2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 2.2 基本不等式（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 2.2 基本不等式（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了基本不等式与其他知识综合，连用两次基本不等式等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 基本不等式常考形式
【例1-1】 (2023·河北石家庄·高三阶段练习）（多选）已知，，且，则（ ）
A．的最小值是1B．的最小值是
C．的最小值是4D．的最小值是5
【例1-2】 (2023·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（ ）
A．40B．C．42D．
【例1-3】 (2023·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．9B．C．10D．无最小值
【例1-4】 (2023·全国·高三专题练习）已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
【一隅三反】
1． (2023·海南）（多选）已知，是正实数，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则有最小值2 B．若，则有最大值5
C．若，则有最大值 D．有最小值
2． (2023·全国·高三专题练习（理））若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）已知三次函数在上单调递增，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为________.
考点二 基本不等式与其他知识综合
【例2-1】 (2023·河南许昌）若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】． (2023·全国·高三专题练习）设，则函数的最大值为___________．
【例2-3】 (2023·山东·广饶一中）直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点、在过点的直线上，若，，，则下列结论错误的是（ ）
A．为常数B．的最小值为
C．的最小值为D．、的值可以为，
【一隅三反】
1． (2023·江西·临川一中）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．2
2． (2023·江西·模拟预测（理））在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在m，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·安徽省舒城中学）如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·广东·广州六中高一期末）己知第二象限角的终边上有异于原点的两点，，且，若，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．4
5． (2023·江苏·扬州大学附属中学）不等式的解集为，则的最大值为____________.
6． (2023·安徽·合肥一中）已知圆的半径为3，，为该圆的两条切线，为切点，则的最小值为___________.
7． (2023·四川达州·一模（文））定义在上的函数满足，当时，.设在上最小值为，则___________.
考点三 连用两次基本不等式
【例3】 (2023·广东河源·模拟预测）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）若a，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
2． (2023·全国·高三专题练习）已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3.若a，b∈R，ab＞0，则eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为________．
2.2 基本不等式（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 基本不等式常考形式
【例1-1】 (2023·河北石家庄·高三阶段练习）（多选）已知，，且，则（ ）
A．的最小值是1B．的最小值是
C．的最小值是4D．的最小值是5
【答案】BC
【解析】由已知，得，则，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以选项A错误；
，当且仅当，时取等号，所以的最小值是，所以选项B正确；
，当且仅当时取等号，所以的最小值是4，所以选项C正确；
，当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以选项D错误．故选：BC．
【例1-2】 (2023·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（ ）
A．40B．C．42D．
【答案】D
【解析】
，
又，当且仅当时取“=”，则，
所以当时，的最大值为.故选：D
【例1-3】 (2023·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．9B．C．10D．无最小值
【答案】A
【解析】由，得，即，
所以：，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选：A
【例1-4】 (2023·全国·高三专题练习）已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】设，则，
当时，，所以函数在上为增函数，
∵ ∴ ，即，又，
∴ ，∴
当且仅当时等号成立，∵不等式对任意的正实数恒成立，∴ ，故选：D.
【一隅三反】
1． (2023·海南）（多选）已知，是正实数，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则有最小值2 B．若，则有最大值5
C．若，则有最大值 D．有最小值
【答案】AC
【解析】对于A，，，，
，当且仅当，即时取等号，则有最小值2，故A正确；
对于B，，，，，
当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；
对于C，，，，
，
当且仅当，即时取等号，则则有最大值，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；故选：AC
2． (2023·全国·高三专题练习（理））若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．故选：A．
3． (2023·全国·高三专题练习）已知三次函数在上单调递增，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在上单调递增，恒成立，
，，，，，
令，设，
则，
，，（当且仅当，即时取等号），
，即的最小值为.故选：.
4． (2023·全国·高三专题练习）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由知，，
当且仅当时，等号成立，则使不等式有解，只需满足即可，
解得故选：C
5． (2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为________.
【答案】
【解析】由，得，
设，其中.
则，从而，
记，则，
不妨设，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.
考点二 基本不等式与其他知识综合
【例2-1】 (2023·河南许昌）若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若直线被截得弦长为，说明圆心在直线：上，即，即，∴，
当且仅当，即时，等号成立．故选：D.
【例2-2】． (2023·全国·高三专题练习）设，则函数的最大值为___________．
【答案】
【解析】因为，，
函数，当且仅当等号成立．故最大值为．
【例2-3】 (2023·山东·广饶一中）直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点、在过点的直线上，若，，，则下列结论错误的是（ ）
A．为常数B．的最小值为
C．的最小值为D．、的值可以为，
【答案】B
【解析】如下图所示：
由，可得，，
若，，，则，，，
、、三点共线，，，故A正确；
所以，时，也满足，则D选项正确；
，当且仅当时，等号成立，C成立；
，当且仅当时，即，时等号成立，故B选项错误.故选：B
【一隅三反】
1． (2023·江西·临川一中）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．2
【答案】B
【解析】由函数的图象经过，则，即．
，当且仅当时取到等号．
故选：B．
2． (2023·江西·模拟预测（理））在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在m，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为q，
前三项的和为7，则，即，解得或（舍去），
又由，得，即，得，
所以，当且仅当时，等号成立，且m，，故选：B
3． (2023·安徽省舒城中学）如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由条件可得，
∵∴，
因为三点共线，∴，∴，
∵，∴，则；
当且仅当，即时取等号，故的最小值是；故选：C．
4． (2023·广东·广州六中高一期末）己知第二象限角的终边上有异于原点的两点，，且，若，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【解析】因为，所以，
又第二象限角的终边上有异于原点的两点，，所以，则，
因为，所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故选：B
5． (2023·江苏·扬州大学附属中学）不等式的解集为，则的最大值为____________.
【答案】
【解析】当时，即不等式的解集为，则，，
要使得有意义，此时，则；
当时，若不等式的解集为，则，即，
所以，，
因为，则，
当时，则，此时；
当时，则，令，则，
当且仅当时，等号成立.综上所述，的最大值为.故答案为：.
6． (2023·安徽·合肥一中）已知圆的半径为3，，为该圆的两条切线，为切点，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】如图所示，设（），，
则，，，
，
当且仅当即时等号成立，
∴的最小值是.
故答案为：．
7． (2023·四川达州·一模（文））定义在上的函数满足，当时，.设在上最小值为，则___________.
【答案】
【解析】当时，
因为，所以
当且仅当，即时，取等号；所以当时，；
又所以；
当时，则，所以；
又在上最小值为，所以
当时，则所以
即，所以
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，即所以.故答案为：.
考点三 连用两次基本不等式
【例3】 (2023·广东河源·模拟预测）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】（当且仅当，即时等号成立），
（当且仅当，即时等号成立）.
两个等号可以同时成立，的最小值为.故选：C.
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）若a，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【解析】，当且仅当时，等号成立；
又，当且仅当时，即，等号成立；
，解得，，
所以的最大值为
故选：A
2． (2023·全国·高三专题练习）已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得：，
又由，即有，，
当，分别取时，等号成立，即 的最小值为-5，故选：D
3.若a，b∈R，ab＞0，则eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为________．
【答案】4
【解析】因为ab＞0，所以eq \f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq \f(2\r(4a4b4)＋1,ab)＝eq \f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq \f(1,ab)≥2eq \r(4ab·\f(1,ab))＝4，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝2b2，,ab＝\f(1,2)))时取等号，故eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值是4.