x－1)·\f(2,y－1))＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(1,x－1)＝eq \f(2,y－1)时等号成立，故选D.
(2)∵对任意m，n∈(0，＋∞)，
都有m2－amn＋2n2≥0，
∴m2＋2n2≥amn，
即a≤eq \f(m2＋2n2,mn)＝eq \f(m,n)＋eq \f(2n,m)恒成立，
∵eq \f(m,n)＋eq \f(2n,m)≥2eq \r(\f(m,n)·\f(2n,m))＝2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(m,n)＝eq \f(2n,m)即m＝eq \r(2)n时取等号，
∴a≤2eq \r(2)，故a的最大值为2eq \r(2)，故选B.
一、基本技能练
1.若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列说法正确的是( )
A.ac2＜bc2 B.eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)
C.eq \f(b,a)＞eq \f(a,b) D.a2＞ab＞b2
答案 D
解析当c＝0时，A不成立；
eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)＞0，即eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，B错误；
eq \f(b,a)－eq \f(a,b)＝eq \f(b2－a2,ab)＝eq \f(（b＋a）（b－a）,ab)＜0，C错误；
由a＜b＜0，得a2＞ab＞b2，D正确.
2.不等式eq \f(4,x－2)≤x－2的解集是( )
A.(－∞，0]∪(2，4]B.[0，2)∪[4，＋∞)
C.[2，4)D.(－∞，2)∪(4，＋∞)
答案 B
解析当x－2＞0，即x＞2时，(x－2)2≥4，
即x－2≥2，则x≥4，
当x－2＜0，即x＜2时，(x－2)2≤4，
即－2≤x－2＜0，∴0≤x＜2，
综上，0≤x＜2或x≥4.
3.(2022·泰安质检)若不等式ax2－x－c>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1答案 C
解析由题意可得－1和eq \f(1,2)是方程ax2－x－c＝0的两个根，且a<0，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(1,2)＝\f(1,a)，,－1×\f(1,2)＝－\f(c,a)，))
解得a＝－2，c＝－1，
则y＝cx2－x－a＝－x2－x＋2＝－(x＋2)(x－1)，其图象开口向下，与x轴交于(－2，0)，(1，0).故选C.
4.已知关于x的不等式x2－ax－6a2＞0(a＜0)的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且x2－x1＝5eq \r(2)，则a等于( )
A.－eq \r(5) B.－eq \f(3,2)
C.－eq \r(2) D.－eq \f(\r(5),2)
答案 C
解析 x2－ax－6a2＝(x－3a)(x＋2a)＞0，
∵a＜0，∴x＞－2a或x＜3a，
∴x2＝－2a，x1＝3a，
∴x2－x1＝－5a＝5eq \r(2)，∴a＝－eq \r(2).
5.已知函数f(x)＝eq \f(1,4)x＋eq \f(9,x－1)(x＜1)，下列结论正确的是( )
A.f(x)有最大值eq \f(11,4) B.f(x)有最大值－eq \f(11,4)
C.f(x)有最小值eq \f(13,2) D.f(x)有最小值eq \f(7,4)
答案 B
解析 f(x)＝eq \f(x－1,4)＋eq \f(9,x－1)＋eq \f(1,4)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,4)＋\f(9,1－x)))＋eq \f(1,4)≤－2eq \r(\f(1－x,4)·\f(9,1－x))＋eq \f(1,4)＝－eq \f(11,4)，当且仅当x＝－5时等号成立.
6.原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是( )
A.第一种方案更划算 B.第二种方案更划算
C.两种方案一样 D.无法确定
答案 B
解析设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升，则
方案一：两次加油平均价格为eq \f(40x＋40y,80)＝eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)，
方案二：两次加油平均价格为eq \f(400,\f(200,x)＋\f(200,y))＝eq \f(2xy,x＋y)≤eq \r(xy)，
故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.
