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最新高考物理一轮复习【讲通练透】 第09讲 动态平衡 平衡中的临界与极值问题（练透）
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这是一份最新高考物理一轮复习【讲通练透】 第09讲 动态平衡 平衡中的临界与极值问题（练透），文件包含第09讲动态平衡平衡中的临界与极值问题练透教师版docx、第09讲动态平衡平衡中的临界与极值问题练透学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
1、有准备的去听，也就是说听课前要先预习，找出不懂的知识、发现问题，带着知识点和问题去听课会有解惑的快乐，也更听得进去，容易掌握;
2、参与交流和互动，不要只是把自己摆在“听”的旁观者，而是“听”的参与者。
3、听要结合写和思考。
4、如果你因为种种原因，出现了那些似懂非懂、不懂的知识，课上或者课后一定要花时间去弄懂。
其次，要学会记忆：
1、要学会整合知识点。把需要学习的信息、掌握的知识分类，做成思维导图或知识点卡片，会让你的大脑、思维条理清醒，方便记忆、温习、掌握。
2、合理用脑。
3、借助高效工具。学习思维导图，思维导图是一种将放射性思考具体化的方法，也是高效整理，促进理解和记忆的方法。最后，要学会总结：
一是要总结考试成绩，通过总结学会正确地看待分数。
1.摸透主干知识 2.能力驾驭高考 3.科技领跑生活
第09讲 动态平衡 平衡中的临界与极值问题
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·江西南昌·统考三模）如图所示，一条细线的一端与水平地面上的物体B相连，另一端绕过一轻质定滑轮与小球A相连，定滑轮用另一条细线固定在天花板上的点，细线与竖直方向所成的夹角为α，以下四种情况物体B均保持静止，则（ ）
A．若将物体B在地板上左移小段距离，α角将不变
B．若将物体B在地板上右移小段距离，α角将变小
C．若OB绳与地面夹角为，则α角为
D．若增大小球A的质量，α角将变小
【答案】C
【详解】AB．对小球A受力分析，受重力和拉力，根据平衡条件，有T=mg对滑轮分析，受三个拉力，如图所示，根据平衡条件可知，∠AOB=2α，
如果将物体B在水平地面上向左移动稍许，AB仍保持静止，绳子的拉力不变，则∠AOB减小，故α一定减小；同理，若将物体B在地板上右移小段距离，α角将变大，故AB错误；
C．若OB绳与地面夹角为，则∠AOB =60°，可得α角为，选项C正确；
D．增大小球A的质量，若B仍保持不动，系统仍处于静止状态，α角不变，故D错误。故选C。
2．（2023春·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考）筷子是我们每日所需的用餐工具。如图所示，用筷子夹质量为的小球，一双筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为，筷子夹住小球静止不动，若小球与筷子之间无摩擦，重力加速度g取，下列说法正确的是（ ）
A．两根筷子对小球合力大于
B．每根筷子对小球的压力为
C．仅将左边的筷子由图示位置逆时针缓慢转动到与竖直方向成，此过程左边筷子对小球的压力逐渐增大
D．若保持两筷子间的夹角不变，将两根筷子由图示位置同时逆时针缓慢转动，此过程中右边筷子对小球的压力逐渐减小
【答案】D
【详解】A．因为筷子夹住小球静止不动，小球与筷子之间无摩擦，可知小球处于平衡状态，故有两根筷子对小球合力等于5N，故A错误；
B．因为筷子和竖直方向的夹角均为，受力分析可得，小球收到的筷子的弹力方向与重力的方向成，即小球受到的左右筷子弹力方向互为，可知每根筷子对小球的支持力为
解得根据牛顿第三定律可得，每根筷子对小球的压力为5N，故B错误；
C．将仅将左边的筷子由图示位置逆时针缓慢转动到与竖直方向成，整个过程中小球保持平衡状态，由小球受力平衡，利用矢量三角形可知，即如图所示
可得此过程左边筷子对小球的压力先减小再增大，故C错误；
D．若将两根筷子由图示位置同时逆时针缓慢转动，受力分析可知，此过程右边筷子对小球的压力逐渐减小，故D正确。故选D。
3．（2023·宁夏·高三校级联考模拟）半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN。在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的截面图。现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止，则在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．Q对P的弹力逐渐增大B．Q所受的合力逐渐增大
C．MN对Q的弹力逐渐减小D．地面对P的摩擦力逐渐减小
【答案】A
【详解】ABC．对圆柱体Q受力分析，受到重力、板MN的支持力N1和半圆柱体P对Q的支持力N2，如图所示
由图可知，随着MN缓慢向右平移，N2与竖直方向的夹角不断增大，MN对Q的弹力N1逐渐增大，P对Q的弹力N2逐渐增大，但其所受合力一直为零，故A正确，BC错误；
D．对PQ整体受力分析，受到总重力、MN板的支持力N1，地面的支持力N3，地面的静摩擦力f，如图所示
根据共点力平衡条件可知，地面对P的摩擦力始终等于N1，所以地面对P的摩擦力逐渐增大，故D错误。
故选A。
