2023-2024学年福建省宁德市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年福建省宁德市九年级上学期数学期末试题及答案，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且，
∴整数的最大值是．
故选：B．
【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）A<0方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
2. 点，是抛物线上位于对称轴异侧的两点，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称轴为：，分类讨论和在对称轴的左右两侧，再根据，即可求出的值．
【详解】解：∵对称轴为：
∴对称轴
当在的左侧，即，解得
∴，解得
∴无解
当在的右侧，即，解得
∴，解得
∴
∵；
∵
∴
∴
∴
∴
∴的取值范围是：．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
3. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M(2，0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）
A. (3，1)或(3，3)B. (3，)或(3，3)
C. (3，)或(3，1)D. (3，)或(3，1)或(3，3)
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；分两种情况：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案．
【详解】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，
∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；
①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2＋CP2＝1＋a2＋（4−a）2＋9＝2a2−8a＋26，
又∵CM2＝OM2＋OC2＝4＋16＝20，
∴2a2−8a＋26＝20，
∴（a−3）（a−1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
∵CM2＝OM2＋OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM2＋MP2＝CP2，
∴20＋1＋a2＝（4−a）2＋9，
解得：a＝．
∴P（3，）．
综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．
4. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵将以点为中心逆时针旋转得到，
∴，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
平分，故②正确；
，
，
，
，
，
，
故③正确
故选D
【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
5. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，E为边AB的黄金分割点（AE＞BE），AD＝AE，BC＝BE．AC，DE将四边形分为四个部分，它们的面积分别用S1，S2，S3，S4表示，则下列判断正确的是（ ）
A. S1＝4S2B. S4＝3S2C. S1＝S3D. S3＝S4
【答案】C
【解析】
【分析】设AB＝a．求出△ADE，△ABC的面积（用a表示），可得结论．
【详解】解：设AB＝a．
∵E是AB的黄金分割点，AE＞EB，
∴AD＝AEa，BE＝BC＝a（1）a，
∴S△ADE•（a）2a2，S△ABCaaa2，
∴S△ADE＝S△ABC，
即S1+S2＝S2+S3，
∴S1＝S3，
故选：C．
【点睛】本题考查黄金分割，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
6. 如图，在中，D，C，E三点在一条直线上，，，，则的长为（ ）
A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8
【答案】B
【解析】
【分析】设对角线AC与BD交于点O，过点O作于M，利用平行四边形性质得BO=DO，得MC=MD，然后利用相似三角形的判定与性质得出CF的长．
详解】解：设对角线AC与BD交于点O，
在中，
，，
过点O作于M（如图），
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例性质、中位线的性质．熟练运用相关性质、会添辅助线、构造相似三角形是解决此题的关键．
7. 如图，点D是等腰斜边BC上的一个动点，以AD为边作等腰，斜边AE交BC于F，则图中相似三角形共有（ ）对．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】依据等腰直角三角形的性质，∠BAC=∠ADE=90°，∠B=∠C=∠E=∠DAE=45°，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”，即可找到相似三角形．
【详解】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形
∴∠BAC=∠ADE=90°，∠B=∠C=∠E=∠DAE=45°
则△ABC∽△DAE
又∵∠AFB=∠DFE，∠B=∠E=45°
∴△ABF∽△DEF
∵∠ADF=∠ADB，∠B=∠DAE=45°
∴△ABD∽△FAD
同理，得△FCA∽△FAD
∴△ABD∽△FCA
综上所述，图中相似三角形共有5对，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及等腰直角三角形的性质的运用，关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似．
8. 如图，在边长为4的等边△ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D的直线折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E，当时，则AD的长是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等边三角形即轴对称的性质证明 可得设 而 则 代入数据求解再利用建立方程即可．
【详解】解：∵等边三角形
∴
由折叠可得：
∵
∴
∴
∴
设 而 则
∴
∴
∵

解得： 经检验符合题意，即
故选B．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
9. 如图，一根长10米的钢管斜靠在墙上，它的底端与墙角O相距6米，当钢管的顶端A下滑x米时，底端B随之向右滑行y米，能反映y随x变化的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在中，利用勾股定理求出的长，进而表示出A点下滑时与的长，确定出y与x的关系式，即可做出判断．
【详解】在中，米，米，
根据勾股定理得：（米），
若A下滑x米，米，
根据勾股定理得：，
整理得：，
当时，；当时，，且不是直线变化的，
观察四个选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图像，解决本题的关键是读懂图意，列出y与x的函数解析式．
10. 如图，在△ABC中，．若，，则（ ）
A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：，
，

，

故选：A.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，主要考查学生的推理能力，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
