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山东省部分名校2023-2024学年高三下学期2月大联考数学试题（新课标卷）
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这是一份山东省部分名校2023-2024学年高三下学期2月大联考数学试题（新课标卷），共12页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，数列的前n项和满足,设甲，圆和圆的公切线方程是，若，则，函数满足等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合,则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．若的展开式中常数项的系数是15，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．已知在中，，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．椭圆与双曲线的离心率分别为,若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．数列的前n项和满足,设甲：数列为等比数列；乙：,则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．
9．已知一组样本数据满足,下列说法正确的是（ ）
A．样本数据的第80百分位数为
B．样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于120
C．若样本平均数恰是该组数据中的一个数，去掉这个数，则样本数据的方差不变
D．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
10．函数满足：对任意实数x,y都有，且当时，,则（ ）
A． B．关于对称 C． D．为减函数
11．如图，在棱长为1的正方体中，M为平面所在平面内一动点，则（ ）
A．若M在线段上，则的最小值为
B．过M点在平面内一定可以作无数条直线与垂直
C．若平面,则平面截正方体的截面的形状可能是正六边形
D．若与所成的角为，则点M的轨迹为双曲线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数的图象关于直线对称，则____________．
13．已知函数与相切，则____________．
14．抛物线与椭圆有相同的焦点，分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是的内心，交y轴于M,且,点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为,若,则____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且．
（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；
（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为,求当取得最大值时n的值．
附：若,则．
16．（本小题满分15分）
如图，在圆锥中，若轴截面是正三角形，C为底面圆周上一点，F为线段上一点，D（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E,连接,且．
（1）求证：平面平面;
（2）若为正三角形，且F为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
已知．
（1）若在恒成立，求a的范围；
（2）若有两个极值点s,t,求的取值范围．
18．（本小题满分17分）
已知圆，与x轴不重合的直线l过点,且与圆交于C、D两点，过点作的平行线交线段于点M．
（1）判断与圆的半径的大小关系，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知点，直线m过点，与曲线E交于两点N、R（点N、R位于直线异侧），求四边形的面积的取值范围．
19．（本小题满分17分）
在无穷数列中，令,若,则称对前n项之积是封闭的．
（1）试判断：任意一个无穷等差数列对前n项之积是否是封闭的？
（2）设是无穷等比数列，其首项,公比为q．若对前n项之积是封闭的，求出q的两个值（若多求，则按前2个计分）；
（3）证明：对任意的无穷等比数列,总存在两个无穷数列和,使得,其中和对前n项之积都是封闭的．
2024届高三年级2月份大联考
数学参考答案及解析
一、选择题
1．D 【解析】由题可得或,因此．
故选D．
2．A 【解析】由，所以，即虚部为．故选A．
3．C 【解析】通项公式时常数项为．故选C．
4．D 【解析】由余弦定理得,所以．故选D．
5．C 【解析】由题可得，解得,所以双曲线的渐近线方程为．故选C．
6．A 【解析】当时，,当时，,因为数列为等比数列，所以,且，即且．因此充分性成立；若,当且时，甲不成立，故必要性不成立．故选A．
7．A 【解析】,圆心,半径,圆心,半径,所以两圆相内切，公共切线只有一条，排除B,D;因为圆心连线与切线相互垂直，,所以切线斜率为,圆与圆方程联立得切点，故公切线方程为，即．故选A．
8．C 【解析】，，．故选C．
二、选择题
9．BD 【解析】A:,故第80百分位数为，故A错；B:由，则，所以,故这组样本数据的总和等于,故B对；C:去掉等平均数的数据，n变为，平方和不变，分母变小，所以方差变大，故C错误；D:数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，
由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，同理，向“左拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，故D对．故选BD．
10．ABC 【解析】由对于任意实数,令,则，即,故A正确；再令,，则,即,故C正确；令,则,即,故B正确；对于任意,则,当时，,则，所以单调递增，故D错误．故选ABC．
11．ACD 【解析】选项A:将平面展开到与同一平面如图所示，连接交于M,此时为最小值，计算可得，故A正确；