4．（2023·北京·模拟预测）如图所示，质量为m的等腰直角三角板abc，用轻绳一端系着三角板a点，另一端固定于天花板，在三角板的c点作用水平拉力F，当系统处于平衡状态时，细绳与竖直方向夹角为30°，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳拉力大小为
B．外力F大小为
C．若保持外力F的方向不变，使三角板绕O点逆时针缓慢转动，则轻绳的拉力先增大后减小
D．若保持细绳拉力方向不变，使外力F逆时针缓慢转动，则外力F先减小后增大
【答案】D
【详解】AB．对三角板进行受力分析，受三力（重力mg、轻绳拉力T、外力F）而平衡，三角板处于平衡状态有；解得；选项AB错误；
C．三角板绕O点逆时针转动过程中，细绳与竖直方向的夹角（设为）增大，由平衡条件可知，轻绳拉力的大小故T必增大，选项C错误；
D．若保持细绳拉力方向不变，由于三角板处于平衡状态，作出力的示意图如图所示
当外力F逆时针转动时，其大小先减小后增大，选项D正确。故选D。
5．（2023·河南·高三名校联考）如图所示，在竖直平面内的固定光滑圆环上，套有一质量为m的小球，一轻绳通过光滑滑轮P连接小球A，绳的另一端用水平向左的力F拉绳，使小球缓慢上升一小段位移，图中O为圆心，为半径，P为的中点。在小球上升过程中，下列说法正确的是（ ）
A．绳的拉力先减小后增大
B．设长度为L，表示F的变化量，表示L的变化量，则比值不变
C．环对小球的弹力方向是沿半径背离圆心，大小恒为
D．环对小球的弹力方向是沿半径指向圆心，大小恒为
【答案】B
【详解】A．小球缓慢上升一小段位移的过程中，小球处于平衡状态，对小球进行分析受力分析如图所示
由于三角形ABC与三角形POA，可得当小球缓慢上升一小段位移的过程中，由于AP减小，则F减小，A错误；
B．由于小球缓慢上升一小段位移的过程中，根据分析可得解得，B正确；
CD．对小球受力分析可知，环对小球的弹力方向是沿半径背离圆心，根据关系解得
CD错误。故选B。
6．（2023·辽宁·校联考二模）如图为一个简易模型，截面为一内壁光滑的顶角为的等腰三角形框架，内部有一个小球，质量为m，其半径略小于内接圆半径，三角形各边有压力传感器，分别感受小球对三边压力的大小。此时边恰好处于水平状态，现使框架以C为轴在竖直面内顺时针缓慢转动，直到边竖直，则在转动过程中（ ）
A．边对球的弹力一直增大
B．边对球的弹力一直增大
C．边对球的弹力一直增大
D．边对球的弹力先变小后变大
【答案】C
【详解】在转动过程中，刚开始转动角度较小时，受力分析如图1，末状态受力分析如图2
边弹力垂直于边，边弹力垂直于边，由几何关系，则
在转动过程中，不变，由锐角变为钝角，由钝角变为直角，由
故边始终没有弹力，一直增大，先变大后变小。故选C。
7．（2022·贵州黔南·统考模拟预测）如图所示，带电性质相同且电荷量为的A、B两小球，A球被放在绝缘的水平台面上，B球被长为的轻绳悬于点，的距离等于的距离且夹角为，静电力常量为，两球可视为点电荷，若B球的电荷量在逐渐减小的过程中，则下列说法中正确的是（ ）
A．轻绳对B球的拉力不变
B．轻绳对B球的拉力逐渐增大
C．在电荷量还没减小时，A、B两球之间的静电力大小为
D．在电荷量还没减小时，A、B两球之间的静电力大小为
【答案】A
【详解】CD.对B球受力分析
根据库仑定律可得联立解得故CD错误；
AB.根据相似三角形受力分析可得则因为，，都不变，所以不变，A正确，B错误；故选A。
8．（2023·全国·八省八校模拟预测）如图所示，竖直绝缘杆上端固定一光滑小环O，底端紧套带电圆环B后固定在水平面上。轻绳一端绕过光滑定滑轮后连接沙桶C，另一端穿过O后连接一轻弹簧，弹簧另一端通过绝缘轻绳连接带电小球A（两端细绳与弹簧的轴线共线）。当A静止时，A与C等高，小球A与B的连线与OA垂直，OA与杆的夹角。若在沙桶中加入（或取出）细沙的同时，将A缓慢移至另一位置D（没有画出，OA与细杆不平行），释放后A与C仍然能够保持静止，已知A与B的电荷量不变，弹簧始终在弹性限度内且不会与O接触，则下列说法正确的是（ ）
A．小球A受静电力的大小可能减小
B．D点可能存在的位置均处于同一圆上
C．若取出细沙，平衡后杆右侧轻绳与细杆间的夹角会大于60°
D．若加入细沙，平衡后沙桶距地面的高度必定大于小球距地面的高度
【答案】B
【详解】A．对小球进行受力分析，由相似三角形可得由于联立可得由于、及电荷量、均不变，可知xAB不变，即A、B间距不变，故小球所受静电力大小不变，A错误；
B．由于A、B间距不变，所以D点可能存在的位置均处于同一圆上，B正确；
C．由于D点可能存在的位置均处于同一圆上，且已知当轻质细绳与细杆的夹角θ=60°时，细绳与该圆相切，则此时的夹角θ=60°为细绳与细杆间夹角的最大值，即细绳与细杆间的夹角不可能大于60°，C错误；
D．由于在沙桶中加入细沙，即mC增大时，LOA增大，小球的位置是下降的，但不知k的具体值，沙桶高度变化不确定，D错误。故选B。
9．（2023·安徽合肥·模拟预测）新疆是我国最大的产棉区，在新疆超过的棉田都是通过机械自动化采收。自动采棉机能够在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包，通过采棉机后侧可以旋转的支架平稳将其放下。放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在“V”形挡板上，两板间夹角为固定不变，“V”形挡板可绕P点在竖直面内转动忽略“V”形挡板对棉包的摩擦力，在使BP板由水平位置逆时针缓慢转动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当AP板水平时，棉包受到三个力的作用