7.设x＞y＞z，n∈N*，且eq \f(1,x－y)＋eq \f(1,y－z)≥eq \f(n,x－z)恒成立，则n的最大值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 C
解析因为x＞y＞z，n∈N*，
所以x－y＞0，y－z＞0，x－z＞0，
由eq \f(1,x－y)＋eq \f(1,y－z)≥eq \f(n,x－z)，
可得n≤(x－z)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－y)＋\f(1,y－z)))
＝[(x－y)＋(y－z)]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－y)＋\f(1,y－z)))
＝1＋1＋eq \f(y－z,x－y)＋eq \f(x－y,y－z)
≥2＋2eq \r(\f(y－z,x－y)·\f(x－y,y－z))＝4，
当且仅当x－y＝y－z时，上式取得等号，
由题意可得n≤4，即n的最大值为4.
8.已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,7)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,7)，＋∞))
答案 A
解析 x∈(0，2]时，
不等式可化为ax＋eq \f(3a,x)<2；
当a＝0时，不等式为0<2，满足题意；
当a>0时，不等式化为x＋eq \f(3,x)则eq \f(2,a)>2eq \r(x·\f(3,x))＝2eq \r(3)，
当且仅当x＝eq \r(3)时取等号，
所以a当a<0时，x＋eq \f(3,x)>eq \f(2,a)恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(\r(3),3))).选A.
9.(多选)(2022·泰州模拟)下列函数中最小值为6的是( )
A.y＝ln x＋eq \f(9,ln x) B.y＝6|sin x|＋eq \f(3,2|sin x|)
C.y＝3x＋32－x D.y＝eq \f(x2＋25,\r(x2＋16))
答案 BC
解析对于A选项，当x∈(0，1)时，ln x<0，
此时ln x＋eq \f(9,ln x)<0，故A不正确.
对于B选项，y＝6|sin x|＋eq \f(3,2|sin x|)≥2eq \r(9)＝6，
当且仅当6|sin x|＝eq \f(3,2|sin x|)，
即|sin x|＝eq \f(1,2)时取“＝”，故B正确.
对于C选项，y＝3x＋32－x≥2eq \r(32)＝6，
当且仅当3x＝32－x，
即x＝1时取“＝”，故C正确.
对于D选项，y＝eq \f(x2＋16＋9,\r(x2＋16))＝eq \r(x2＋16)＋eq \f(9,\r(x2＋16))≥2eq \r(9)＝6，
当且仅当eq \r(x2＋16)＝eq \f(9,\r(x2＋16))，即x2＝－7无解，
故D不正确.故选BC.
10.(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则( )
A.a2＋b2≥eq \f(1,2) B.2a－b＞eq \f(1,2)
C.lg2a＋lg2b≥－2 D.eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)
答案 ABD
解析因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以a＋b≥2eq \r(ab)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立，即有ab≤eq \f(1,4).
对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，故A正确；
对于B，2a－b＝22a－1＝eq \f(1,2)×22a，因为a＞0，所以22a＞1，即2a－b＞eq \f(1,2)，故B正确；
对于C，lg2a＋lg2b＝lg2(ab)≤lg2eq \f(1,4)＝－2，故C错误；
对于D，由(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)＝1＋2eq \r(ab)≤2，得eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)，故D正确.
综上可知，正确的选项为ABD.
11.函数y＝lg(c＋2x－x2)的定义域是(m，m＋4)，则实数c的值为________.
答案 3
解析依题意得，一元二次不等式－x2＋2x＋c＞0，
即x2－2x－c＜0的解集为(m，m＋4)，
所以m，m＋4是方程x2－2x－c＝0的两个根，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋m＋4＝2，,m（m＋4）＝－c，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1，,c＝3.))
12.若命题“∃x∈R，x2－2x＋m＜0”为真命题，则实数m的取值范围为________.
答案 (－∞，1)
解析由题意可知，不等式x2－2x＋m＜0有解，
∴Δ＝4－4m＞0，m＜1，
∴实数m的取值范围为(－∞，1).
