2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 8.6 分布列与其他知识综合运用（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 8.6 分布列与其他知识综合运用（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共37页。试卷主要包含了与数列综合，与函数结合，与导数综合，与其他知识综合运用等内容，欢迎下载使用。


例题剖析
考点一 与数列综合
【例1】 (2023·福建·三明一中模拟预测）（多选）已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．第5次取出的球是红球的概率为D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是
【一隅三反】
1． (2023·广东·高三阶段练习）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：
依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（i）求（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
2． (2023·四川绵阳·三模（文））随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保留整数）
(2)若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程为，经计算该模型和第（1）问中模型的（为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；
(3)你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由．
参考数据：设，其中．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
3． (2023·重庆·二模）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：
求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；
(3)证明：．
附：经验回归方程系数：，；
参考数据：，，（其中，）．
.
考点二 与函数结合
【例2】 (2023·西南名校模拟）某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
（1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；
（2）已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示
假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，.
【一隅三反】
1．（2021高三上·威海期末）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于 份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验 次.二是混合检验，将 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 份血液检验的次数共为 次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为 ，而且各体检人是否患该疾病相互独立.
（1）若 ，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;
（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:
方案一:采用混合检验;
方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.
2． (2023·临沂模拟）在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全，保稳定的前提下有序恢复生产，生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：
在分析数据、描点绘图中，发现散点集中在一条直线附近，其中
附：①可能用到的数据；．
②对于一组数据，其回归直线ω=bv+a的斜率和截距的最小二乘估计值分别为b=i=1nviωi−nvωi=1nvi2−nv2，a=ω−bv
（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（2）按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅游．记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
3． (2023·湖北模拟）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余.江河不可障，飒沓入敌虚”将矩形棋盘视作坐标系 ，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从 移动到 或 .
（1）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率.
（2）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，每一步仅向 方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段 上次数 的数学期望.
考点三 与导数综合
【例3】 (2023·云南·昆明一中高三开学考试）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲贏了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
(1)若，则乙应该得多少奖金；
(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）
【一隅三反】
1． (2023·佛山模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．
（1）若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望；
（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．
2． (2023·湖南模拟）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
（2）假如企业包装时要求把2件优等品和(，且)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为B.
①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.
3． (2023·佛山模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．
（1）若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望；
（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．
考点四 与其他知识综合运用
【例4】 (2023·重庆模拟）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其中为一级果，为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
（1）由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）这批采摘的脐橙按2个特级果和n（，且）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．
①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；
②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为，求函数的最大值，及取最大值时n的值．
【一隅三反】
1． (2023·联合模拟）在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均末感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测.现有人，已知其中有2人感染病毒.
（1）若，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率；
（2）设采取“10合1检测法”的总检测次数为，采取“20合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由.
2． (2023·邵阳模拟）某跳绳训练队需对队员进行限时的跳绳达标测试.已知队员的测试分数y与跳绳个数x满足如下关系.测试规则：每位队员最多进行两次测试，每次限时1分钟，若第一次测完，测试成绩达到60分及以上，则以此次测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行两次，根据以往的训练效果，教练记录了队员甲在一分钟内时测试的成绩，将数据按，，，分成4组，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）计算a值，并根据直方图计算队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值；（同一组中的数据用该组区间中点值作为代表）
（2）将跳绳个数落入各组的频率作为概率，并假设每次跳绳相互独立，X表示队员甲在达标测试中的分数，求X的分布列与期望.
3． (2023·洛阳模拟）一商场为了解某商品的销售情况，对该商品30天的销售量统计后发现每天的销售量x（单位：件）分布在内，其中（，且n为偶数）的销售天数为；（，且n为奇数）的销售天数为．
（1）求实数a的值；
（2）当一天销售量不小于700时，则称该日为销售旺日，其余为销售不景气日．将销售天数按照销售量属于，，分成3组，在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，如果这3天来自X个组，求随机变量X的分布列与数学期望．喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
6
新能源乘用车年销售y（万辆）
50
78
126
121
137
352
144
4.78
841
5.70
380
528
1
2
3
4
5
232
98
60
40
20
质量指标值
频数
16
30
40
10
4
质量指标值k
利润y
t
旅游类别
城市展馆科技游
乡村特色游
齐鲁红色游
登山套票
游园套票
观海套票
套票价格x（元）
39
49
58
67
77
86
购买数量y（万人）
16.7
18.7
20.6
22.5
24.1
25.6
8.6 分布列与其他知识综合运用（精讲）（提升版）
考点呈现
例题剖析
考点一 与数列综合
【例1】 (2023·福建·三明一中模拟预测）（多选）已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．第5次取出的球是红球的概率为D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是
【答案】AC
【解析】依题意，
设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，
对于第次，取出红球有两种情况．
①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为，
对应，即，故B错误；
所以，
令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，
故，所以，故选项A，C正确；
第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为，
第3次取出球是红球的概率为，
前3次取球恰有2次取到红球的概率是，
故D错误；故选：AC．
【一隅三反】
1． (2023·广东·高三阶段练习）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：
依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（i）求（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
【答案】(1)喜爱足球运动与性别有关
(2)（i）；（ii）证明见解析，甲的概率大
【解析】（1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）
（i）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故．
（ii）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，
第次触球者不是甲的概率为，
则，
从而，
又，是以为首项，公比为的等比数列．
则，
∴，，
，故第19次触球者是甲的概率大
2． (2023·四川绵阳·三模（文））随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保留整数）
(2)若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程为，经计算该模型和第（1）问中模型的（为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；
(3)你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由．
参考数据：设，其中．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)越大，模型的拟合效果越好，用模型得到的预测值更可靠
【解析】(1)

关于的线性回归方程为 .