B．棉包对AP板的压力一直增大
C．棉包对BP板的压力先减小后增大
D．当BP板转过时，棉包对AP板的压力大于棉包对BP板的压力
【答案】B
【详解】A．当AP板水平时，若BP对棉包有弹力，则棉包将向左运动，不能够保持平衡，因此BP对棉包没有弹力作用，可知当AP板水平时，棉包受到重力与AP板弹力两个力的作用，A错误；
BC．对棉包受力分析如图所示
则有棉包在转动过程中，夹角增大，减小，可知作用力增大，减小，根据牛顿第三定律可知棉包对AP板的压力一直增大，棉包对BP板的压力一直减小，B正确，C错误；
D．当BP板转至时，根据上述受力分析图可知此时棉包对AP板的压力等于棉包对BP板的压力，由于棉包对AP板的压力一直增大，棉包对BP板的压力一直减小，可知，当BP板转过时，棉包对AP板的压力等于棉包对BP板的压力，D错误。故选B。
10．（2023·山东·青岛高三调研）如图，为某装配车间自动安装设备，配件P吸附在电磁铁上，O为水平固定转轴，配件与电磁铁间磁力大小不变，方向垂直于；电磁铁绕转轴O逆时针缓慢转至其左侧对称位置处，释放配件并安装到位，转动过程中配件相对保持静止。在电磁铁缓慢转动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．配件与电磁铁间的弹力先减小后增大B．配件与电磁铁间的摩擦力先减小后增大
C．配件所受弹力与摩擦力的合力大小逐渐减小D．配件对电磁铁的作用力逐渐减小
【答案】C
【详解】AB．在电磁铁旋转到竖直线之前，设配件与电磁铁间磁力大小为F，OM与水平夹角为θ，配件受力如下图，由受力平衡可知
由于θ在增大，所以f在增大，N在减小；在电磁铁旋转到竖直线之后，OM与水平夹角为θ，配件受力如下图，由受力平衡可知
随着θ减小，所以f在减小，N在减小；所以，在电磁铁绕转轴O逆时针缓慢转至其左侧对称位置的过程中，配件与电磁铁间的弹力一直减小，摩擦力先增大后减小。AB错误；
C．由平衡条件知，配件所受弹力与摩擦力的合力大小始终与配件重力、电磁铁磁力的合力等大反向，由于重力与磁力二力大小不变，夹角一直增大，所以二力合力逐渐减小，C正确；
D．电磁铁对配件的作用力与配件的重力等大反向，保持不变，所以配件对电磁铁的作用力保持不变，D错误。故选C。
11．（2023·陕西·高三模拟预测）两个相同的灯笼由轻质细绳连接悬挂起来，为悬挂点，现在对灯笼施加一拉力（图中未画出），使段细绳偏离竖直方向的角度为。已知两灯笼的质量均为，虚线Ⅰ与细绳段垂直，虚线Ⅱ与细绳段垂直，虚线Ⅲ沿水平方向，虚线Ⅳ沿方向。不考虑其他外力，若要使对球施加的拉力最小，则此拉力（ ）
A．方向沿虚线Ⅰ，大小为B．方向沿虚线Ⅱ，大小为
C．方向沿虚线Ⅲ，大小为D．方向沿虚线Ⅳ，大小为
【答案】B
【详解】将两个灯笼看成一个整体，整体受到重力2mg、细绳OA的拉力及对B施加的拉力处于平衡状态，如图所示
可知当对B施加的拉力与细绳OA垂直，即沿虚线Ⅱ时，拉力最小，为故选B。
12．（2023·天津·模拟预测）质量均匀分布的光滑球A与B通过轻绳连接，跨过两轻质定滑轮悬挂于平台两侧，初始状态A球与水平面接触且有挤压，B球悬于空中，如图所示，不计轻绳和滑轮间的摩擦，若A发生均匀的少量膨胀后，两球仍能保持静止状态，则（ ）
A．两球的质量不可能相等B．水平面对平台一定有静摩擦力的作用
C．膨胀后平台侧面对A弹力变大D．膨胀后A对地面压力会变大
【答案】CD
【详解】A．对B分析，受到绳子的拉力和重力，则对A分析，受到重力mAg、绳子斜向右上的拉力T、平台的弹力F、水平面的支持力N，设为绳子与竖直方向的夹角，如图所示，该拉力T在竖直方向上的分力大小与地面的支持力N的合力大小等于其重力mAg，则有
即即由上式可知，则有两球的质量有可能相等，A错误；
B．对平台及A、B为整体，则整体在水平方向不受力作用，水平面对平台没有静摩擦力的作用，B错误；
CD．膨胀后，变大，则根据共点力平衡条件可得；由此可知，膨胀后变大，T不变，地面对A的支持力N变大，由牛顿第三定律可知，A对地面压力会变大；膨胀后平台侧面对A弹力F增大，选项CD正确。故选CD。
13．（2023·福建·高三预热卷）粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一个质量为的物块B，B与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另一端水平与一结点连接一个质量为m的小球A，右上方有一拉力F，初始夹角，如图所示。现让拉力F顺时针缓慢转动90°且保持α角大小不变，转动过程B、C始终保持静止。已知B与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．拉力F一直减小
B．BC间的摩擦力先减小再增大
C．物体C对地面的压力先减小再增大
D．物体C对地面的摩擦力的最大值为
【答案】AC
【详解】A．对题图右侧结点处受力分析，α角大小不变，可以使用辅助圆方法判断力的动态变化情况，如图所示
通过分析可得先增大再减小，F一直减小，A正确；
B．初始状态，对A分析可得绳子拉力，对B分析，可发现即一开始B与C间的静摩擦力为零，故当绳子拉力从先增大再减小到，B、C间的静摩擦力方向一直沿斜面向下且先增大再减小，B错误；
CD．将B、C看成整体，竖直方向有由于先增大再减小，故先减小再增大，故物体C对地面的压力先减小再增大，故C正确；
D．水平方向上有当最大时，即此时F水平，对A分析可计算得所以故D错误。故选AC。