二、填空题（共24分）
11. 如图，的直径，弦，，垂足为，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，先根据的直径求出半径的长，再根据垂径定理求出的长，然后根据勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵的直径，
∴，
∵弦，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
12. 如图，一货轮从处观测到灯塔位于它的东北方向，货轮继续向北航行海里到达处，观测到灯塔位在它的北偏东，求此时货轮到灯塔的距离__．
【答案】海里
【解析】
【分析】过点作于点，根据邻角互补可知，进而得到，，从而根据直角三角形和直角三角形性质可得的长度．
【详解】如图所示：过点作于点，
∵海里，，，
∴，，
∴，
∴（海里）
∴（海里）．
答：此时货轮到灯塔的距离为海里．
故答案为海里．
【点睛】本题考查了直角三角形，直角三角形的性质，解直角三角形，方位角的相关知识，巧运用解直角三角形是解题的关键．
13. 如图，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F，若AF＝2，ED＝3AE，则AB的长为________．
【答案】14
【解析】
【分析】取BF的中点H，连接DH，取AD的中点Q，取AH的中点P，连接PQ，可得到DH为的中位线， PQ是的中位线，然后利用三角形的中位线定理，即可求解．
【详解】解：如图，取BF的中点H，连接DH，取AD的中点Q，取AH的中点P，连接PQ，

∵AD是△ABC的中线，BF的中点H，
∴DH为的中位线，
∴BH=FH，
∵ED＝3AE，
∴AD=4AE，
∵AD的中点Q，
∴AQ=2AE，即E为AQ的中点，
∵AH的中点P，
∴PQ是的中位线，
∴PH=AP，
∴PQ∥DH，
∴PQ∥EF，
∴AP=2AF，
∵AH的中点P，
∵AF＝2，
∴PH=AP=4，PF=2，
∴BH=FH=PH+PF=6
∴AB=BH+FH+AF=14
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，作适当的辅助线，构造三角形的中位线是解题的关键．
14. 如图，四边形为菱形，，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，根据四边形四边形为菱形，得出，设，根据的面积为，求得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
15. 已知二次函数的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 _____（填写序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将（﹣1，0）代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a，b关系式代入a﹣b+c＝0可得②正确；令y＝0解方程即可判定③正确；利用函数的最小值可判定④不正确．
【详解】解：∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（m﹣3，n），（7﹣m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x2．
∴2．
∴b＝﹣4a．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
∴．
∴5a+c＝0．
∴c＝﹣5a．
∴二次函数的解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5a．
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴它的大致图象如图1：
由图象可知：y1＞y2，
∴①的说法正确；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a，
∴5a+c＝0．
∴②的说法正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0．
∵b＝﹣4a，c＝﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＝0．
∵a＞0，
即x2﹣4x﹣5＝0．
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5．
∴③的说法正确；
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0，
∴当x＝2时，y有最小值为﹣9a，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a．
∴④的说法不正确．
综上，正确结论是：①②③，
故答案：①②③．
图1
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，数形结合法，配方法，二次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键
16. 如图，E是线段BC上的一个动点，AD在线段AE上，于E，，，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】设 则利用勾股定理可得再构建坐标系内三点： 且 先求解的最小值，从而可得答案．
【详解】解：设 则
∵于E，，，
∴
∴
如图，构建如下坐标系与格点，
且
∴
∴当三点共线时，
最小，最小值为线段的长度，
此时
∴的最小值为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，熟练的运用两点之间线段最短构建直角三角形，再利用勾股定理解题是关键．
三、解答题（共86分）
17. 如图，与的图像交于，两点．
（1）直接写出____________，____________，____________，____________；
（2）直接写出的取值范围是____________；
（3）求的面积．
【答案】（1），，，
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先把，分别代入反比例函数解析式可求出、，利用待定系数法求直线的解析式，即可得到、的值；
（2）根据两个函数图像交于点，两点，观察图像即可求得不等式的解集；
（3）根据（1）中直线的解析式，求出该直线与轴的交点的坐标，然后根据三角形面积公式，利用进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵与的图像交于，两点，
∴，，
解得：，，
∴，，
∴，
解得：．
∴直线的解析式为：
故答案：，，，．
【小问2详解】
由（1）可知：与的图像交于，两点，
∴的取值范围是：或．
故答案为：或．
【小问3详解】
设直线与轴的交于点，
当时，，
∴，
∴．
∴的面积为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点；方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式，利用图像求不等式的解集，利用等积法求三角形的面积．确定两个函数图像的交点坐标是解题的关键．
18. 随着正定旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．
（1）该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的288个，求该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率；
（2）根据市场表现发现每床每日收费40元，288张床可全部租出，若每床每日收费提高10元，则租出床位减少20张．若想平均每天获利14880元，同时又减轻游客的经济负担每张床位应定价多少元？
【答案】(1)20%;(2) 60元.
