【九省联考题型】备战2024高考三模数学模拟训练卷04（原卷+解析版）

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1．一组数据，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ）
A．6.5B．7C．7.5D．8
【答案】C
【分析】先由平均数可求出，再根据中位数的定义判定即可.
【详解】由题意得，解得，
故这组数据的中位数为.
故选：C.
2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】由即可求解.
【详解】椭圆的离心率满足，即可解得.
故选：B
3．已知等差数列中，，则（ ）
A．24B．36C．48D．96
【答案】C
【分析】利用等差数列通项的性质，可求.
【详解】等差数列中，，
则.
故选：C.
4．设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【分析】对于A、D项，根据线面平行的性质可过作，可得，进而根据面面垂直的判定即可判断；对于B、C项，由已知可推出或，因此无法判断与的关系.
【详解】对于A项，因为，，所以，因为，过作平面与平面交线为，则，，因为，由面面垂直的判定定理可得，故A错误；
对于B项，因为，，所以或，又因为，所以与的位置关系不确定，故B项错误；
对于C项，因为，，所以或，又因为，所以与的位置关系不确定，故C项错误；
对于D项，因为，，所以，因为，过作平面与平面交线为，则，，因为，由面面垂直的判定定理可得，故D正确.
故选：D.
5．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种B．240种C．1092种.D．120种
【答案】A
【分析】根据给定条件先求出“射”不在第一次的“六艺”讲座不同的次序数，去掉“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的“六艺”讲座不同的次序数即可得解.
【详解】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为，
其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为，
于是得，
所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.
故选：A
【点睛】思路点睛：含有两个限制条件的排列问题，利用排除法，先让一个条件被满足，再去掉这个条件满足时另一个条件不满足的所有可能即可解决问题.
6．已知点是直线与的交点，则到直线距离的最大值为（ ）
A．3B．4C．D．6
【答案】B
【分析】求出必过点，发现两直线垂直，可得的轨迹为圆，则处理圆上一点到直线的最大距离问即可.
【详解】因为与，
所以与，
可得必过点分别为，
由可知垂直，垂足为，

则,可得在以为直径的圆上，
由可知圆心,半径
则圆心到的距离，
所以到直线距离的最大值为，
故选:B.
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两角和差和二倍角正切公式可构造方程求得，由，利用正余弦齐次式的求解方法可求得结果.
【详解】，，
解得：（舍）或，.
故选：B.
8．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.
【详解】设切点为，，连接，则，，
过点作⊥轴于点E，则，故，
因为，解得，
由双曲线定义得，所以，
在中，由余弦定理得，
化简得，又，
所以，方程两边同时除以得，
解得，所以离心率.
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).
二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数f(x)=sin(>0)满足:f()=2,f()=0,则( )
A．曲线y=f(x)关于直线对称B．函数y=f()是奇函数
C．函数y=f(x)在(,)单调递减D．函数y=f(x)的值域为[-2,2]
【答案】ABD
【分析】用辅助角公式化简,再利用,得出的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.
【详解】,所以函数的值域为,故D正确；
因为,所以,所以，
因为,所以,所以，
所以,即，
所以，
因为，
所以曲线关于直线对称,故A正确；
因为
即，
所以函数是奇函数,故B正确；
取,则最小正周期,故C错误.
故选：ABD
10．关于复数，下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据复数的模及复数的乘法判断B，C选项，根据复数的共轭复数判断D选项，结合共轭复数及模长判断A选项.
【详解】设，
,A选项正确;
,B选项错误;
,C选项正确；
,,
,
,D选项正确;.
故选:ACD.
11．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
【答案】ABD
【分析】对抽象函数采用赋值法，令、，结合题意可得，对A：令、，代入计算即可得；对B、C、D：令，可得，即可得函数及函数函数的性质，代入，即可得.
【详解】令、，则有，
又，故，即，
令、，则有，
即，由，可得，
又，故，故A正确；
令，则有，
即，故函数是奇函数，
有，即，
即函数是减函数，
令，有，
故B正确、C错误、D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到，再重新赋值，得到，再得到.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12．设集合且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得，分、、、分别求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，实数的取值范围是：.
故答案为：
13．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球球A和球，圆柱的底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球则球A的体积为 ，圆柱的侧面积与球B的表面积之比为 .
【答案】

