2023-2024学年河南省周口市扶沟县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省周口市扶沟县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. 2x4÷x3=2xB. (x3)4=x7C. x4+x3=x7D. x3⋅x4=x12
2.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )
A. x2−2x−3=x(x−2)−3B. x2−x+14=(x−12)2
C. m(a+b)=am+bmD. 2ab3=ab⋅2b
3.芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管.目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为( )
A. 1.4×10−8B. 14×10−7C. 0.14×10−6D. 1.4×10−9
4.若分式|x|−1x+1的值为零，则x的值是( )
A. 1B. −1C. ±1D. 2
5.下列各分式中是最简分式的是( )
A. 12(x−y)15(x+y)B. x2+y2x2y+xy2C. x2−y2(x+y)2D. y2−x2x+y
6.如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是( )
A. AB=DE
B. ∠A=∠D
C. AC=DF
D. AC/​/FD
7.一项工程，甲单独做需要m天，乙单独做需要n天，若甲、乙合作，需要几天能完成这项工程( )
A. (m+n)天B. m+n2天C. m+nmn天D. mnm+n天
8.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A. 7.5
B. 8
C. 15
D. 无法确定
9.若x2+2(m−3)x+49是一个二项式的平方，则m的值为( )
A. −4B. 10C. 4或−10D. −4或10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
10.计算：2−1+30= ______．
11.若代数式5x−2有意义，则实数x的取值范围是______．
12.我国平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×105t煤所产生的能量，北京陆地面积约是1.6×104km2，则在北京陆地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 t煤所产生的能量．
13.如图，将△ABC的BC边对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若∠A=65°，∠ACD=25°，则∠B= ______．
14.如图，O是射线CB上一点，∠AOB=60°，OC=6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度运动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)，当△POQ是等腰三角形时，t的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
化简(xx+1+xx−1)⋅x2−1x下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______；(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
16.(本小题12分)
计算：
(1)(x−2y)2−x(x−4y)；
(2)(x+3y−2)(x−3y+2)；
(3)(2ab2c−3)−2÷(a−2b)3；
(4)a2a−1−a−1．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm，BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，AE=2cm.求△AED的周长．
18.(本小题8分)
解分式方程：
(1)21−x+1x=0．
(2)xx−1+3(x−1)(x−4)=1．
19.(本小题8分)
为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵？
20.(本小题10分)
等式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq是数学学习中常见的代数模型．
(1)利用多项式的乘法法则推导这个等式．
(2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释．
(3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例如：分解因式x2+3x+2．

这样，我们也可以得到x2+3x+2=(x+1)(x+2)，请试着将多项式y2+7y−18分解因式．
21.(本小题10分)
阅读与思考
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和.巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：x2+4x−5=x2+4x+22−22−5=(x−2)2−9=(x+2+3)(x+2−3)=(x+5)(x−1)．
(1)解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解：
①x2−8x−9；
②x2+3x−4．
(2)深入探究：说明多项式x2−6x+12的值总是一个正数？
22.(本小题11分)
设n5−示是一个两位数，其中n是十位上的数字(1≤n≤9)，例如，当n=4时，n5−表示的两位数是45.观察以下等式：
①当n=1时，152=225=1×2×100+25；
②当n=2时，252=625=2×3×100+25；
③当n=3时，352=1225=3×4×100+25；
…
根据以上规律，解决下列问题
(1)写出第六个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明；
(3)运用：若n5−2与100n的差为2525.求n的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.2x4÷x3=2x，故此选项符合题意；
B.(x3)4=x12，故此选项不合题意；
C.x4+x3，无法合并，故此选项不合题意；
D.x3⋅x4=x7，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用整式的除法运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、符合因式分解的定义，故本选项正确；