【解析】
【分析】（1）设该宾馆这两年床位的年平均增长率为x，根据该宾馆2016年底及2018年底的床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每张床位定价m元，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：（1）设该宾馆这两年床位的年平均增长率为x，
依题意，得：200（1+x）2＝288，
解得：x1＝02＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该宾馆这两年床位的年平均增长率为20%．
（2）设每张床位定价m元，
依题意，得：m（288﹣20•）＝14880，
整理，得：m2﹣184m+7440＝0，
解得m1＝60，m2＝124．
∵为了减轻游客的经济负担，
∴m2＝124（舍去）．
答：每张床位应定价60元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19. 如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动．
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）1秒或2秒，（2）存在，秒或秒
【解析】
【分析】（1）设经过秒后，根据的面积等于矩形面积的，得出方程解方程即可；（2）假设经过秒时，以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，然后利用相似三角形的对应边成比例得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）设经过秒后，的面积等于矩形面积的，
则有：，即，
解方程，得．
经检验，可知符合题意，所以经过1秒或2秒后，的面积等于矩形面积的．
（2）假设经过秒时，以为顶点的三角形与相似，
由矩形，可得，
因此有或，
即 ①，或 ②，
解①，得；解②，得，
经检验，或都符合题意，所以动点同时出发后，经过秒或秒时，以为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，相似三角形的性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．
20. 已知关于x的方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）当时，，是该方程的根，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）的值为3．
【解析】
【分析】（1）首先求出方程的根的判别式，然后得出根的判别式为非负数，得出答案；
（2）将代入方程，化为一般形式后利用方程的解和根与系数的关系可求得，，，然后带入化简求值及可．
【小问1详解】
（1）证明：方程可变形为，
即，
所以，这个方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
当时，
原方程为
，是该方程的根
，，
，
．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系；灵活运用根的判别式判断方程的解、和根与系数的关系求解是解题的关键．
21. 如图，在矩形ABCD中，，，将矩形纸片折叠，使点C与A重合．
（1）请在图中画出折痕EF，折痕交AD于E，交BC于F，折痕用实线表示，因计算需要另外添加的辅助线用虚线表示（保留必要的作图痕迹）；
（2）求出折痕EF的长度．
【答案】（1）EF即为所求；
（2）cm
【解析】
【分析】（1）利用直尺和圆规作出AC的垂直平分线即可得折痕；
（2）利用勾股定理列式求出AC，根据翻折变换的性质可得AC⊥EF，OC=AC，然后利用△COF与△CBA相似边成比例求出OF，再求出△AOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，从而求出折痕的长．
【小问1详解】
如图，线段EF即为所求；
【小问2详解】
∵AB=6cm,BC=8cm,
∴ cm
∵折叠后点C与点A重合，
∴AC⊥EF，OC=AC=×10=5cm
∵∠B=∠COF=90°，∠ACB=∠OCF
∴△COF∽△CBA
则
∴
解得OF= cm
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF= cm
∴折痕EF= OE+OF= cm
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△AOE≌△COF
22. 已知抛物线经过，，
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当时，直接写出____________，____________；
（3）点是抛物线上第一象限内的一点，若，求点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为：，顶点坐标为：
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）将点与点的坐标代入抛物线的解析式即可求出与的值；
（2）根据（1）中抛物线的解析式，先求出该图像与轴的交点的坐标，并确定该图像的最值，根据图像即可求出当时，的取值范围，从而得出答案；
（3）过点作轴于点，设，根据（2）中所得点的坐标，然后根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
化成顶点式为：，
∴顶点坐标为：．
∴抛物线的解析式为：，顶点坐标为：．