14．（2023·湖南·高三期末）如图所示，小球a、b质量均为m，用细线相连并悬挂于O点。现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且a与竖直方向的夹角为，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，则弹簧形变量可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】根据题意，以小球a、b整体为研究对象，分析受力，作出F在几个方向时整体的受力图
根据平衡条件可知，F与FT的合力与整体重力2mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与绳子Oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，F的最小值为根据胡克定律有Fmin= kxmin
解得即弹簧的形变量的取值范围为故选AC。
15．（2023·山东日照·统考三模）一质量为的物块恰好能沿倾角为的足够长斜面匀速下滑。物块在沿斜面匀速下滑的过程中，在竖直平面内给物块一外力，与水平方向的夹角为，斜面始终处于静止状态，如图所示。已知重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．若，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力水平向左
B．若，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力为零
C．若，物块仍沿斜面匀速下滑
D．若推着物块沿斜面匀速上滑，则的最小值为
【答案】BC
【详解】ABC．未加F时，物块匀速下滑，受力平衡，物块受到重力、支持力和摩擦力的作用，由平衡条件得解得物块与斜面间的动摩擦因数物块匀速下滑过程中，整体水平方向受力平衡，则地面对斜面的摩擦力为零；若，对物块施加一个水平方向的力，物块下滑过程中对斜面压力和摩擦力成比例增加，即物块对斜面的作用力方向没有变，则地面对斜面的摩擦力仍为零；若，对物体施加一个垂直于斜面方向的力F，物块下滑过程中，对斜面的压力增加F、摩擦力增加，如图所示
根据几何关系可知故此时物块对斜面的作用力方向仍向下，地面对斜面的摩擦力为零，在竖直平面内给物块一任意方向的外力F，此力F可以分解为垂直于斜面方向的力和沿斜面方向的力，而这两个分力对斜面的摩擦力均为零，所以无论施加什么方向的力，在B停止运动前，地面对斜面的摩擦力为零，物块仍沿斜面匀速下滑，故A错误，BC正确；
D．若推着物块沿斜面匀速上滑，设F与斜面夹角，根据平衡条件得解得
所以故D错误。故选BC。
16．（2023秋·陕西榆林·高三校考）如图，在竖直墙壁的左侧水平地面上放置一个边长为a、质量为M=4kg的正方体ABCD，在墙壁和正方体之间放置半径R=0.5m、质量为m的光滑球，正方体和球均保持静止。球的球心为O，OC与竖直方向的夹角为θ，正方体的边长a>R，正方体与水平地面的动摩擦因数μ=0.5.已知重力加速度g= 10m/s2，sin37°=0.6， cs37°=0.8， 最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）若θ=37°、m=2kg，求正方体M受到地面的摩擦力大小；
（2）若θ=37°，保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，求光滑球质量的最大值；
（3）改变正方体到墙壁之间的距离，当正方体的右侧面BC到墙壁的距离小于某个值L时，无论球的质量是多少，球和正方体始终处于静止状态，且球没有落到地面，求L的值。
【答案】（1）15N；（2）8kg；（3）
【详解】（1）以球为研究对象，受力如下图所示，小球受力平衡可知对整体受力分析可得
（2）以正方体和球整体为研究对象，竖直方向受重力（m+M）g和地面的支持力FN，水平方向受墙壁的弹力N2和地面的摩擦力，根据平衡条件有所以得出
（3）根据无论mg多大，只要就不可能动起来，即
通过几何关系解得代入数据得
1．（2022·湖南·统考高考真题）如图（a），直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图（b）所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是（ ）
A．当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由N指向M
B．电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C．tanθ与电流I成正比
D．sinθ与电流I成正比
【答案】D
【详解】A．当导线静止在图（a）右侧位置时，对导线做受力分析有
可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M指向N，A错误；
BCD．由于与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有，FT= mgcsθ则可看出sinθ与电流I成正比，当I增大时θ增大，则csθ减小，静止后，导线对悬线的拉力FT减小，BC错误、D正确。故选D。
2．（2019·全国·高考真题）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（ ）
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【答案】BD