C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
D、左边不是多项式，不是因式分解，故本选项错误；
故选：B．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算．
3.【答案】A
【解析】解：0.000000014=1.4×10−8．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键，直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【解答】
解：∵分式|x|−1x+1的值为零．
∴|x|−1=0，x+1≠0，
解得：x=1．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】解：A、原式=4(x−y)5(x+y)，所以A选项不符合；
B、x2+y2x2y+xy2为最简分式，所以B选项符合；
C、原式=(x+y)(x−y)(x+y)2=x−yx+y，所以C选项不符合；
D、原式=−(x+y)(x−y)x+y=−x+y，所以D选项不符合．
故选：B．
根据最简分式的定义对各选项进行判断．
本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
6.【答案】C
【解析】根据三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ABC≌△DEF，本题得以解决．
解：∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BC=EF，
又∵∠B=∠E，
∴当添加条件AB=DE时，在△ABC和△DEF中，
BC=EF∠B=∠EAB=DE,
∴△ABC≌△DEF(SAS)，故选项A不符合题意；
当添加条件∠A=∠D时，在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D∠B=∠EBC=EF,
△ABC≌△DEF(AAS)，故选项B不符合题意；
当添加条件AC=DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；
当添加条件AC/​/FD时，则∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，
∠ACB=∠DFEBC=EF∠B=∠E,
故△ABC≌△DEF(ASA)，故选项D不符合题意；
故选：C．
本题考查三角形的判定，解答本题的关键是明确三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】D
【解析】解：设工作量为1，则甲的效率为1m，乙的效率为1n，
甲、乙合作，需要11m+1n=1m+nmn=mnm+n天能完成这项工程，
故选：D．
设工作量为1，则甲的效率为1m，乙的效率为1n，依题意列出代数式即可求解．
本题考查了分式的混合运算，根据题意列出代数式是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A=90°，
∴AD⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
又∵BC=5，
∴S△BCD=12BC⋅DE=12×5×3=7.5．
故选：A．
如图，过点D作DE⊥BC于点E.利用角平分的性质得到DE=AD=3，然后由三角形的面积公式来求△BCD的面积．
本题考查了角平分线的性质．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
9.【答案】D
【解析】解：∵x2+2(m−3)x+49是一个二项式的平方，
∴x2+2(m−3)x+49=x2+2(m−3)x+72，
∴x2+2(m−3)x+49=(x±7)2，
∴x2+2(m−3)x+49=x2±14x+49，
∴2(m−3)=±14，
解得：m=−4或m=10，
故选：D．
根据题意利用完全平方公式的结构特征进行判断，即可求出m的值．
本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
10.【答案】32
【解析】解：2−1+30
=12+1
=32，
故答案为：32．
根据负整数指数幂和零指数幂计算即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．
11.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
12.【答案】2.08×109
【解析】首先根据题意列出代数式为1.3×105×1.6×104，然后根据同底数幂的乘法进行计算即可．
本题考查了列代数式及同底数幂的乘法法则，熟记同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．
13.【答案】45°
【解析】解：由折叠的性质可得：∠B=∠BCD，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=65°，∠ACD=25°，
∴65°+2∠B+25°=180°，
∴∠B=45°．
故答案为：45°．
由折叠得到∠B=∠BCD，根据三角形的内角和得∠A+∠B+∠ACB=180°，然后代入数据计算即可．
本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握折叠的性质是解题的关键．
14.【答案】2或6
【解析】解：∵∠AOB=60°，
∴∠AOC=120°，
由题意得CP=2t cm，OQ=t cm，
当点P在线段OC上时，OP=(6−2t)cm，
∵△POQ是等腰三角形，∠POQ=120°，
∴OP=OQ，即6−2t=t，
解得：t=2；
当点P在射线OB上时，OP=(2t−6)cm，
∵△POQ是等腰三角形，∠POQ=60°，
∴△OPQ是等边三角形，
∴OP=OQ，即2t−6=t，
解得：t=6；
故答案为：2或6．
分点P在线段CO上、点P在射线OB上两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查的是等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
15.【答案】② ③
【解析】解：(1)甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②；③；
(2)若选择甲同学的解法：
若选择甲同学的解法：
(xx+1+xx−1)⋅x2−1x
=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x+1)(x−1)]⋅x2−1x
=2x2(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)x