【小问2详解】
由（1）知：，
∵二次项系数，
∴图像开口向下，当时，可取得最大值为，
当时，，
∴，且，
∴当时，的取值范围为：，
∴当时，，．
故答案为：；．
【小问3详解】
过点作轴于点，设，
∵点是抛物线上第一象限内的一点，
∴，，，
∵，，，，
∴，，，，，
∴，
即：，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴当时，，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，考查待定系数法求解析式，二次函数图像的性质，解方程，等积法求面积等知识．理解和掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
23. 点P是正方形所在平面内一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转 ，得线段，连接．
（1）如图①，当P在边上时，直接写出与之间的关系是 ；
（2）如图②，当P在正方形内部时，与之间有怎样的关系？请说明理由；
（3）射线交于E，若四边形是正方形，，，直接写出 ．
【答案】（1） 理由见解析
（2） 理由见解析
（3）的值为 或．
【解析】
【分析】（1）根据证明，再利用全等三角形的性质可得结论．
（2）结论：如图，延长交于交于．证明，推出，可得结论．
（3）分两种情形：如图3-1中，当点E在的延长线上时，如图3-2中，当点E在线段上时，利用勾股定理求出，可得结论．
【小问1详解】
证明：如图①中， 延长交于
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，

∴．
∴
∴
∴
【小问2详解】
结论：．
理由：如图，延长交于交于．
∵四边形是正方形，
∴
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
【小问3详解】
如图3-1中，当点E在的延长线上时，
∵四边形是正方形，
∴，
∴三点共线，
∴．
如图3-2中，当点E在线段上时，
同法可得，
综上所述，满足条件的的值为 或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24. 【基础巩固】
（1）如图1，在中，为上一点，．求证：．
（2）【尝试应用】如图2，在平行四边形中，为上一点，为延长线上一点，，若，，求的长．
（3）【拓展提高】如图3，在菱形中，是上一点，是内一点，，，，则线段与线段之间的数量关系为 ，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）的长为9
（3）段与线段之间的数量关系为，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用两个角对应相等证明即可得到结论；
（2）首先说明，得，求出的长，再利用平行四边形的性质可得的长；
（3）延长交于，利用两组对边分别平行可得四边形是平行四边形，得，在利用，得，代入化简即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图所示，延长交于，
四边形是菱形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握共边共角三角形相似是解题的关键．
25. 如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A为，．直线与抛物线交于M、N两点（M在N左边），交y轴于点H．
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图1，若，过C点作于点D，连接，若此时，求M点的横坐标；
（3）如图2，若，连接，过原点O作直线的垂线，垂足为E，以为半径作．求证：与直线相切．
【答案】（1）抛物线的解析式为：
（2）点M的横坐标为
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可知，，代入到解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）如图1，延长交直线l于点P，过点P作轴于点Q，由直角三角形两锐角互余可得，所以，易证，所以，得出P点坐标，进而可得直线l的解析式为：，联立直线与抛物线的解析式即可得出结论；
（3）联立直线l与抛物线的解析式得，由根与系数的关系可知，进而可以设直线得解析式分别为：，分别联立两条直线和抛物线的解析式，可求得，设直线与y轴交点分别为G，H，由垂直平分线的性质可得平分，过点O作于点F，由角平分线的性质可知，，由此可得出结论．
【小问1详解】
由题意得，，
代入到解析式中，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
如图1，延长交直线l于点P，过点P作轴于点Q，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴直线l的解析式为：，
令，
解得，
∵点M在点N的左边，
∴点M的横坐标为；
【小问3详解】
联立直线l于抛物线得：，
∴，
由根的系数得关系知：，
∵，
∴可设直线得解析式分别为：，
分别令，
整理可求得，
代入到根与系数的关系式中得：，
∴，
如图2，设直线与y轴交点分别为G，H，
∴，
∴，
∵，即垂直平分，
∴，
∴平分，
过点O作于点F，
∵，
∴，
∴与直线相切．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线与抛物线的交点问题，根与系数的关系及切线的判定定理，根据题意作出正确的辅助线是解决本题的关键．