【详解】如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐增大；
对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加．故本题选BD．
1、有准备的去听，也就是说听课前要先预习，找出不懂的知识、发现问题，带着知识点和问题去听课会有解惑的快乐，也更听得进去，容易掌握;
2、参与交流和互动，不要只是把自己摆在“听”的旁观者，而是“听”的参与者。
3、听要结合写和思考。
4、如果你因为种种原因，出现了那些似懂非懂、不懂的知识，课上或者课后一定要花时间去弄懂。
其次，要学会记忆：
1、要学会整合知识点。把需要学习的信息、掌握的知识分类，做成思维导图或知识点卡片，会让你的大脑、思维条理清醒，方便记忆、温习、掌握。
2、合理用脑。
3、借助高效工具。学习思维导图，思维导图是一种将放射性思考具体化的方法，也是高效整理，促进理解和记忆的方法。最后，要学会总结：
一是要总结考试成绩，通过总结学会正确地看待分数。
1.摸透主干知识 2.能力驾驭高考 3.科技领跑生活
第09讲 动态平衡 平衡中的临界与极值问题
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·江西南昌·统考三模）如图所示，一条细线的一端与水平地面上的物体B相连，另一端绕过一轻质定滑轮与小球A相连，定滑轮用另一条细线固定在天花板上的点，细线与竖直方向所成的夹角为α，以下四种情况物体B均保持静止，则（ ）
A．若将物体B在地板上左移小段距离，α角将不变
B．若将物体B在地板上右移小段距离，α角将变小
C．若OB绳与地面夹角为，则α角为
D．若增大小球A的质量，α角将变小
【答案】C
【详解】AB．对小球A受力分析，受重力和拉力，根据平衡条件，有T=mg对滑轮分析，受三个拉力，如图所示，根据平衡条件可知，∠AOB=2α，
如果将物体B在水平地面上向左移动稍许，AB仍保持静止，绳子的拉力不变，则∠AOB减小，故α一定减小；同理，若将物体B在地板上右移小段距离，α角将变大，故AB错误；
C．若OB绳与地面夹角为，则∠AOB =60°，可得α角为，选项C正确；
D．增大小球A的质量，若B仍保持不动，系统仍处于静止状态，α角不变，故D错误。故选C。
2．（2023春·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考）筷子是我们每日所需的用餐工具。如图所示，用筷子夹质量为的小球，一双筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为，筷子夹住小球静止不动，若小球与筷子之间无摩擦，重力加速度g取，下列说法正确的是（ ）
A．两根筷子对小球合力大于
B．每根筷子对小球的压力为
C．仅将左边的筷子由图示位置逆时针缓慢转动到与竖直方向成，此过程左边筷子对小球的压力逐渐增大
D．若保持两筷子间的夹角不变，将两根筷子由图示位置同时逆时针缓慢转动，此过程中右边筷子对小球的压力逐渐减小
【答案】D
【详解】A．因为筷子夹住小球静止不动，小球与筷子之间无摩擦，可知小球处于平衡状态，故有两根筷子对小球合力等于5N，故A错误；
B．因为筷子和竖直方向的夹角均为，受力分析可得，小球收到的筷子的弹力方向与重力的方向成，即小球受到的左右筷子弹力方向互为，可知每根筷子对小球的支持力为
解得根据牛顿第三定律可得，每根筷子对小球的压力为5N，故B错误；
C．将仅将左边的筷子由图示位置逆时针缓慢转动到与竖直方向成，整个过程中小球保持平衡状态，由小球受力平衡，利用矢量三角形可知，即如图所示
可得此过程左边筷子对小球的压力先减小再增大，故C错误；
D．若将两根筷子由图示位置同时逆时针缓慢转动，受力分析可知，此过程右边筷子对小球的压力逐渐减小，故D正确。故选D。
3．（2023·宁夏·高三校级联考模拟）半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN。在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的截面图。现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止，则在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．Q对P的弹力逐渐增大B．Q所受的合力逐渐增大
C．MN对Q的弹力逐渐减小D．地面对P的摩擦力逐渐减小
【答案】A
【详解】ABC．对圆柱体Q受力分析，受到重力、板MN的支持力N1和半圆柱体P对Q的支持力N2，如图所示
由图可知，随着MN缓慢向右平移，N2与竖直方向的夹角不断增大，MN对Q的弹力N1逐渐增大，P对Q的弹力N2逐渐增大，但其所受合力一直为零，故A正确，BC错误；
D．对PQ整体受力分析，受到总重力、MN板的支持力N1，地面的支持力N3，地面的静摩擦力f，如图所示
根据共点力平衡条件可知，地面对P的摩擦力始终等于N1，所以地面对P的摩擦力逐渐增大，故D错误。
故选A。
4．（2023·北京·模拟预测）如图所示，质量为m的等腰直角三角板abc，用轻绳一端系着三角板a点，另一端固定于天花板，在三角板的c点作用水平拉力F，当系统处于平衡状态时，细绳与竖直方向夹角为30°，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳拉力大小为
B．外力F大小为
C．若保持外力F的方向不变，使三角板绕O点逆时针缓慢转动，则轻绳的拉力先增大后减小
