安徽省合肥市第一中学肥东分校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”.
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3．本试卷满分150分，考试时长120分钟，考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合并集运算求解即可.
【详解】根据集合的并集运算，得.
故选：C.
2. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知当时，，当时，，由函数的单调性对比选项即可得解.
【详解】当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
且时，当且仅当时，，
由此可知C，D选项中图象错误；
当时，，此时在上单调递减，
故选项A中图象不合题意，
又，故B中图象符合题意.
故选：B.
3. 设函数若关于的方程有四个实根，则的最小值为（ ）
A. B. 23C. D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，做出函数的图象，结合图象可得，，然后再由基本不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】做出函数的图象如图所示，

由图可知，当时，的对称轴为，
所以，
若关于的方程有四个实根，
则，
由，可得或，
所以，又因为，
所以，故，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
4. 已知函数，若，其中，，则的最小值为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求得为定值2，则可得，再利用基本不等式求的最小值即可.
【详解】因为，
所以
令
则，
所以，所以，所以，其中，，.
所以
.
当且仅当，即，时等号成立，
故选:B.
5. 在内函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数相关知识直接求解定义域即可.
【详解】由题意得，，解得，
所以，即函数定义域为.
故选：C
6. 已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 定义域为B. 值域为
C. 偶函数D. 减函数
【答案】A
【解析】
【分析】结合幂函数性质逐项判断即可得.
【详解】因为幂函数的图象过点，所以，
所以，所以，
对A、B：因为，定义域为，值域为，
故A正确、B错误；
对C：，且定义域为，故为奇函数，故C错误；
对D：在区间，上单调递减，
由可知在定义域上不是减函数，故D错误.
故选：A.
7. 设，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】，，
.
当且仅当即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
8. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指对数运算法则得到，，，从而利用对数函数的性质分析判断得，，从而得解.
【详解】，
，，
因为，则，
所以，即；
而，，所以，
所以，即；
综上：.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用与比较大小，利用与比较大小，从而得解.
二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 关于函数的描述有以下说法，其中正确的有（ ）
A. 函数在区间上连续，若满足，则方程在区间上可能有实根
B. 若函数的零点为，则函数在点两侧的函数值的符号一定不相同
C. “二分法”判断函数零点所在区间的方法对连续不断的函数的所有零点都有效
D. 连续函数相邻两个零点之间函数值（两零点间的函数值来为0）保持同号
【答案】AD
【解析】
【分析】利用零点存在性定理及“二分法”逐项判断即得.
【详解】对于A，函数在上连续，，方程在有实根0，A正确；
对于B，函数的零点为0，而函数在点两侧的函数值符号相同，B错误；
对于C，“二分法”判断函数零点所在区间的方法对连续不断的函数在零点两侧函数值符号相同的不适用，C错误；
对于D，由零点存在定理知，D正确.
故选：AD
10. 下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解.
【详解】对于A，是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确；
对于B，是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误；
对于C，，故在其定义域上不单调递减，故C错误；
对于D，是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误.
故选：AD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是的最小值
C. 在区间上的值域为
D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定的图象求出函数的解析式，再利用正弦型函数的性质逐项判断即可.
【详解】函数的周期，则，
由，得，即，
因此函数解析式为，
对于A，函数的最小正周期为，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，当时，，利用正弦函数的性质知，
，得，C错误；
对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
得到函数的图象，D正确.
故选：ABD
12. 若，分别为的整数和小数部分，则下列不等式一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】确定，A正确，举反例得到B错误，得到C正确，计算，，得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：取，则，，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，则，即，
，则，即，故，正确；
故选：ACD
三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.
13. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案.
【详解】因为，定义域为，
因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递减，
当时，；
当时，，即；
当时，；
所以，当时，则，于是；
当时，则，于是；
当时，.
综上所述，的值域为.
故答案为：.
14. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则______.
【答案】3
【解析】
【分析】由题意得，，，又时，，代入求值，得到，求出函数解析式，求出答案.
【详解】由题意得，又，故，
且，解得，
故，
当时，，即，，
又，解得，
故，
所以
.
故答案为：3
15. 已知点是函数（，，）图象上的一个最高点，是函数的一个零点，且与之差的绝对值的最小值为．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且是奇函数．给出下列结论：①；②在区间上的值域为；③的单调递增区间为，．其中所有正确结论的序号为______．
【答案】①②
【解析】
【分析】根据题意求出函数表达式，再根据余弦函数单调性，值域求解判断
【详解】设的最小正周期为T，
由题知，，，，，
，
.
对于①，奇函数，，，
，，，，故①正确；
对于②，由①知，，
当时，，
由余弦函数的图象知，，
在区间上的值域为，故②正确；
对于③，令，，
解得，，
的单调递增区间为，，故③错误.
