最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（练透）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·福建宁德·校考二模）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，可作图如下：
则，，设，在中，易知，
在中，，，，
在长方体中，易知，
则为异面直线与的夹角或其补角，
在中，，则，同理可得，，
由余弦定理，则.
故选：C.
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知正方体，棱长为1，，分别为棱，的中点，则（ ）
A．直线与直线共面B．不垂直于
C．直线与直线的所成角为60°D．三棱锥的体积为
【答案】D
【解析】如图，以为原点，以，，所在直线分别为，，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，

对于A，假设直线与直线共面，
∵平面平面，平面平面，平面平面，
∴，
∵，
∴，矛盾，
∴直线与直线不共面，A错误；
对于B，∵，，
∴，
∴，
∴，B错误，
对于C，设直线与直线所成的角为，
∵，，
∴，
∴，
∴C错误，
对于D，∵平面，
∴，D正确．
故选：D．
3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知三棱锥中，平面ABC，，，，，D为PB的中点，则异面直线AD与PC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，

则，或其补角即为异面直线AD与PC所成的角．
由，，，则有，所以，
E为BC的中点，则，
平面ABC，中，，∴
中，，∴，
在中，根据余弦定理可得．
所以异面直线AD与PC所成角的余弦值为.
故选：D
4．（2023·北京海淀·北航实验学校校考三模）已知正方体中，点M为线段上的动点，点N为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段MN有（ ）

A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】B
【解析】在正方体中，，而平面，即有平面，

又与线段相交，则交点必在直线上，而平面，于是平面，平面，
因为，平面，即平面，而平面平面，
因此，即点为的交点，又线段与互相平分，
取的中点，连接并延长交于，显然，于是为的中点，
所以当点与重合，点与重合时，与线段相交且互相平分，这样的直线只有1条.
故选：B
5．（2023·广东汕头·统考二模）已知，，是三个平面，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线b与直线c可能是异面直线B．直线a与直线c可能平行
C．直线a，b，c必然交于一点（即三线共点）D．直线c与平面可能平行
【答案】C
【解析】ABC选项，因为，，，
所以，
因为，所以，
所以直线a，b，c必然交于一点（即三线共点），AB错误，C正确；
D选项，假设直线c与平面平行，
假设直线c与平面 α 平行，由，可知，
这与矛盾，故假设不成立，D错误.
故选：C
6．（2023·陕西延安·校考一模）在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开，得到的平面图如图所示．其中，，，是上的点，则在直三棱柱中，下列结论错误的是（ ）

A．与是异面直线
B．
C．平面将三棱柱截成一个五面体和一个四面体
D．的最小值是
【答案】D
【解析】由题设，可得直三棱柱，如图．
由直三棱柱的结构特征知: 而是相交直线，所以与是异面直线，项正确；
因为，，,所以，
又，且，平面，所以平面，
又平面，故B正确；
由图知，平面将三棱柱截成四棱锥和三棱锥，一个五面体和一个四面体，C项正确；
将平面和平面展开，展开为一个平面，如图，

当共线时，的最小值为，D错误．
故选：D
7．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线B．四点异不共面
C．四点共面D．四点共面
【答案】C
【解析】
因为 ,
则四点共面.
因为 ,
则 平面 ,
又 平面 ,
则点 在平面 与平面的交线上,
同理, 也在平面 与平面 的交线上,
所以三点共线;
从而 四点共面,都在平面 内，
而点B不在平面 内，
所以四点不共面，故选项B正确；
三点均在平面内，
而点A不在平面内，
所以直线AO与平面相交且点O是交点，
所以点M不在平面内，
即 四点不共面，
故选项C错误；
，且，
所以为平行四边形，
所以共面，
所以四点共面，
故选项D正确.
故选: C.
8．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）为棱长为2的正方体，点分别为，的中点，给出以下命题：①直线与是异面直线；②点到面距离为；③若点三点确定的平面与交于点，则，正确命题有（ ）

A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】对①，由图可知，不在平面内，故直线与是异面直线，故①正确；

对②，取的中点，过作，连接，
由为2的正方体，是的中点，可得平面，
因为平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，故即为点到面距离，
又，所以四点共面，
所以即为点到面距离，
由条件可求，，，，
所以，
所以，因为，
所以点到面距离为，故②错误；

对③，如图，将面扩展，取，则，
取的中点，连接，
则与的交点即为点三点确定的平面与的交点，
因为，所以为的中点，
又，所以，故③错误.