D．若保持细绳拉力方向不变，使外力F逆时针缓慢转动，则外力F先减小后增大
【答案】D
【详解】AB．对三角板进行受力分析，受三力（重力mg、轻绳拉力T、外力F）而平衡，三角板处于平衡状态有；解得；选项AB错误；
C．三角板绕O点逆时针转动过程中，细绳与竖直方向的夹角（设为）增大，由平衡条件可知，轻绳拉力的大小故T必增大，选项C错误；
D．若保持细绳拉力方向不变，由于三角板处于平衡状态，作出力的示意图如图所示
当外力F逆时针转动时，其大小先减小后增大，选项D正确。故选D。
5．（2023·河南·高三名校联考）如图所示，在竖直平面内的固定光滑圆环上，套有一质量为m的小球，一轻绳通过光滑滑轮P连接小球A，绳的另一端用水平向左的力F拉绳，使小球缓慢上升一小段位移，图中O为圆心，为半径，P为的中点。在小球上升过程中，下列说法正确的是（ ）
A．绳的拉力先减小后增大
B．设长度为L，表示F的变化量，表示L的变化量，则比值不变
C．环对小球的弹力方向是沿半径背离圆心，大小恒为
D．环对小球的弹力方向是沿半径指向圆心，大小恒为
【答案】B
【详解】A．小球缓慢上升一小段位移的过程中，小球处于平衡状态，对小球进行分析受力分析如图所示
由于三角形ABC与三角形POA，可得当小球缓慢上升一小段位移的过程中，由于AP减小，则F减小，A错误；
B．由于小球缓慢上升一小段位移的过程中，根据分析可得解得，B正确；
CD．对小球受力分析可知，环对小球的弹力方向是沿半径背离圆心，根据关系解得
CD错误。故选B。
6．（2023·辽宁·校联考二模）如图为一个简易模型，截面为一内壁光滑的顶角为的等腰三角形框架，内部有一个小球，质量为m，其半径略小于内接圆半径，三角形各边有压力传感器，分别感受小球对三边压力的大小。此时边恰好处于水平状态，现使框架以C为轴在竖直面内顺时针缓慢转动，直到边竖直，则在转动过程中（ ）
A．边对球的弹力一直增大
B．边对球的弹力一直增大
C．边对球的弹力一直增大
D．边对球的弹力先变小后变大
【答案】C
【详解】在转动过程中，刚开始转动角度较小时，受力分析如图1，末状态受力分析如图2
边弹力垂直于边，边弹力垂直于边，由几何关系，则
在转动过程中，不变，由锐角变为钝角，由钝角变为直角，由
故边始终没有弹力，一直增大，先变大后变小。故选C。
7．（2022·贵州黔南·统考模拟预测）如图所示，带电性质相同且电荷量为的A、B两小球，A球被放在绝缘的水平台面上，B球被长为的轻绳悬于点，的距离等于的距离且夹角为，静电力常量为，两球可视为点电荷，若B球的电荷量在逐渐减小的过程中，则下列说法中正确的是（ ）
A．轻绳对B球的拉力不变
B．轻绳对B球的拉力逐渐增大
C．在电荷量还没减小时，A、B两球之间的静电力大小为
D．在电荷量还没减小时，A、B两球之间的静电力大小为
【答案】A
【详解】CD.对B球受力分析
根据库仑定律可得联立解得故CD错误；
AB.根据相似三角形受力分析可得则因为，，都不变，所以不变，A正确，B错误；故选A。
8．（2023·全国·八省八校模拟预测）如图所示，竖直绝缘杆上端固定一光滑小环O，底端紧套带电圆环B后固定在水平面上。轻绳一端绕过光滑定滑轮后连接沙桶C，另一端穿过O后连接一轻弹簧，弹簧另一端通过绝缘轻绳连接带电小球A（两端细绳与弹簧的轴线共线）。当A静止时，A与C等高，小球A与B的连线与OA垂直，OA与杆的夹角。若在沙桶中加入（或取出）细沙的同时，将A缓慢移至另一位置D（没有画出，OA与细杆不平行），释放后A与C仍然能够保持静止，已知A与B的电荷量不变，弹簧始终在弹性限度内且不会与O接触，则下列说法正确的是（ ）
A．小球A受静电力的大小可能减小
B．D点可能存在的位置均处于同一圆上
C．若取出细沙，平衡后杆右侧轻绳与细杆间的夹角会大于60°
D．若加入细沙，平衡后沙桶距地面的高度必定大于小球距地面的高度
【答案】B
【详解】A．对小球进行受力分析，由相似三角形可得由于联立可得由于、及电荷量、均不变，可知xAB不变，即A、B间距不变，故小球所受静电力大小不变，A错误；
B．由于A、B间距不变，所以D点可能存在的位置均处于同一圆上，B正确；
C．由于D点可能存在的位置均处于同一圆上，且已知当轻质细绳与细杆的夹角θ=60°时，细绳与该圆相切，则此时的夹角θ=60°为细绳与细杆间夹角的最大值，即细绳与细杆间的夹角不可能大于60°，C错误；
D．由于在沙桶中加入细沙，即mC增大时，LOA增大，小球的位置是下降的，但不知k的具体值，沙桶高度变化不确定，D错误。故选B。
9．（2023·安徽合肥·模拟预测）新疆是我国最大的产棉区，在新疆超过的棉田都是通过机械自动化采收。自动采棉机能够在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包，通过采棉机后侧可以旋转的支架平稳将其放下。放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在“V”形挡板上，两板间夹角为固定不变，“V”形挡板可绕P点在竖直面内转动忽略“V”形挡板对棉包的摩擦力，在使BP板由水平位置逆时针缓慢转动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当AP板水平时，棉包受到三个力的作用
B．棉包对AP板的压力一直增大
C．棉包对BP板的压力先减小后增大
D．当BP板转过时，棉包对AP板的压力大于棉包对BP板的压力
【答案】B
【详解】A．当AP板水平时，若BP对棉包有弹力，则棉包将向左运动，不能够保持平衡，因此BP对棉包没有弹力作用，可知当AP板水平时，棉包受到重力与AP板弹力两个力的作用，A错误；
