2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 7.2 空间几何的体积与表面积（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 7.2 空间几何的体积与表面积（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了柱锥台表面积，柱锥台的体积，球的体积与表面积，空间几何的截面等内容，欢迎下载使用。

考点呈现
例题剖析
考点一 柱锥台表面积
【例1-1】 (2023·青海）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周 ，所得圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．32D．16
【例1-2】 (2023·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为( )
A． B． C． D．3
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·福建三明·模拟预测）如图所示的建筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼——二宜楼，其外形是圆柱形，圆楼直径为73.4m，忽略二宜楼顶部的屋檐，若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10m的圆锥的侧面积的，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为（ ）
A．16mB．17mC．18mD．19m
3． (2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．B．C．D．
考点二 柱锥台的体积
【例2-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23B．24C．26D．27
【例2-3】 (2023·湖北·高三阶段练习）已知四面体中，，则体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·江苏）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·广西桂林）一个三棱锥S-ABC的侧棱上各有一个小洞D，E，F，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=3：1，则这个容器最多可盛放原来容器的（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点三 球的体积与表面积
【例3】 (2023·甘肃省武威第一中学）如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·赣州市第三中学）已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·天津·耀华中学二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·山东青岛·二模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
考点四 空间几何的截面
【例4-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为2，侧面积为，则过顶点的截面面积的最大值等于（ ）
A．B．C．3D．2
【例4-2】． (2023·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
【一隅三反】
1． (2023·江西鹰潭·二模）《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为，侧面面积为，其体积的近似公式为，用此π的近似取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．15B．C．D．8
2． (2023·河南·方城第一高级中学）某中学开展劳动实习，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，要求切割面经过圆台的两条母线且使得切割面的面积最大.若圆台的高为，则切割面的面积为______；若圆台的高为，则切割面的面积为______.
3． (2023·青海·海东市第一中学）已知圆锥的底面直径为，过一母线的截面是面积的等边三角形，则该圆锥的体积为________．
7.2 空间几何的体积与表面积（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 柱锥台表面积
【例1-1】 (2023·青海）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周 ，所得圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．32D．16
【答案】A
【解析】以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径，高，故其侧面积．故选：A
【例1-2】 (2023·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为( )
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】如图，
，，，则，
设，，则，，则，
∴圆柱侧面积为：，当时取等号．故选：A．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，
所以顶点到底面圆圆心的距离为：，
所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为，
所以.故选：A.
2． (2023·福建三明·模拟预测）如图所示的建筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼——二宜楼，其外形是圆柱形，圆楼直径为73.4m，忽略二宜楼顶部的屋檐，若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10m的圆锥的侧面积的，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为（ ）
A．16mB．17mC．18mD．19m
【答案】A
【解析】底面直径为40m，高为10m的圆锥的母线长为，
所以该圆锥的侧面积为，
设二宜楼外层圆柱墙面的高度为，则由，解得
因为二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10m的圆锥的侧面积的，
所以二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为，
故选：A
3． (2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得圆锥体的母线长为，
所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，
所以此陀螺的表面积为（），故选：C
考点二 柱锥台的体积
【例2-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：因为是边长为的正三角形，所以外接圆的半径，
所以点到平面的距离，
为球的直径，点到平面的距离为，
此棱锥的体积为，
故选：A．
【例2-2】 (2023·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23B．24C．26D．27
【答案】D
【解析】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，则,
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为
则
则该几何体的体积为.故选：D.
【例2-3】 (2023·湖北·高三阶段练习）已知四面体中，，则体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设M为CD的中点，连接AM,BM,
设四面体A-BCD的高为h，则,
由于，故 ,
则,设，
则,
所以
，
当且仅当平面ACD与平面BCD垂直且即时取等号，故选：C
【一隅三反】
1． (2023·江苏）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，
又，则，所以，所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，所以.故选：C.