(2)若利用线性回归模型,可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为（万辆）
若利用模型,可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 （万辆）
(3)
,且越大,反映残差平方和越小,模型的拟合效果越好,
用模型得到的预测值更可靠.
3． (2023·重庆·二模）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：
求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；
(3)证明：．
附：经验回归方程系数：，；
参考数据：，，（其中，）．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)回归方程为，预测成功的总人数为465
(3)证明见解析
【解析】(1)由题知，的取值可能为1，2，3所以；
；；
所以的分布列为：
所以数学期望为.
(2)令，则，由题知：，，
所以，
所以，，
故所求的回归方程为：，
所以，估计时，；估计时，；估计时，；
预测成功的总人数为.
(3)
由题知，在前轮就成功的概率为
又因为在前轮没有成功的概率为
，
故.
考点二 与函数结合
【例2】 (2023·西南名校模拟）某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
（1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；
（2）已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示
假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，.
【答案】见解析
【解析】（1）由题意知，样本的平均数为，
所以，
.
所以质量指标k在区间之外的概率为.
因为，
则，
所以.
（2）由题意知，每件产品的平均利润为，，
易知函数的对称轴为，且二次函数开口向下，
所以当时，取得最大值，且
因为该生产线的年产量为100万个，
所以该生产线的年盈利的最大值为万元，因为845500，
所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资.
【一隅三反】
1．（2021高三上·威海期末）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于 份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验 次.二是混合检验，将 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 份血液检验的次数共为 次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为 ，而且各体检人是否患该疾病相互独立.
（1）若 ，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;
（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:
方案一:采用混合检验;
方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1）解：该混合样本阴性的概率是 ，
根据对立事件可得，阳性的概率为
（2）解：方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为 ，则 的可能取值为
，其分布列为:
则 ，
方案二:由题意分析可知，每组3份样本混合检验时，若阴性则检测次数为1，概率为 ，若阳性，则检测次数,4，概率为 ，
方案二的检验次数记为 ，则 的可能取值为 ，
;
其分布列为:
则 ，
，
当 或 时，可得 ，所以方案一更“优”
当 或 时，可得 ，所以方案一、二一样“优”
当 时，可得 ，所以方案二更“优”.
2． (2023·临沂模拟）在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全，保稳定的前提下有序恢复生产，生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：
在分析数据、描点绘图中，发现散点集中在一条直线附近，其中
附：①可能用到的数据；．
②对于一组数据，其回归直线ω=bv+a的斜率和截距的最小二乘估计值分别为b=i=1nviωi−nvωi=1nvi2−nv2，a=ω−bv
（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（2）按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅游．记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
【答案】见解析
【解析】（1）解：散点集中在一条直线附近，设回归直线方程为ω=bv+a
由v=16i=16vi=4.1，ω=16i=16ωi=3.05，则b=i=1nviωi−nvωi=1nvi2−nv2=75.3−6×4.1×3.05101.4−6×4.12=12a=ω−bv=3.05−12×4.1=1
变量关于的回归方程为
综上，y关于x的回归方程为
（2）解：由，解得，
乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”
则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，的可能取值为
的分布列为：
3． (2023·湖北模拟）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余.江河不可障，飒沓入敌虚”将矩形棋盘视作坐标系 ，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从 移动到 或 .
（1）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率.
（2）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，每一步仅向 方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段 上次数 的数学期望.
【答案】见解析
【解析】（1）解：从 出发4步以内到达 且不出棋盘的走法共有8种，其中 种为：
另外4种与以上4种关于直线 对称.
对于以上4种，记第 种路线的概率为 ，则：
， ，
， .
因此总概率为 .
（2）解：设马有 步从 走到 ， 步走到 .
则 ，解得 .
即马共走了 步，总路径数为
路径上经过的点可能在线段上的有 ，共5个.
因此 .
因此 ， ，
， ，
.
所以马停留在线段 上次数 的分布列为：
因此 的数学期望 .
考点三 与导数综合
【例3】 (2023·云南·昆明一中高三开学考试）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲贏了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
(1)若，则乙应该得多少奖金；
(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）
【答案】(1)252（元）
(2)事件A是小概率事件，理由见解析.
【解析】（1）设游戏再继续进行下去X局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
由题知，当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
所以乙赢得全部奖金的概率为，
所以乙应该得多少奖金为（元）.
