微专题5　与平面向量有关的最值、范围问题-2024年高考数学二轮微专题系列

这是一份微专题5　与平面向量有关的最值、范围问题-2024年高考数学二轮微专题系列，共27页。

1.(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为eq \f(π,3)，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )
A.eq \r(3)－1B.eq \r(3)＋1
C.2D.2－eq \r(3)
答案 A
解析 法一 设O为坐标原点，a＝eq \(OA,\s\up6(→))，b＝eq \(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，
所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.
因为a与e的夹角为eq \f(π,3)，
所以不妨令点A在射线y＝eq \r(3)x(x>0)上，
如图，数形结合可知|a－b|min＝|eq \(CA,\s\up6(→))|－|eq \(CB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)－1.故选A.
法二 由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.
设b＝eq \(OB,\s\up6(→))，e＝eq \(OE,\s\up6(→))，3e＝eq \(OF,\s\up6(→))，
所以b－e＝eq \(EB,\s\up6(→))，b－3e＝eq \(FB,\s\up6(→))，
所以eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝0.
取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图.
设a＝eq \(OA,\s\up6(→))，作射线OA，使得∠AOE＝eq \f(π,3)，
所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|eq \(CA,\s\up6(→))|－|eq \(BC,\s\up6(→))|≥eq \r(3)－1.故选A.
2.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为( )
A.3B.2eq \r(2)
C.eq \r(5)D.2
答案 A
解析 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，则B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直线BD的方程为：y＝－2x＋2，
⊙C方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，2)，
则eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))＝(λ，2μ)，
又圆与直线BD相切，则半径r＝eq \f(2,\r(5)).
因为P点坐标可表示为x＝1＋rcs θ＝λ，
y＝2＋rsin θ＝2μ，
则λ＋μ＝2＋eq \f(r,2)sin θ＋rcs θ
＝2＋eq \f(\r(5)r,2)sin(θ＋φ)，
当sin(θ＋φ)＝1时，有最大值，为2＋eq \f(\r(5),2)×eq \f(2,\r(5))＝3.
3.(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.[－5，3]B.[－3，5]
C.[－6，4]D.[－4，6]
答案 D
解析 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则A(3，0)，B(0，4).
设P(x，y)，
则x2＋y2＝1，eq \(PA,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，4－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2－3x＋y2－4y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋(y－2)2－eq \f(25,4).
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))距离的平方，圆心(0，0)到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))的距离为eq \f(5,2)，
所以(eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→)))min＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－1))eq \s\up12(2)－eq \f(25,4)＝－4，
(eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→)))max＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋1))eq \s\up12(2)－eq \f(25,4)＝6，
即eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))∈[－4，6]，故选D.
4.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,1)＋
eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,2)＋…＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,8)的取值范围是________.
答案 [12＋2eq \r(2)，16]
解析 以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A1(0，1)，A2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，A3(1，0)，A4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，A5(0，－1)，
A6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，A7(－1，0)，A8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
设P(x，y)，
于是eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,1)＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,2)＋…＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,8)＝8(x2＋y2)＋8，
因为cs 22.5°≤|OP|≤1，
所以eq \f(1＋cs 45°,2)≤x2＋y2≤1，
故eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,1)＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,2)＋…＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,8)的取值范围是[12＋2eq \r(2)，16].
热点一 向量模的最值、范围
向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.
例1 (1)已知单位向量a，b满足|a－b|＋2eq \r(3)a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为( )
A.eq \f(\r(2),3)B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(2\r(2),3)D.eq \f(\r(2),2)
(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a＋b|＝1，则|c－b|的取值范围是________.
答案 (1)B (2)[eq \r(5)－1，eq \r(5)＋1]
解析 (1)由|a－b|＋2eq \r(3)a·b＝0，
得|a－b|＝－2eq \r(3)a·b，
两边平方，得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)2，
即6(a·b)2＋a·b－1＝0，
解得a·b＝－eq \f(1,2)或a·b＝eq \f(1,3).
因为|a－b|＝－2eq \r(3)a·b≥0，
所以a·b≤0，
所以a·b＝－eq \f(1,2)，
所以|ta＋b|＝eq \r(|ta＋b|2)
＝eq \r(t2＋1＋2ta·b)
＝eq \r(t2－t＋1)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))≥eq \f(\r(3),2).
(2)由a，b是单位向量，且a·b＝0，
则可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y).
∵向量c满足|c－a＋b|＝1，
∴eq \r(（x－1）2＋（y＋1）2)＝1，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
它表示圆心为C(1，－1)，半径为r＝1的圆，
又|c－b|＝eq \r(x2＋（y－1）2)，它表示圆C上的点P到点B(0，1)的距离，如图所示，
且|BC|＝eq \r(12＋（－1－1）2)＝eq \r(5)，
∴eq \r(5)－1≤|PB|≤eq \r(5)＋1，
即|c－b|的取值范围是[eq \r(5)－1，eq \r(5)＋1].
规律方法 模的范围或最值常见方法
(1)通过|a|2＝a2转化为实数问题；
(2)数形结合；
(3)坐标法.
训练1 (1)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值为________.
(2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为________.