二、创新拓展练
13.(多选)(2022·汕头模拟)已知正实数a，b满足a＋2b＝ab，则以下不等式正确的是( )
A.eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2 B.a＋2b≥8
C.lg2a＋lg2b<3 D.2a＋b≥9
答案 BD
解析对于A，因为正实数a，b满足a＋2b＝ab，
所以eq \f(a＋2b,ab)＝1，
即eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以A错误，
对于B，因为a>0，b>0，a＋2b＝ab，
所以a＋2b≥2eq \r(2ab)＝2eq \r(2（a＋2b）)，
当且仅当a＝2b时取等号，
所以(a＋2b)2≥8(a＋2b)，
因为a＋2b>0，
所以a＋2b≥8，
当且仅当a＝2b时取等号，所以B正确，
对于C，若lg2a＋lg2b<3，
则lg2a＋lg2b＝lg2(ab)<3＝lg28，
所以ab<8，所以a＋2b<8，而由选项B可知a＋2b≥8，
所以lg2a＋lg2b<3不成立，所以C错误，
对于D，因为正实数a，b满足a＋2b＝ab，
所以eq \f(a＋2b,ab)＝1，
即eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，
所以2a＋b＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq \f(2a,b)＋eq \f(2b,a)≥5＋2eq \r(\f(2a,b)·\f(2b,a))＝9，
当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(2a,b)，
即a＝b＝3时取等号，
所以D正确，故选BD.
14.(多选)(2022·全国名校大联考)若实数x，y满足2x＋2y＋1＝1，m＝x＋y，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(y－1)，则( )
A.x＜0且y＜－1 B.m的最大值为－3
C.n的最小值为7 D.n·2m＜2
答案 ABD
解析由2x＋2y＋1＝1，得2y＋1＝1－2x＞0，2x＝1－2y＋1＞0，所以x＜0且y＜－1，故A正确；
由2x＋2y＋1＝1≥2eq \r(2x·2y＋1)＝2eq \r(2x＋y＋1)，得m＝x＋y≤－3，
当且仅当x＝y＋1＝－1，即x＝－1，y＝－2时，等号成立，
所以m的最大值为－3，故B正确；
n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(y－1)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(y－1)))(2x＋2y＋1)＝5＋eq \f(2×2y,2x)＋eq \f(2×2x,2y)≥5＋2eq \r(\f(2×2y,2x)·\f(2×2x,2y))＝9，
当且仅当eq \f(2×2y,2x)＝eq \f(2×2x,2y)，即x＝y＝－lg23时，等号成立，
所以n的最小值为9，故C错误；
n·2m＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(y－1)))·2x＋y＝2y＋2x＋1＝2－3×2y＜2，故D正确.故选ABD.
15.(2022·湖南三湘名校联考)若两个正实数x，y满足x＋2y－xy＝0，且不等式x＋2y≥m2－7m恒成立，则实数m的取值范围为________.
答案 [－1，8]
解析由x＋2y－xy＝0，得eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq \f(x,y)＋eq \f(4y,x)≥8，当且仅当x＝4，y＝2时等号成立，
所以m2－7m≤8，解得－1≤m≤8.
16.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a，b，c∈R)的解集为{x|3＜x＜4}，则eq \f(c2＋5,a＋b)的取值范围为________.
答案 [4eq \r(5)，＋∞)
解析关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a，b，c∈R)的解集为{x|3＜x＜4}，
所以a＜0，
且3和4是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两实数根，由根与系数的关系知：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＋4＝－\f(b,a)，,3×4＝\f(c,a)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－7a，,c＝12a))(a＜0).
所以eq \f(c2＋5,a＋b)＝eq \f(144a2＋5,a－7a)＝－24a－eq \f(5,6a)≥
2eq \r(（－24a）·\f(5,－6a))＝4eq \r(5)(当且仅当－24a＝－eq \f(5,6a)，即a＝－eq \f(\r(5),12)时等号成立)，
所以eq \f(c2＋5,a＋b)的取值范围是[4eq \r(5)，＋∞).