BC．对棉包受力分析如图所示
则有棉包在转动过程中，夹角增大，减小，可知作用力增大，减小，根据牛顿第三定律可知棉包对AP板的压力一直增大，棉包对BP板的压力一直减小，B正确，C错误；
D．当BP板转至时，根据上述受力分析图可知此时棉包对AP板的压力等于棉包对BP板的压力，由于棉包对AP板的压力一直增大，棉包对BP板的压力一直减小，可知，当BP板转过时，棉包对AP板的压力等于棉包对BP板的压力，D错误。故选B。
10．（2023·山东·青岛高三调研）如图，为某装配车间自动安装设备，配件P吸附在电磁铁上，O为水平固定转轴，配件与电磁铁间磁力大小不变，方向垂直于；电磁铁绕转轴O逆时针缓慢转至其左侧对称位置处，释放配件并安装到位，转动过程中配件相对保持静止。在电磁铁缓慢转动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．配件与电磁铁间的弹力先减小后增大B．配件与电磁铁间的摩擦力先减小后增大
C．配件所受弹力与摩擦力的合力大小逐渐减小D．配件对电磁铁的作用力逐渐减小
【答案】C
【详解】AB．在电磁铁旋转到竖直线之前，设配件与电磁铁间磁力大小为F，OM与水平夹角为θ，配件受力如下图，由受力平衡可知
由于θ在增大，所以f在增大，N在减小；在电磁铁旋转到竖直线之后，OM与水平夹角为θ，配件受力如下图，由受力平衡可知
随着θ减小，所以f在减小，N在减小；所以，在电磁铁绕转轴O逆时针缓慢转至其左侧对称位置的过程中，配件与电磁铁间的弹力一直减小，摩擦力先增大后减小。AB错误；
C．由平衡条件知，配件所受弹力与摩擦力的合力大小始终与配件重力、电磁铁磁力的合力等大反向，由于重力与磁力二力大小不变，夹角一直增大，所以二力合力逐渐减小，C正确；
D．电磁铁对配件的作用力与配件的重力等大反向，保持不变，所以配件对电磁铁的作用力保持不变，D错误。故选C。
11．（2023·陕西·高三模拟预测）两个相同的灯笼由轻质细绳连接悬挂起来，为悬挂点，现在对灯笼施加一拉力（图中未画出），使段细绳偏离竖直方向的角度为。已知两灯笼的质量均为，虚线Ⅰ与细绳段垂直，虚线Ⅱ与细绳段垂直，虚线Ⅲ沿水平方向，虚线Ⅳ沿方向。不考虑其他外力，若要使对球施加的拉力最小，则此拉力（ ）
A．方向沿虚线Ⅰ，大小为B．方向沿虚线Ⅱ，大小为
C．方向沿虚线Ⅲ，大小为D．方向沿虚线Ⅳ，大小为
【答案】B
【详解】将两个灯笼看成一个整体，整体受到重力2mg、细绳OA的拉力及对B施加的拉力处于平衡状态，如图所示
可知当对B施加的拉力与细绳OA垂直，即沿虚线Ⅱ时，拉力最小，为故选B。
12．（2023·天津·模拟预测）质量均匀分布的光滑球A与B通过轻绳连接，跨过两轻质定滑轮悬挂于平台两侧，初始状态A球与水平面接触且有挤压，B球悬于空中，如图所示，不计轻绳和滑轮间的摩擦，若A发生均匀的少量膨胀后，两球仍能保持静止状态，则（ ）
A．两球的质量不可能相等B．水平面对平台一定有静摩擦力的作用
C．膨胀后平台侧面对A弹力变大D．膨胀后A对地面压力会变大
【答案】CD
【详解】A．对B分析，受到绳子的拉力和重力，则对A分析，受到重力mAg、绳子斜向右上的拉力T、平台的弹力F、水平面的支持力N，设为绳子与竖直方向的夹角，如图所示，该拉力T在竖直方向上的分力大小与地面的支持力N的合力大小等于其重力mAg，则有
即即由上式可知，则有两球的质量有可能相等，A错误；
B．对平台及A、B为整体，则整体在水平方向不受力作用，水平面对平台没有静摩擦力的作用，B错误；
CD．膨胀后，变大，则根据共点力平衡条件可得；由此可知，膨胀后变大，T不变，地面对A的支持力N变大，由牛顿第三定律可知，A对地面压力会变大；膨胀后平台侧面对A弹力F增大，选项CD正确。故选CD。
13．（2023·福建·高三预热卷）粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一个质量为的物块B，B与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另一端水平与一结点连接一个质量为m的小球A，右上方有一拉力F，初始夹角，如图所示。现让拉力F顺时针缓慢转动90°且保持α角大小不变，转动过程B、C始终保持静止。已知B与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．拉力F一直减小
B．BC间的摩擦力先减小再增大
C．物体C对地面的压力先减小再增大
D．物体C对地面的摩擦力的最大值为
【答案】AC
【详解】A．对题图右侧结点处受力分析，α角大小不变，可以使用辅助圆方法判断力的动态变化情况，如图所示
通过分析可得先增大再减小，F一直减小，A正确；
B．初始状态，对A分析可得绳子拉力，对B分析，可发现即一开始B与C间的静摩擦力为零，故当绳子拉力从先增大再减小到，B、C间的静摩擦力方向一直沿斜面向下且先增大再减小，B错误；
CD．将B、C看成整体，竖直方向有由于先增大再减小，故先减小再增大，故物体C对地面的压力先减小再增大，故C正确；
D．水平方向上有当最大时，即此时F水平，对A分析可计算得所以故D错误。故选AC。
14．（2023·湖南·高三期末）如图所示，小球a、b质量均为m，用细线相连并悬挂于O点。现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且a与竖直方向的夹角为，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，则弹簧形变量可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】根据题意，以小球a、b整体为研究对象，分析受力，作出F在几个方向时整体的受力图