故选：B.
9．（多选题）（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）下列命题正确的有（ ）
A．空间中两两相交的三条直线一定共面
B．已知不重合的两个平面，则存在直线，使得为异面直线
C．有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．过平面外一定点，有且只有一个平面与平行
【答案】BD
【解析】对于A，空间中两两相交的三条直线交于同一点时，可能共面也可能不共面，A错误；
对于B，不重合的两个平面，可能平行或者相交，

不论是平行还是相交，都存在直线，使得为异面直线，B正确；
对于C，如图示几何体满足两个平面平行，其他各个面都是平行四边形，

但该几何体不是棱柱，C错误；
对于D，由于过平面外一定点，有且只有一条直线m与平面垂直，
过点P有且只有一个平面与m垂直，则，
故过平面外一定点，有且只有一个平面与平行，D正确，
故选：BD
10．（多选题）（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知空间中的平面，直线，，以及点，，，，则以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．在空间中，四边形满足，则四边形是菱形.
B．若，，则.
C．若，，，，，，则.
D．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线.
【答案】ABD
【解析】对于A项，正四面体的各条棱长均相等，四边形为空间四边形，不是菱形，故A项错误；
对于B项，若，则或与相交，所以或（此时为与的交点），故B项错误；
对于C项，由已知可得，，，即直线上有两个点在平面内，
根据基本事实2可知，故C项正确；
对于D项，如图正方体中，和异面（是异面直线），（），
但是（相交），故D项错误.
故选：ABD.
11．（多选题）（2023·广东湛江·校考模拟预测）在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，，，N为线段AQ的中点，则（ ）

A．CN与QM共面
B．三棱锥的体积跟的取值无关
C．时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为
D．时，
【答案】ABC
【解析】在中，因为为的中点，所以，
所以与共面，所以A正确；
由，因为到平面的距离为定值，且的面积为定值，
所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以B正确；
当时，过三点的正方体的截面是等腰梯形，

所以平面截正方体所得截面的周长为，
所以C正确；
当时，可得为的中点,为的中点
，
则，所以不成，所以D不正确．
故选：ABC

12．（多选题）（2023·云南曲靖·校考三模）如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则（ ）

A．直线为异面直线
B．平面
C．过点的平面截正方体的截面面积为
D．点是侧面内一点（含边界），平面，则的取值范围是
【答案】BC
【解析】对于A，连接，

由题意可知，因为，所以，所以共面，
故选项A错误；
对于B，因为，平面，平面，
所以平面，同理，平面，
且，平面,
所以平面平面,
连结，
因为，，，且平面，
所以平面，平面，
所以，同理，，且，平面，
所以平面，且平面平面，
所以平面，故选项B正确；

对于C，连接，

根据正方体的性质可得，且，
所以平面即为过点的平面截正方体的截面，该四边形为等腰梯形，
其上底，下底，腰,高为，
所以截面面积为，故选项C正确；
对于D，取的中点，的中点H，连结，
因为，且，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，且，平面，
所以平面平面，
因为点是侧面内一点（含边界），平面，
所以点的轨迹为线段，
连接，

在中，，
点到的距离为，
的取值范围为，故D错误.
故选：BC
13．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）在棱长为2的正方体中，为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 .
【答案】/
【解析】在棱长为2的正方体中，取中点，连接，如图，

因为为的中点，有，则四边形是平行四边形，
于是，又，即有四边形是平行四边形，
因此，则是异面直线与所成的角或补角，
而为底面的中心，则，又平面，
从而平面，而平面，则，
在中，，于是，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故答案为：
14．（2023·四川凉山·三模）在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为 ．
【答案】
【解析】如图，在正方体中，
平面平面，
平面与平面的交线必过且平行于，
故平面经过的中点，连接，得截面，
易知截面是边长为的菱形，其对角线，
，截面面积．
故答案为：．
15．（2021·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）下列命题中正确的命题为 .
①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；
②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；
③若直线异面，异面，则异面；
④若，则.
【答案】①②
【解析】对于①，设平面平面，因为，所以平面，
所以，同理，，故三点共线，①正确；
对于②，因为，所以可以确定一个平面，
因为所以，所以，又，
所以，因为，所以或，又，
所以不成立，所以，即这四条直线共面，所以②正确；
对于③，直线异面，异面，但是平行，所以③错误，如下右图；
对于④，，但，所以④错误，如下左图.
故正确的命题为①②.
故答案为：①②
16．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面的面积为 ．
【答案】
【解析】取上靠近点的一个四等分点，连接，，
因为，所以且，则四边形为平行四边形，
所以且，过点作，因为，所以四边形为平行四边形，
则且，所以且，则截面为平行四边形，
由直四棱柱的性质可得，
，
，，
在△中，由余弦定理得，，
所以，
则截面的面积为；
故答案为：6

