备战2024高考数学艺体生一轮复习40天突破90分讲义专题03 等式与不等式的性质（原卷版+解析版）

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1、比较大小基本方法
2、不等式的性质
（1）基本性质
【方法技巧与总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
【题型归纳目录】
题型一：不等式性质的应用
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
题型四：不等式的综合问题
【典例例题】
题型一：不等式性质的应用
例1．（2023·全国·高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
例3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若则.
B．若则.
C．若，则
D．若，则
变式1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
变式2．（多选题）（2023·福建三明·模拟预测）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数性质进行判断．
3、小题可以用特殊值法做快速判断．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
例4．（2023·全国·高一）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
例5．（2023·湖南·高一课时练习）比较与的大小．
例6．（2023·全国·高三专题练习）设，，则s与t的大小关系是________.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小；
（2）已知a≠1且a∈R，试比较与的大小.
【方法技巧与总结】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
若，则；；；
若，则；；.
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知－3A．(1，3) B． C． D．
【方法技巧与总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.
题型四：不等式的综合问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．
例11．（2023·全国·高三专题练习）若,则将从小到大排列为______.
例12．（2023·全国·高三专题练习）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则的取值范围是_________.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·上海·高三专题练习）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若，，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
15．（2023·全国·高三专题练习）已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
18．（2023·上海·高三专题练习），，则的最小值是___________.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数、满足，，则的取值范围为______．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是___________.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为__________．
22．（2023·全国·高三专题练习）设、满足，则的最大值为______.
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向
可加性
同向同正
可乘性
可乘方性
专题03等式与不等式的性质
【考点预测】
1、比较大小基本方法
2、不等式的性质
（1）基本性质
【方法技巧与总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
【题型归纳目录】
题型一：不等式性质的应用
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
题型四：不等式的综合问题
【典例例题】
题型一：不等式性质的应用
例1．（2023·全国·高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于，不妨令，，可得，，故A不正确．
可得，，，故B不正确．
可得，，，故C不正确．
故选：D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A中，由，因为，可得，因为不确定，所以A错误；
对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误；
对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误；
对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确.
故选：D
例3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若则.
B．若则.
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【解析】若，则，又，则，A选项正确；
若，满足，但，不成立，B选项错误；
若，，满足，但，不成立，C选项错误；
，则，又，∴，即，D选项正确.
故选：AD
变式1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【解析】当时，如，时成立，A错；
若则一定有，所以时，一定有，B正确；
，但，C错；
，则，D正确．
故选：BD．
变式2．（多选题）（2023·福建三明·模拟预测）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】
因为，，所以，的符号不能确定，
当时，，故A错误，
因为，，所以，故B正确，
因为，所以，故C正确，
因为，所以，所以，所以，故D错误，
故选：BC
【方法技巧与总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数性质进行判断．
3、小题可以用特殊值法做快速判断．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
例4．（2023·全国·高一）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【解析】
（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
例5．（2023·湖南·高一课时练习）比较与的大小．
【解析】
,
<.
例6．（2023·全国·高三专题练习）设，，则s与t的大小关系是________.
【答案】
【解析】,
.
故答案为：.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小；
（2）已知a≠1且a∈R，试比较与的大小.
【解析】（1）∵a，b均为正实数，
∴，即≥.
（2）由.
①当a=0时，0，则；
②当a<1且a≠0时，0，则；
③当a>1时，0，则.
综上，当a=0时，；当a<1且a≠0时，；当a>1时，.
【方法技巧与总结】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
若，则；；；
若，则；；.
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，
所以，解得：，
因为，所以，
故选：A.
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故选：C.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
故，，得
故选：C
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则
解得，
∴，
又，，
∴即.
故选：B.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知－3A．(1，3)
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为－3【方法技巧与总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.
题型四：不等式的综合问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由于，且，
所以，，
，
所以.
故答案为：
例11．（2023·全国·高三专题练习）若,则将从小到大排列为______.
【答案】
【解析】，不妨令，
则有，
有，
即.
故答案为：.
例12．（2023·全国·高三专题练习）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.
【答案】
【解析】，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由题意得
解得
所以,
因为，
所以；
因为，
所以．
两式相加得，
故的取值范围是.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·上海·高三专题练习）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，则，故，A对B错；
，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）若，，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当，时，，但，故A错误；
因为在是单调递增函数，所以当，则，故B正确；
因为的定义域为，所以当时，不存在与，故C错误；
当时，，故D错误.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，，满足，但不满足，故A错误；
，，故B错误；
，，，，，故C正确；
，，故D错误．
故选：C．
4．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，因为，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以C错误，
对于D，若，则，所以D错误，
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，则A错误；当时，，则B错误；当时，，则C错误；当时，，当时，，当时，，则D正确.
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知：，又，则，显然异号，
又，所以.
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A显然错误，例如，；
时，由得，B错；
，但时，，C错；
，又，所以，D正确．
故选：D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，若，则，所以C错误，
对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确，
故选：D
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
由，得.
故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，则，即.所以A选项错误；
令，则，即，所以B选项错误；
令，则，所以C选项错误；
因为，由得，所以D选项正确.
故选:D.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，，，
故的取值范围是，
故选：C.
12．（2023·全国·高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，则，故A正确；
若，，满足，但此时，故B错；
因为，由不等式的可开方性，可得，故C正确；
因为函数为增函数，由可得，故D正确.
故选：B.
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】对A，由，得，当，时，A错误；
对B，当，时，B错误；
对C，由，得，根据基本不等式知，C正确：
对D，由，得，所以，因为，所以D正确．
故选：CD．
14．（2023·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
【答案】AD
【解析】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；
B. 当时，，故错误；
C.当时，故错误；
D.，因为，，，所以，故正确；
故选：AD
15．（2023·全国·高三专题练习）已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】对于非零实数，满足，则，
即，故A一定成立；
因为，故B一定成立；
又，即，所以，故C一定成立；
对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．
故选：ABC
16．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因为，，所以，的符号不能确定，
当时，，故A错误，
因为，，所以，故B正确，
因为，所以，故C正确，
因为，所以，所以，所以，故D错误，
故选：BC
17．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】选项A，由，可得，故选项A正确；
选项B，由可得，而，所以，故选项B错误；
选项C，由，可得，故选项C正确；
选项D，由可得，而，所以，故选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
18．（2023·上海·高三专题练习），，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】设，则，解得，
所以，，
因此，的最小值是.
故答案为：.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数、满足，，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】设，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
故答案为：.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】，，
，
，
的取值范围是：．
故答案为：.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为，所以，因为，
当时，，所以，所以；
当时，；
当时，；
综上可得，即
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）设、满足，则的最大值为______.
【答案】
【解析】，由于，，可得，，
由不等式的基本性质可得，即，
因此，的最大值为.
故答案为：.
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向
可加性
同向同正
可乘性
可乘方性