=2x；
若选择乙同学的解法：
(xx+1+xx−1)⋅x2−1x
=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
=xx+1⋅(x+1)(x−1)x+xx−1⋅(x+1)(x−1)x
=x−1+x+1
=2x．
(1)根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；
(2)若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：(1)(x−2y)2−x(x−4y)
=x2−4xy+4y2−x2+4xy
=x2−4xy+4y2−x2+4xy
=4y2．
(2)(x+3y−2)(x−3y+2)
=[x+(3y−2)][x−(3y−2)]
=x2−(3y−2)2
=x2−9y2+12y−4．
(3)(2ab2c−3)−2÷(a−2b)3
=c64a2b4÷b3a6
=c64a2b4×a6b3
=a4c64b7．
(4)a2a−1−a−1
=a2a−1−(a+1)
=a2a−1−(a+1)(a−1)a−1
=a2a−1−a2−1a−1
=a2−a2+1a−1
=1a−1．
【解析】(1)直接运用整式的混合运算法则计算即可；
(2)先将原式凑成平方差公式，在运用平方差公式以及整式的混合运算法则计算即可；
(3)先根据负整数次幂和积的乘方化简，然后再运用整式的除法运算法则即可解答；
(4)先通分、然后再计算即可．
本题主要考查了整式的混合运算、平方差公式、负整数次幂、积的乘方、分式的加减运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
17.【答案】解：∵BE=AB−AE=8−2=6(cm)，BC=6cm，
∴BE=BC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠CBD，
在△EBD和△CBD中，
BE=BC∠EBD=∠CBDBD=BD，
∴△EBD≌△CBD(SAS)，
∴DE=CD，
∴△AED的周长=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=5+2=7(cm)．
【解析】证△EBD≌△CBD(SAS)，得DE=CD，则△AED的周长=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形周长等知识，证明△EBD≌△CBD是解题的关键．
18.【答案】解：(1)去分母得：2x+1−x=0，
解得：x=−1，
检验：把x=−1代入得：x(1−x)≠0，
∴分式方程的解为x=−1；
(2)去分母得：x(x−4)+3=(x−1)(x−4)，
整理得：x2−4x+3=x2−5x+4，
解得：x=1，
检验：把x=1代入得：(x−1)(x−4)=0，
∴x=1是增根，分式方程无解．
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19.【答案】解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树(1+20%)x棵，
根据题意得：6000x−6000(1+20%)x=2，
解得：x=500，
经检验，x=500是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
【解析】设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树(1+20%)x棵，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)根据多项式的乘法：(x+p)(x+q)=x2+qx+px+pq=x2+(p+q)x+pq；
(2)如图示

大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长×宽=(x+p)(x+q)，
另一种是四块小长方形面积之和：x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq，
即(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq；
(3)y2+7y−18=(y−2)(y+9)．
【解析】(1)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可；
(2)画出图形，根据面积的不同求法证明即可；
(3)仿照题中给出的方法分解因式即可．
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握多项式乘多项式的法则、几何图形面积的求法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)①x2−8x−9
=x2−8x+42−42−9
=(x−4)2−25
=(x−4+5)(x−4−5)
=(x+1)(x−9)；
②x2+3x−4
=x2+3x+(32)2−(32)2−4
=(x+32)2−254
=(x+32+52)(x+32−52)
=(x+4)(x−1)；
(2)x2−6x+12=x2−6x+9+3=(x−3)2+3．
∵(x−3)2≥0．
∴(x−3)2+3>0．
∴多项式x2−6x+12的值总是一个正数．
【解析】(1)仿照例子运用配方法进行因式分解即可；
(2)利用配方法和非负数的性质进行说明即可．
本题考查了因式分解的应用，仔细阅读材料理解配方的方法是解题的关键．
22.【答案】652=4225=6×7×100+25
【解析】解：(1)当n=6时，652=4225=6×7×100+25；
故答案为：652=4225=6×7×100+25；
(2)n5−2=100n(n+1)+25，证明如下：
∵n5−2=(10n+5)2=100n2+100n+25=100n(n+1)+25=100n2+100n+25，
∴n5−2=100n(n+1)+25；
(3)∵n5−2与100n的差为2525，
∴100n2+100n+25−100n=2525
整理得：100n2=2500，
解得：n=±5，
∵1≤n≤9，
∴n=5．
(1)观察题干中式子的变化，根据变化规律，即可得到答案；
(2)根据题干中式子的变化规律，用代数式表达即可；
(3)由n5−2与100n的差为2525，列方程求解即可．
本题考查了找规律−数字类，完全平方式的应用，利用平方根的定义解方程，理解题意，找到规律是解题的关键．甲同学
解：原式=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x−1)(x+1)]⋅x2−1x……

乙同学
解：原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x……
《十字相乘法分解因式》
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数.(如图)