（2）设游戏继续进行Y局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题知，当时，甲以赢，所以，
当时，甲以赢，所以，
甲获得全部奖金的概率，
所以，
所以，
，，
在上单调递减，所以，
故事件A是小概率事件.
【一隅三反】
1． (2023·佛山模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．
（1）若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望；
（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2、3，
则，，，
随机变量X的分布列如下：
则
（2）解：甲队只胜一场的概率为，
则．
故当时，，递增；
当时，，递增；
则
2． (2023·湖南模拟）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
（2）假如企业包装时要求把2件优等品和(，且)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为B.
①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：
，即，
样本方差，故，所以，
则优等品为质量差在内，即，
一等品为质量差在内，即，
所以正品为质量差在和内，即，
所以该企业生产的产品为正品的概率：.
（2）解：①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，
∴某箱产品抽检被记为B的概率为：.
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
，
所以，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
此时，解得：，
∴时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为.
3． (2023·佛山模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．
（1）若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望；
（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2、3，
则，，，
随机变量X的分布列如下：
则
（2）解：甲队只胜一场的概率为，
则．
故当时，，递增；
当时，，递增；
则
考点四 与其他知识综合运用
【例4】 (2023·重庆模拟）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其中为一级果，为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
（1）由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）这批采摘的脐橙按2个特级果和n（，且）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．
①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；
②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为，求函数的最大值，及取最大值时n的值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由分布图：
则，在内为优品
则
（2）解：①
②，且，
因为，且，由对勾函数知识可知：在上单调递减，当时，，所以，
因为，且
当时，，当时，，当时，，
∴最大值在时取得，可求得或，因为，所以，
求得
【一隅三反】
1． (2023·联合模拟）在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均末感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测.现有人，已知其中有2人感染病毒.
（1）若，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率；
（2）设采取“10合1检测法”的总检测次数为，采取“20合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1）解：对100个人采取“20合1检测法”需平均分为5组，先检测5次，
因为共检测25次，即2个感染者分在同一组；
只需考虑其中某位感染者所在的小组，
原题等价于：从99人中任选19人与他组成一组，
求选到的19人中有另一位感染者的概率，此概率为；
（2）解：若2个感染者分在同一组，则
，，
，，
若2个感染者分在不同小组，则
，，
，，
，，
令，
则，
即，
抛物线的对称轴为，
取得，取得，故，
综上，当时，采取“20合1检测法”更适宜.
2． (2023·邵阳模拟）某跳绳训练队需对队员进行限时的跳绳达标测试.已知队员的测试分数y与跳绳个数x满足如下关系.测试规则：每位队员最多进行两次测试，每次限时1分钟，若第一次测完，测试成绩达到60分及以上，则以此次测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行两次，根据以往的训练效果，教练记录了队员甲在一分钟内时测试的成绩，将数据按，，，分成4组，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）计算a值，并根据直方图计算队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值；（同一组中的数据用该组区间中点值作为代表）
（2）将跳绳个数落入各组的频率作为概率，并假设每次跳绳相互独立，X表示队员甲在达标测试中的分数，求X的分布列与期望.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题可得，
所以.
队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值为.
（2）解：X可能的取值为0，50，80，100.
，，
，
X的分布列为
3． (2023·洛阳模拟）一商场为了解某商品的销售情况，对该商品30天的销售量统计后发现每天的销售量x（单位：件）分布在内，其中（，且n为偶数）的销售天数为；（，且n为奇数）的销售天数为．
（1）求实数a的值；
（2）当一天销售量不小于700时，则称该日为销售旺日，其余为销售不景气日．将销售天数按照销售量属于，，分成3组，在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，如果这3天来自X个组，求随机变量X的分布列与数学期望．
【答案】见解析
【解析】（1）解：因为每天的销售量x（单位：件）分布在内，
其中（，且n为偶数）的销售天数为；
（，且n为奇数）的销售天数为．
所以当时的销售天数为，
当时的销售天数为，
当时的销售天数为，
当时的销售天数为，
当时的销售天数为，
所以
解得
（2）解：因为，
所以当时的销售天数为，当时的销售天数为，当时的销售天数为，
若在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天，
则这8天中有2天的销售量属于，有3天的销售量属于，有3天的销售量属于，
所以的取值为1，2，3，
所以随机变量X的分布列为：
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
6
新能源乘用车年销售y（万辆）
50
78
126
121
137
352
144
4.78
841
5.70
380
528
1
2
3
4
5
232
98
60
40
20
1
2
3
质量指标值
频数
16
30
40
10
4
质量指标值k
利润y
t
1
7
2
5
8
旅游类别
城市展馆科技游
乡村特色游
齐鲁红色游
登山套票
游园套票
观海套票
套票价格x（元）
39
49
58
67
77
86
购买数量y（万人）
16.7
18.7
20.6
22.5
24.1
25.6
1
2
3
P
1
2
3
4
5
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
0
60
80
100
P
0.01
0.22
0.44
0.33
1
2
3