（备战24高考数学）2.（回归教材）一元二次方程根的分布与应用

2.嵌套函数及应用一．基本原理：1.已知，且的两个具体的根，求根的个数，或者根据解的个数求参数范围.解法剖析：换元，最终转化为根的个数，这类问题由于一元二次方程的根最终可以求解，所以实际就转化成函数作图后找到交点个数，或者根据交点个数求参数即可2.已知函数，且知一元二次型方程根的个数，求参数的取值范围.解法剖析：换元，最终转化为一元二次方程根的分布.3.一元二次方程根的分布对一元二次方程（其中）和二次函数，有：（1）方程的个根都比小的充要条件是（2）方程的个根都比大的充要条件是（3） 方程的一根都在内，另一根在内的充要条件是（4）方程的个根都在内的充要条件是（5）方程的一根比大，一根比大，一根比小的充要条件是.（6）方程的个根都在外，且一根比小，另一根比大的充要条件是4.求解复合函数零点问题的技巧:（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像（2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围.二．典例分析题型1. 一元二次方程可求解例1．已知函数则方程在区间上的实根个数为（    ）A．8 B．10 C．16 D．18解析：由，可得或.当时，，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，.因为函数在区间上的图象是由在上的图象先向右平移2个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍得到的，作出函数在上的图象，如图所示：由图可知，方程在区间上根的个数分别为10，6. 故方程在区间上的实根个数为16. 故选：C例2.函数，方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．解析：由方程得或，则方程有6个不同的实根，等价于的图象与直线有6个不同的交点，当时，，则，令，得：，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故时，取极小值，当时，，当时，单调递增；当时，单调递减，且，根据以上信息，作出的大致图象如图，由图可知，的图象与直线有2个不同的交点，由题意，只需的图象与直线有4个不同的交点，则，综上得：的取值范围是．故选：A．题型2. 一元二次方程可不可求解例3.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）．A． B． C． D．解析：令，则，作的图象如图，设的零点为、，由图可知，要满足题意，则需在上有两不等的零点，则，解得．因此，实数的取值范围是. 故选：D.例4．已知函数，关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．解析：，所以在区间递增；在区间递减.所以有极大值，有极小值.结合，可画出的大致图象如下图所示.依题意，关于的方程有三个不相等的实数根，令，则，，方程有两个不相等的实数根，设为，，则，所以方程有一正根和一负根，无解，当为正时，根据图象可知，，即方程的正根在区间上，令，故，解得.故选：C例5．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围　　A． B． C． D．解析：令，则方程方程．如图是函数，的图象，根据图象可得：方程有8个相异实根方程．有两个不等实数解，且，．可得．故选：．例6．已知函数，，若关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，解析：，，的图象如下：设，则有三个不同的实数解，即为有两个根，若时，代入得，即，另一根为只有一个交点，舍去，若一个在上，一个在，上时，设，解得．故选：．例7．已知函数=则关于x的方程的解的个数的所有可能值为（    ）A．3或4或6 B．1或3 C．4或6 D．3解析：当时，，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，且当时，，当时，，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，且当时，，所以的大致图象如图所示，令，则方程必有两个不等根，设两根分别为（不妨设），且，当时，则，此时有1个根，有2个根，当时，则，此时有2个根，有1个根，当时，则，此时有0个根，有3个根，综上，对任意的，方程都有3个根，故选：D题型3. 型方程例8.已知函数，，则函数的零点个数为　　个．A．7 B．8 C．9 D．10解析：令得，令得或，解得或或．或或．作出的函数图象如图所示：由图象可知有4个解，有两个解，有4个解，共有10个零点．故选：．例9．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（ ）A．0 B． C． D．1解析：根据题意，令，为常数，可得，且，所以时有，将代入，等式成立，所以是的一个解，因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，所以可知函数有唯一解，又因为，所以，即，所以.故选：B.一般地，我们可得如下结论：若方程有个不同的实数根，且方程有个不同的实数根，则函数的零点共有个.至此，我们就将以复合函数为背景的命题原理和常见手法做了展示.当然，限于篇幅，很多题目并未来得及展示，读者只需细心体会本节的内容，我觉得就可以基本上解决有关复合函数的问题了.三．习题演练1．设，若函数为单调递增函数，且对任意实数，都有是自然对数的底数），则方程的解的个数为　　个．A．1 B．0 C．3 D．22．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．函数只有两个极值点B．方程有且只有两个实根，则的取值范围为C．方程共有4个根D．若，，则的最大值为2参考答案：1.解析：设，则，则条件等价为，令，则，函数为单调递增函数，函数为一对一函数，解得，，故，即，解得：，故选：．2.解析：对于，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，故选项正确；对于，由选项知，作出曲线及直线，如图，要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，所以方程有且只有两个实根，则的取值范围为，故选项错误；对于，由得：，解得，令，则，结合图象方程有两解，，，所以或，因为，所以，所以方程有两解；又因为，结合图象可知：也有两解，综上：方程共有4个根，故选项正确；对于，因为，而函数在上单调递减，因此当时，，当且仅当，所以t的最大值为2，故选项正确.故选：CD