2． (2023·广西桂林）一个三棱锥S-ABC的侧棱上各有一个小洞D，E，F，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=3：1，则这个容器最多可盛放原来容器的（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，这个容器最多可盛放原来容器的比例为，设到平面的距离为，则.又，故
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取中点为,过作,且,因为平面ABC,所以平面.由于,故,进而可知,所以是球心,为球的半径.
由,又,当且仅当,等号成立,故此时,所以球半径,故,体积最小值为故选:C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,
所以，所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.
考点三 球的体积与表面积
【例3】 (2023·甘肃省武威第一中学）如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图.
设圆柱底面半径为，球的半径与圆柱底面夹角为，则，，
圆柱的高，
圆柱的侧面积为，
当且仅当时，，圆柱的侧面积最大，为，
球的表面积与圆柱的表面积之差为.故选：D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·赣州市第三中学）已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，点在底面内的射影点为等边的中心，
取线段的中点，连接，则，易知三棱锥的外接球球心在线段上，
设正三棱锥的外接球半径为，则，解得，
设正三棱锥的内切球的半径为，则，故，
平面，平面，，
易知，则，
所以，，故，所以，，
由勾股定理可得，
所以，正三棱锥是边长为的正四面体，
因此，正三棱锥的表面积为.
故选：B.
2． (2023·天津·耀华中学二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球球心，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，
所以，得，即，
所以，
所以，
因为∽，所以,
所以，得，
所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为
，
故选：A
3． (2023·山东青岛·二模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】连接,交于点,取的中点，则平面,,取的中点,连接,作,垂足为，如图所示
由题意可知，，所以,
所以,,所以,又,
所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为，
所以这个几何体的外接球的体积为.故选：B.
考点四 空间几何的截面
【例4-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为2，侧面积为，则过顶点的截面面积的最大值等于（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】D
【解析】由圆锥的母线长为2，侧面积为，假设底面圆周长为，因此，
故底面圆周长为，底面圆的半径为.
由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆直径的等腰三角形，因此轴截面的顶角是.故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，此时.故选：D
【例4-2】． (2023·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则球表面积
为，圆柱的表面积，
所以球与圆柱的表面积之比为，故A错误；
过作于，则由题可得，
设到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为，
则，，
所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，故B正确；
由题可知四面体CDEF的体积等于，点到平面的距离，
又，所以，故C正确；
由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，
则，
设，则，，
所以
，
所以，故D正确.故选：BCD.
【一隅三反】
1． (2023·江西鹰潭·二模）《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为，侧面面积为，其体积的近似公式为，用此π的近似取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．15B．C．D．8
【答案】D
【解析】若圆锥母线长为，底面半径为，则，故，
又，故，
而，则，可得，
所以，
若截面顶角，当截面为轴截面时，此时，
又截面面积为，故当时截面面积的最大值为8.
故选：D
2． (2023·河南·方城第一高级中学）某中学开展劳动实习，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，要求切割面经过圆台的两条母线且使得切割面的面积最大.若圆台的高为，则切割面的面积为______；若圆台的高为，则切割面的面积为______.
【答案】 2
【解析】解法一：如图，将圆台补成圆锥PO，设圆台的上、下底面半径分别为r，R，高和母线长分别为h，l，则.因为等腰梯形ABCD为过两条母线的截面，设.，则，得，则.①若，则，，当时，切割面的面积最大，最大面积；②若，则，，当时，切割面的面积最大，最大面积.
解法二：如图，设圆台上底面圆心为，下底面圆心为O，过两条母线的截面为四边形，可得四边形为等腰梯形.设，圆台的高，取，AB的中点分别为，D，连接，，OD，则四边形为直角梯形，过作交OD于点C.因为，，所以，，，，所以，所以.则.令，因为，所以，则，.①当时，，当且仅当，即时，.②当时，.令，则，，当时，取最大值3.此时.
故答案为：2；
3． (2023·青海·海东市第一中学）已知圆锥的底面直径为，过一母线的截面是面积的等边三角形，则该圆锥的体积为________．
【答案】
【解析】由题意知：圆锥的底面半径；
设圆锥的母线长为，则，解得：，
圆锥的高，圆锥的体积.
故答案为：.