选项B:当M点在D处时，因为平面，所以过M点可作无数条直线与垂直，当M点在A处时，只能作一条直线,故B不正确；选项C:当M与B重合时，平面,分别取的中点E,F,G,H,P,Q,则六边形是正六边形，且此正六边形所在平面与平面平行，所以当平面为平面时满足题意，故C正确；
选项D:以D为原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则,得,整理得为双曲线方程，故D正确．故选ACD．
三、填空题
12．1 【解析】由题意得，由于函数的图象关于直线对称，故，得．故答案为1．
13． 【解析】设切点为，则，由题知，解得，所以切点为，代入直线方程得．故答案为．
14． 【解析】I是的内心，，所以抛物线在点的切线为：，令，又，即，所以是首项16，公比的等比数列，．故答案为．
四、解答题
15．解：(1)因为，所以，(1分)
则，(4分)
所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)．(6分)
(2)依题意可得，，(7分)
设，
所以，(9分)
所以(11分)
所以，(12分)
n为整数，所以，
所以当取得最大值时n的值为8．(13分)
16．解：(1)因为，所以，(1分)
因为平面，平面，
所以平面，(2分)
因为垂直底面于垂直底面于O，所以，
同理平面，(3分)
因为，且平面平面，所以平面平面．(5分)
(2)设圆锥的底面半径为2，
因为轴截面是正三角形，所以，(6分)
如图，设平面与底面圆周交于G，
因为为正三角形，且F为的中点，
所以，所以E为的中点，
所以为的中位线，所以，(7分)
如图，在底面圆周上取一点H，使得，以直线为x，y，z轴建立空间坐标系，(8分)
由已知得，，，(9分)
设的中点为M，则平面的法向量为，(11分)
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，
，令，则，
则，(13分)
所以平面与平面夹角的余弦值为．(15分)【其他解法酌情给分】
17．解：(1)在上恒成立，
在恒成立，(1分)
令，
则，(2分)
令，
所以在单调递减，所以，(4分)
恒成立，在单调递减，
，(6分)
．(7分)
(2)因为有两个极值点s，t，
是的两不等正根，(8分)
，(12分)【若列出公式正确，得出a范围不对的话扣1分】
．
所以的取值范围为．(15分)【其他解法酌情给分】
18．解：(1)圆，
，
，
，(1分)
，(2分)
，(3分)
∴点M的轨迹是以为焦点的椭圆．(4分)
方程：．(5分)【没写范围扣1分】
(2)设，由题意知且，(6分)
设，
，(7分)
由，（8分）
，(9分)
，(11分)
令，
，(12分)
时，，(13分)
，(14分)
时，，(15分)
，且，
，且．(17分)【其他解法酌情给分】
19．解：(1)不是的．(1分)
如等差数列，(2分)
所以不是任意一个无穷等差数列对前n项之积是封闭的．(3分)
(2)是等比数列，其首项，公比q，
所以，
所以，(4分)
由已知得，对任意正整数n，总存在正整数m，使得成立，
即对任意正整数n，总存在正整数m，
使得成立，
即对任意正整数n，总存在正整数m，使得成立，(5分)
①当时，得，所以；(7分)
②当时，得，且，
综上，或．(9分)【答案正确即可】
(3)对任意的无穷等比数列，
令，则，(11分)
下面证明：是对前n项之积是封闭的．
因为，所以，(12分)
取正整数得，，(13分)
所以对前n项之积是封闭的，(14分)
同理证明：也对前n项之积是封闭的，(16分)
所以对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前n项之积都是封闭的．(17分)
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合,则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．若的展开式中常数项的系数是15，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．已知在中，，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．椭圆与双曲线的离心率分别为,若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．数列的前n项和满足,设甲：数列为等比数列；乙：,则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．
9．已知一组样本数据满足,下列说法正确的是（ ）
A．样本数据的第80百分位数为
B．样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于120
C．若样本平均数恰是该组数据中的一个数，去掉这个数，则样本数据的方差不变
D．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
10．函数满足：对任意实数x,y都有，且当时，,则（ ）
A． B．关于对称 C． D．为减函数
11．如图，在棱长为1的正方体中，M为平面所在平面内一动点，则（ ）
A．若M在线段上，则的最小值为
B．过M点在平面内一定可以作无数条直线与垂直
C．若平面,则平面截正方体的截面的形状可能是正六边形
D．若与所成的角为，则点M的轨迹为双曲线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数的图象关于直线对称，则____________．
13．已知函数与相切，则____________．
14．抛物线与椭圆有相同的焦点，分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是的内心，交y轴于M,且,点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为,若,则____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且．
（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；
（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为,求当取得最大值时n的值．
附：若,则．
16．（本小题满分15分）
如图，在圆锥中，若轴截面是正三角形，C为底面圆周上一点，F为线段上一点，D（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E,连接,且．
（1）求证：平面平面;