【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的体积；根据球的表面积和圆柱的侧面积公式可求出圆柱的侧面积与球B的表面积之比.
【详解】设圆柱的底面半径为R，小球的半径为r，且，
由圆柱与球的性质知，
即，，
球A的体积为
（2）球B的表面积，
圆柱的侧面积，
圆柱的侧面积与球B的表面积之比为
故答案为：；
14．定义表示，，，中的最小值，表示，，，中的最大值则对任意的，，的值为 ．
【答案】
【分析】首先，设，从而得到关于m的限制条件，然后，得到m的最小值．
【详解】设，
、，
，，，
即，，可得，
，
，
即有m的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，注意不等式的性质的应用，属于难题．
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）函数在点处的切线斜率为．
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间和极值．
【答案】(1)2
(2)增区间为，减区间为，极小值，无极大值．
【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义，可得的值；
（2）求出，令，求得增区间，令，求得减区间，再根据极值的定义可得答案.
【详解】（1）
函数的导数为
在点处的切线斜率为，
，即，
；
（2）由（1）得，函数
，，
令，得，令，得，
即的增区间为，减区间为．
故在处取得极小值，无极大值．
16．（15分）当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．
(1)求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率；
(2)记选取的3个科技企业中BAT中的个数为，求的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望值为
【分析】（1）根据组合知识得到BAT中有1个和有0个的情况，从而求出相应的概率；
（2）求出的可能取值和对应的概率，求出分布列，得到期望值.
【详解】（1）选取的3个科技企业中，BAT中有1个的情况为种，
BAT中有0个的情况为种，
故BAT中至多有1个的概率为．
（2）由题意，的所有取值为，
，
，
所以的分布列为
．
17．（15分）如图，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于点，将沿折到位置，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用平行转化得垂直关系，再利用勾股定理计算证明线线垂直，然后利用线面垂直判定定理证明线面垂直，
（2）根据题意建立空间直角坐标系，利用法向量方法求二面角的余弦值.
【详解】（1）由已知得，，
又由得，故，
因此，从而.
由，得.
由得.所以,.
又已知，于是，
故.又，且，平面.
所以平面.
（2）如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
，.
设是平面的法向量，
则，即，令,可得.
设是平面的法向量，
则，即，令,可得 ，
设平面与平面的夹角为，
于是，
平面与平面的夹角的余弦值是.
18．（17分）已知点、、是抛物线上的点，且．
(1)若点的坐标为，则动直线是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由．
(2)若，求面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析，直线过定点；
(2).
【分析】（1）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由结合平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可得出、所满足的等式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标；
（2）分和两种情况讨论，在时，直接计算出的面积，在时，将的面积表示为的表达式，求出面积的取值范围，综合可得结果.
【详解】（1）解：设直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、，则且，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，同理，
，
所以，，可得，
故直线的方程为，
因此，直线过定点.
（2）解：由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，记线段的中点为点.
①当时，则、关于轴对称，此时线段的垂线为轴，
因为，则点为坐标原点，又因为，则为等腰直角三角形，
则的两腰所在直线的方程为，联立，解得或，
此时，，；
②当时，，，即点，
因为，则，
设点，其中且，，，
由已知可得
，
所以，，则，
直线的斜率为，可得，
所以，，当时，等式不成立，
所以，且，
所以，，则
，
所以，，
故.
综上所述，.
因此，面积的最小值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
19．（17分）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.
(1)判断、哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；
(3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.
注：、分别表示数集中的最小数与最大数.
【答案】(1)集合A不是规范数集；集合B是规范数集；
(2)证明见详解；
(3).
【分析】（1）根据元规范数集的定义，只需判断集合中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可；
（2）利用元规范数集的定义，得到，从而分类讨论、与三种情况，结合去绝对值的方法即可证明；
（3）法一：当时，证得，从而得到；当时，证得，从而得到；当时，分类讨论与两种情况，推得，由此得解；
法二：利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解.
【详解】（1）对于集合A：因为，所以集合A不是规范数集；
对于集合B：因为，
又，，，，，，
所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集.
（2）不妨设集合S中的元素为，即，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当时，等号成立；
综上所述：.
（3）法一：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，则，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当，使得，且，
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数的最小值为；
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数；
综上所述：范数的最小值.
法二：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
所以对于，同样有，则，
由（2）的证明过程与结论可得，，当且仅当时，等号成立，
即，，……，
所以范数
，
当且仅当时，等号成立，
所以范数的最小值.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解元规范数集的定义，得到，再将集合中的元素进行从小到大排列，利用分类与整合的思想进行讨论分析，从而得解.
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