答案 (1)5 (2)1
解析 (1)如图，以DA，DC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
则A(2，0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0，0)，
设P(0，b)(0≤b≤a)，
则eq \(PA,\s\up6(→))＝(2，－b)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(1，a－b)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＝(5，3a－4b)，
∴|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(25＋（3a－4b）2)≥5，
即当3a＝4b时，取得最小值5.
(2)法一 由题意可知，|a|＝|b|＝|c|＝1，
又∵a·b＝0且(a－c)·(b－c)≤0，
∴a·b－a·c－c·b＋|c|2≤0，
即a·c＋c·b≥1，
c·(a＋b)≥1，
故|a＋b－c|＝eq \r(（a＋b－c）2)
＝eq \r(a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c)
＝eq \r(3－2（a·c＋c·b）)≤eq \r(3－2×1)＝1.
法二 设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，
则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)·(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1，
故|a＋b－c|＝eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)＝eq \r(x2＋y2－2（x＋y）＋2)＝eq \r(3－2（x＋y）)，
∵x＋y≥1，∴|a＋b－c|≤eq \r(3－2)＝1，最大值为1.
热点二 向量数量积的最值、范围
数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解；(3)运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.
例2 (1)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.(－2，6)B.(－6，2)
C.(－2，4)D.(－4，6)
(2)如图，在扇形OAB中，OA＝2，∠AOB＝90°，M是OA的中点，点P在eq \(AB,\s\up8(︵))上，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为________.
答案 (1)A (2)4－2eq \r(5)
解析 (1)法一 如图，
取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，eq \r(3))，F(－1，eq \r(3)).设P(x，y)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，0)，且－1＜x＜3.
所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6).
故选A.
法二 eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(AP,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|·cs∠PAB＝2|eq \(AP,\s\up6(→))|cs∠PAB，
又|eq \(AP,\s\up6(→))|cs∠PAB表示eq \(AP,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小.
又eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \r(3)×2×cs 30°＝6，
eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝2×2×cs 120°＝－2，
故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))∈(－2，6)，故选A.
(2)如图，以O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))方向为x轴的正方向，eq \(OB,\s\up6(→))方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，则M(1，0)，B(0，2)，
设P(2cs θ，2sin θ)，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(1－2cs θ，－2sin θ)·(－2cs θ，2－2sin θ)＝4－2cs θ－4sin θ＝4－2(cs θ＋2sin θ)＝4－2eq \r(5)sin(θ＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中sin φ＝\f(\r(5),5)，cs φ＝\f(2\r(5),5)))，
所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为4－2eq \r(5).
规律方法 结合图形求解运算量较小，建立坐标系将数量积用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选择的变量要有可操作性.
训练2 (1)(2022·新余模拟)已知△ABC是顶角A为120°，腰长为2的等腰三角形，P为平面ABC内一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值是( )
A.－eq \f(1,2)B.－eq \f(3,2)
C.－eq \f(1,4)D.－1
(2)(2022·天津河西区模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，若点M在线段BD上，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CM,\s\up6(→))的最小值为( )
A.eq \f(3,5)B.－eq \f(9,20)
C.－eq \f(3,5)D.eq \f(9,20)
答案 (1)A (2)B
解析 (1)如图，以BC所在直线为x轴，
BC的垂直平分线DA为y轴，
D为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A(0，1)，B(－eq \r(3)，0)，C(eq \r(3)，0)，设P(x，y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，1－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)－x，－y)，
所以eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，
eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))＝2x2－2y(1－y)＝2x2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)≥－eq \f(1,2)，
当Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时，所求的最小值为－eq \f(1,2).
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，
因为AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，
所以B(2，0)，D(0，1)，C(1，1)，
设eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，0≤λ≤1，
所以M(2－2λ，λ)，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝(2－2λ，λ)，
eq \(CM,\s\up6(→))＝(1－2λ，λ－1)，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CM,\s\up6(→))＝(2－2λ)(1－2λ)＋λ(λ－1)＝5λ2－7λ＋2＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(7,10)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,20)，
当λ＝eq \f(7,10)时，eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CM,\s\up6(→))的最小值为－eq \f(9,20).
热点三 向量夹角的最值、范围
求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系.
例3 若平面向量a，b，c满足|c|＝2，a·c＝2，b·c＝6，a·b＝2，则a，b夹角的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
解析 设c＝(2，0)，a＝(x1，y1)，
b＝(x2，y2)，
设a，b的夹角为θ，
a·c＝2x1＝2⇒x1＝1，
b·c＝2x2＝6⇒x2＝3，
∴a＝(1，y1)，b＝(3，y2)，
a·b＝3＋y1y2＝2⇒y1y2＝－1⇒y2＝－eq \f(1,y1)，
∴cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(2,\r(1＋yeq \\al(2,1))·\r(9＋\f(1,yeq \\al(2,1))))＝eq \f(2,\r(10＋9yeq \\al(2,1)＋\f(1,yeq \\al(2,1))))≤eq \f(2,\r(10＋2\r(9yeq \\al(2,1)·\f(1,yeq \\al(2,1)))))＝eq \f(1,2)，
当且仅当y1＝±eq \f(\r(3),3)时，等号成立，
显然cs θ>0，即0