故答案为：①②.
16. 已知是上的奇函数，且对，有，当时，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再利用对数函数性质、指对数运算及奇函数性质计算即得.
【详解】由，，得，即函数的周期为4，
由，得，则，即，
又是上的奇函数，且当时，，，
所以
.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数．
（1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集；
（2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由；
（3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值．
【答案】（1），集合A是的恰当子集；
（2），或，.
（3）10
【解析】
【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为恰当子集；
（2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验；
（3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集，
【小问1详解】
若，有，由，则，
满足，集合A是的恰当子集；
【小问2详解】
是的恰当子集，则，
，由则或，
时，，此时，，满足题意；
时，，此时，，满足题意；
，或，.
【小问3详解】
若存在A是的恰当子集，并且，
当时，，有，满足，
所以是的恰当子集，
当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或，
时，设，经检验没有这样满足；
当时，设，经检验没有这样的满足；，
因此不存在A是的恰当子集，并且，
所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10.
18. 已知函数.
（1）若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；
（2）若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得函数的周期求出，又过点B取最值求；
（2）根据求，由已知条件及正弦函数的性质求的取值范围.
【小问1详解】
依题意可知：，即，所以，
又过点，所以,即，
又，所以，即.
【小问2详解】
因为，且，所以，即，
又当时恰有两个零点，，
依题意：，即，
又在上单调，所以，
依题意;若，即，所以，因，故不合题意；
若，即，所以，因，故；
若，即，显然不等式组无解；
综上的取值范围为.
19. 由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数．
（1）已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域；
（2）若对于，都有恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）递减区间是，递增区间是，值域是；
（2）.
【解析】
【分析】（1）换元并利用对勾函数的单调性求解即得.
（2）变形函数式，再利用对勾函数单调性求出最小值即得.
【小问1详解】
函数，，令，则，
由对勾函数性质知，函数在上单调递减，在上单调递增，
而在上单调递增，又当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，，，
所以函数的递减区间是，递增区间是，值域是.
【小问2详解】
当时，，
令，显然函数在上单调递增，
则当时，，于是当时，取得最小值5，
因对，都有成立，则，
所以m的取值范围是.
20. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）奇函数，理由见解析
（2）在上是单调递增函数，证明见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解；
（2）利用函数的单调性定义求解；
（3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解.
【小问1详解】
是奇函数，理由如下：
由题意可知，，
因为的定义域为，且，
所以是奇函数.
【小问2详解】
在上是单调递增函数.
证明如下：
任取，设，则
.
因为，所以，
又因为，所以，
所以，即，
所以在上是单调递增函数.
【小问3详解】
由（1）（2）知是上单调递增的奇函数，
所以在上单调递增，
所以，
可以转化为，
可化为，
即，
①当时，不等式为，这时解集为；
②当时，解不等式得到；
③当时，解不等式得到.
综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
21. 设在时，恒成立．
（1）求证：；
（2）求θ的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）在函数表达式中分别令即可得证.
（2）由题意二次函数对称轴满足，于是在上恒成立，当且仅当，解三角不等式即可得解.
【小问1详解】
由题意可知：.
【小问2详解】
，
对称轴，
由（1）可知：，
于是在上恒成立，
当且仅当，
即，
解得：，
结合，
可得，
即θ的取值范围是．
【点睛】关键点睛：第二问的关键是证明对称轴满足，由此即可顺利转换条件，进而得解.
22. 设函数，，．
（1）求函数在上的单调区间；
（2）若，，使成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过x的最大整数，如，）．
参考数据：，．
【答案】（1）单调增区间是和；单调减区间是和
（2）
（3）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据余弦函数的单调区间求出的单调区间；
（2）由已知得到的值域为的值域的子集，转化为求函数最值的问题；
（3）根据函数单调性判断函数的零点个数，求出零点的范围，进而求解.
【小问1详解】
令，，解得，，
又，得的单调增区间是和；
令，，解得，，
又，得的单调减区间是和.
函数在上的单调增区间是和，单调减区间是和；
【小问2详解】
若，，使成立，
则，，的值域应为的值域的子集.
由（1）知，在单调递减，
的值域为，
，当时，令，
则，开口方向向上，对称轴是，，
当时，在单调递减，不符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，
，即，解得，
所以；
【小问3详解】
由（1）知在上是减函数，易知在上是增函数，
所以在上是减函数，，
又，，
根据零点存在性定理知在上有唯一零点，
当时，，，
所以，
即在上无零点，
综上，在上有且只有一个零点.
，
，
，
.
【点睛】结论点睛：本题第（2）问考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．