（2）若为正三角形，且F为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
已知．
（1）若在恒成立，求a的范围；
（2）若有两个极值点s,t,求的取值范围．
18．（本小题满分17分）
已知圆，与x轴不重合的直线l过点,且与圆交于C、D两点，过点作的平行线交线段于点M．
（1）判断与圆的半径的大小关系，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知点，直线m过点，与曲线E交于两点N、R（点N、R位于直线异侧），求四边形的面积的取值范围．
19．（本小题满分17分）
在无穷数列中，令,若,则称对前n项之积是封闭的．
（1）试判断：任意一个无穷等差数列对前n项之积是否是封闭的？
（2）设是无穷等比数列，其首项,公比为q．若对前n项之积是封闭的，求出q的两个值（若多求，则按前2个计分）；
（3）证明：对任意的无穷等比数列,总存在两个无穷数列和,使得,其中和对前n项之积都是封闭的．
2024届高三年级2月份大联考
数学参考答案及解析
一、选择题
1．D 【解析】由题可得或,因此．
故选D．
2．A 【解析】由，所以，即虚部为．故选A．
3．C 【解析】通项公式时常数项为．故选C．
4．D 【解析】由余弦定理得,所以．故选D．
5．C 【解析】由题可得，解得,所以双曲线的渐近线方程为．故选C．
6．A 【解析】当时，,当时，,因为数列为等比数列，所以,且，即且．因此充分性成立；若,当且时，甲不成立，故必要性不成立．故选A．
7．A 【解析】,圆心,半径,圆心,半径,所以两圆相内切，公共切线只有一条，排除B,D;因为圆心连线与切线相互垂直，,所以切线斜率为,圆与圆方程联立得切点，故公切线方程为，即．故选A．
8．C 【解析】，，．故选C．
二、选择题
9．BD 【解析】A:,故第80百分位数为，故A错；B:由，则，所以,故这组样本数据的总和等于,故B对；C:去掉等平均数的数据，n变为，平方和不变，分母变小，所以方差变大，故C错误；D:数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，
由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，同理，向“左拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，故D对．故选BD．
10．ABC 【解析】由对于任意实数,令,则，即,故A正确；再令,，则,即,故C正确；令,则,即,故B正确；对于任意,则,当时，,则，所以单调递增，故D错误．故选ABC．
11．ACD 【解析】选项A:将平面展开到与同一平面如图所示，连接交于M,此时为最小值，计算可得，故A正确；
选项B:当M点在D处时，因为平面，所以过M点可作无数条直线与垂直，当M点在A处时，只能作一条直线,故B不正确；选项C:当M与B重合时，平面,分别取的中点E,F,G,H,P,Q,则六边形是正六边形，且此正六边形所在平面与平面平行，所以当平面为平面时满足题意，故C正确；
选项D:以D为原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则,得,整理得为双曲线方程，故D正确．故选ACD．
三、填空题
12．1 【解析】由题意得，由于函数的图象关于直线对称，故，得．故答案为1．
13． 【解析】设切点为，则，由题知，解得，所以切点为，代入直线方程得．故答案为．
14． 【解析】I是的内心，，所以抛物线在点的切线为：，令，又，即，所以是首项16，公比的等比数列，．故答案为．
四、解答题
15．解：(1)因为，所以，(1分)
则，(4分)
所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)．(6分)
(2)依题意可得，，(7分)
设，
所以，(9分)
所以(11分)
所以，(12分)
n为整数，所以，
所以当取得最大值时n的值为8．(13分)
16．解：(1)因为，所以，(1分)
因为平面，平面，
所以平面，(2分)
因为垂直底面于垂直底面于O，所以，
同理平面，(3分)
因为，且平面平面，所以平面平面．(5分)
(2)设圆锥的底面半径为2，
因为轴截面是正三角形，所以，(6分)
如图，设平面与底面圆周交于G，
因为为正三角形，且F为的中点，
所以，所以E为的中点，
所以为的中位线，所以，(7分)
如图，在底面圆周上取一点H，使得，以直线为x，y，z轴建立空间坐标系，(8分)
由已知得，，，(9分)
设的中点为M，则平面的法向量为，(11分)
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，
，令，则，
则，(13分)
所以平面与平面夹角的余弦值为．(15分)【其他解法酌情给分】
17．解：(1)在上恒成立，
在恒成立，(1分)
令，
则，(2分)
令，
所以在单调递减，所以，(4分)
恒成立，在单调递减，
，(6分)
．(7分)
(2)因为有两个极值点s，t，
是的两不等正根，(8分)
，(12分)【若列出公式正确，得出a范围不对的话扣1分】
．
所以的取值范围为．(15分)【其他解法酌情给分】
18．解：(1)圆，
，
，
，(1分)
，(2分)
，(3分)
∴点M的轨迹是以为焦点的椭圆．(4分)
方程：．(5分)【没写范围扣1分】
(2)设，由题意知且，(6分)
设，
，(7分)
由，（8分）
，(9分)
，(11分)
令，
，(12分)
时，，(13分)
，(14分)
时，，(15分)
，且，
，且．(17分)【其他解法酌情给分】
19．解：(1)不是的．(1分)
如等差数列，(2分)
所以不是任意一个无穷等差数列对前n项之积是封闭的．(3分)
(2)是等比数列，其首项，公比q，
所以，
所以，(4分)
由已知得，对任意正整数n，总存在正整数m，使得成立，
即对任意正整数n，总存在正整数m，
使得成立，
即对任意正整数n，总存在正整数m，使得成立，(5分)
①当时，得，所以；(7分)
②当时，得，且，
综上，或．(9分)【答案正确即可】
(3)对任意的无穷等比数列，
令，则，(11分)
下面证明：是对前n项之积是封闭的．
因为，所以，(12分)
取正整数得，，(13分)
所以对前n项之积是封闭的，(14分)
同理证明：也对前n项之积是封闭的，(16分)
所以对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前n项之积都是封闭的．(17分)
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