根据平衡条件可知，F与FT的合力与整体重力2mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与绳子Oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，F的最小值为根据胡克定律有Fmin= kxmin
解得即弹簧的形变量的取值范围为故选AC。
15．（2023·山东日照·统考三模）一质量为的物块恰好能沿倾角为的足够长斜面匀速下滑。物块在沿斜面匀速下滑的过程中，在竖直平面内给物块一外力，与水平方向的夹角为，斜面始终处于静止状态，如图所示。已知重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．若，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力水平向左
B．若，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力为零
C．若，物块仍沿斜面匀速下滑
D．若推着物块沿斜面匀速上滑，则的最小值为
【答案】BC
【详解】ABC．未加F时，物块匀速下滑，受力平衡，物块受到重力、支持力和摩擦力的作用，由平衡条件得解得物块与斜面间的动摩擦因数物块匀速下滑过程中，整体水平方向受力平衡，则地面对斜面的摩擦力为零；若，对物块施加一个水平方向的力，物块下滑过程中对斜面压力和摩擦力成比例增加，即物块对斜面的作用力方向没有变，则地面对斜面的摩擦力仍为零；若，对物体施加一个垂直于斜面方向的力F，物块下滑过程中，对斜面的压力增加F、摩擦力增加，如图所示
根据几何关系可知故此时物块对斜面的作用力方向仍向下，地面对斜面的摩擦力为零，在竖直平面内给物块一任意方向的外力F，此力F可以分解为垂直于斜面方向的力和沿斜面方向的力，而这两个分力对斜面的摩擦力均为零，所以无论施加什么方向的力，在B停止运动前，地面对斜面的摩擦力为零，物块仍沿斜面匀速下滑，故A错误，BC正确；
D．若推着物块沿斜面匀速上滑，设F与斜面夹角，根据平衡条件得解得
所以故D错误。故选BC。
16．（2023秋·陕西榆林·高三校考）如图，在竖直墙壁的左侧水平地面上放置一个边长为a、质量为M=4kg的正方体ABCD，在墙壁和正方体之间放置半径R=0.5m、质量为m的光滑球，正方体和球均保持静止。球的球心为O，OC与竖直方向的夹角为θ，正方体的边长a>R，正方体与水平地面的动摩擦因数μ=0.5.已知重力加速度g= 10m/s2，sin37°=0.6， cs37°=0.8， 最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）若θ=37°、m=2kg，求正方体M受到地面的摩擦力大小；
（2）若θ=37°，保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，求光滑球质量的最大值；
（3）改变正方体到墙壁之间的距离，当正方体的右侧面BC到墙壁的距离小于某个值L时，无论球的质量是多少，球和正方体始终处于静止状态，且球没有落到地面，求L的值。
【答案】（1）15N；（2）8kg；（3）
【详解】（1）以球为研究对象，受力如下图所示，小球受力平衡可知对整体受力分析可得
（2）以正方体和球整体为研究对象，竖直方向受重力（m+M）g和地面的支持力FN，水平方向受墙壁的弹力N2和地面的摩擦力，根据平衡条件有所以得出
（3）根据无论mg多大，只要就不可能动起来，即
通过几何关系解得代入数据得
1．（2022·湖南·统考高考真题）如图（a），直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图（b）所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是（ ）
A．当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由N指向M
B．电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C．tanθ与电流I成正比
D．sinθ与电流I成正比
【答案】D
【详解】A．当导线静止在图（a）右侧位置时，对导线做受力分析有
可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M指向N，A错误；
BCD．由于与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有，FT= mgcsθ则可看出sinθ与电流I成正比，当I增大时θ增大，则csθ减小，静止后，导线对悬线的拉力FT减小，BC错误、D正确。故选D。
2．（2019·全国·高考真题）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（ ）
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【答案】BD
【详解】如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐增大；
对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加．故本题选BD．
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