17．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）如图，正方体中，直线平面，，.
(1)设，，试在所给图中作出直线，使得，并说明理由；
(2)设点A与（1）中所作直线确定平面.
①求平面与平面ABCD的夹角的余弦值；
②请在备用图中作出平面截正方体所得的截面，并写出作法.
【解析】（1）由题意，P、Q分别为和的中点吋，有，
证明过程如下：连接，取和中点分别为P、Q，连接，
∵，∴一定过经过点E,∴PQ即为所求作的l.
∵P、Q分别为和的中点，∴P、Q为的中位线，
∴，且PQ过经过点E，
∵正方体的的上底面为正方形.
∴，∵，∴，
又∵正方体的侧棱垂直底面，，
∴，又∵，平面，.
∴平面，∵平面，
∴，即；
（2）①连接AP，AQ，∵正方体中，有AD，DC，DD两两垂直，以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体边长为2，则有，，，，，
所以，，
∵正方体的侧棱垂直底面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.
设平面，即平面APQ的法向量，则，.
∴，，即
令，则，.
∴平面APQ的一个法向量.
，，，
设平面与平面ABCD的夹角的平面角为，
则；
②设直线交于，连接分别交于，连接，则平面即为平面截正方体所得的截面，如图所示.
18．（2022·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）如图，在正四面体A-BCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且，．
(1)求证：直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上；
(2)若，求点B到平面EFGH的距离．
【解析】（1）因为，，所以，又，所以，故E，F，G，H四点共面，且直线EH，FG必相交于一点，设，因为，平面ABD，所以M∈平面ABD，同理：平面BCD，而平面平面，故平面BCD，即直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上．
（2）连结EG，BG，点B到平面EFGH的距离为d，正四面体的棱长为2易知该正四面体的高为，所以E到平面BFG的距离为，在△CFG中，由余弦定理可得：，在等腰梯形EFGH中可得：G到EF的距离为，而G到BF的距离也为，则．
由可得：，故点B到平面EFGH的距离为．
19．（2022·贵州·统考模拟预测）如图，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点．
(1)求证：，，，四点共面，记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）；
(2)设（1）中平面与该正方体六个面所成锐二面角大小分别为（=1，2，3，4，5，6），求的值．
【解析】（1）连接，，，因为，分别是棱，的中点，
所以．又因为，分别是棱，的中点，所以．
故，所以，，，四点共面．
分别取和的中点为和，连接，，，
由正方体性质得，，，所以多边形共面，所以平面与该正方体各面的交线
如下图（多边形）所示．
（2）以为坐标原点，以的方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则
设平面的法向量为，
即，可取
又平面的一个法向量为，故．
因为平面的一个法向量为，故
因为平面的一个法向量为，故
因为平面的一个法向量为，故
因为平面的一个法向量为，故
因为平面的一个法向量为，故
所以，.
1．（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】
【解析】，，经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；
而平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．
故选：．
2．（2013•江西）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线，相交的平面个数分别记为，，那么
A．8B．9C．10D．11
【答案】
【解析】由题意可知直线与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以，
直线与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以，所以．
故选：．
3．（2005•陕西）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有
A．3个B．4个C．6个D．7个
【答案】
【解析】空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥，
①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个，
②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，
所以满足条件的平面共有7个，
故选：．
4．（2019•上海）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系
A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面
【答案】
【解析】如图1，可得、、可能两两垂直；
如图2，可得、、可能两两相交；
如图3，可得、、可能两两异面；
故选：．
5．（2016•上海）如图，在正方体中，、分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是
A．直线B．直线C．直线D．直线
【答案】
【解析】根据异面直线的概念可看出直线，，都和直线为异面直线；
和在同一平面内，且这两直线不平行；
直线和直线相交，即选项正确．
故选：．
6．（2015•广东）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是
A．与，都不相交B．与，都相交
C．至多与，中的一条相交D．至少与，中的一条相交
【答案】
【解析】．与，可以相交，如图：
该选项错误；
．可以和，中的一个平行，如图，该选项错误；
．可以和，都相交，如图：
该选项错误；
．“至少与，中的一条相交”正确，假如和，都不相交；
和，都共面；
和，都平行；
，和共面，这样便不符合已知的和异面；
该选项正确．
故选：．
7．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知正方体，则
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．直线与平面所成的角为
【答案】
【解析】如图，
连接，由，，得四边形为平行四边形，
可得，，直线与所成的角为，故正确；
，，，平面，而平面，
，即直线与所成的角为，故正确；
设，连接，可得平面，即为直线与平面所成的角，
，直线与平面所成的角为，故错误；
底面，为直线与平面所成的角为，故正确．
故选：．
8．（2006•上海）如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．
【答案】36
【解析】正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；
而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，
所以共有36个“正交线面对”；
故答案为36．