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    最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系(练透)
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    最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系(练透)

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    这是一份最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系(练透),文件包含第02讲空间点直线平面之间的位置关系练习原卷版docx、第02讲空间点直线平面之间的位置关系练习解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共34页, 欢迎下载使用。

    2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”,应在老师的指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。
    3、加强审题的规范性。每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系,确定解题思路 。
    4、重视错题。错误是最好的老师”,但更重要的是寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。
    第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
    (模拟精练+真题演练)
    1.(2023·福建宁德·校考二模)在长方体中,和与底面所成的角分别为和,则异面直线和所成角的余弦值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】由题意,可作图如下:
    则,,设,在中,易知,
    在中,,,,
    在长方体中,易知,
    则为异面直线与的夹角或其补角,
    在中,,则,同理可得,,
    由余弦定理,则.
    故选:C.
    2.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知正方体,棱长为1,,分别为棱,的中点,则( )
    A.直线与直线共面B.不垂直于
    C.直线与直线的所成角为60°D.三棱锥的体积为
    【答案】D
    【解析】如图,以为原点,以,,所在直线分别为,,建立空间直角坐标系,
    则,,,,,,,,,,

    对于A,假设直线与直线共面,
    ∵平面平面,平面平面,平面平面,
    ∴,
    ∵,
    ∴,矛盾,
    ∴直线与直线不共面,A错误;
    对于B,∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,B错误,
    对于C,设直线与直线所成的角为,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∴C错误,
    对于D,∵平面,
    ∴,D正确.
    故选:D.
    3.(2023·河南·襄城高中校联考三模)已知三棱锥中,平面ABC,,,,,D为PB的中点,则异面直线AD与PC所成角的余弦值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】如图所示,取BC的中点E,连接AE,DE,

    则,或其补角即为异面直线AD与PC所成的角.
    由,,,则有,所以,
    E为BC的中点,则,
    平面ABC,中,,∴
    中,,∴,
    在中,根据余弦定理可得.
    所以异面直线AD与PC所成角的余弦值为.
    故选:D
    4.(2023·北京海淀·北航实验学校校考三模)已知正方体中,点M为线段上的动点,点N为线段上的动点,则与线段相交且互相平分的线段MN有( )

    A.0条B.1条C.2条D.3条
    【答案】B
    【解析】在正方体中,,而平面,即有平面,

    又与线段相交,则交点必在直线上,而平面,于是平面,平面,
    因为,平面,即平面,而平面平面,
    因此,即点为的交点,又线段与互相平分,
    取的中点,连接并延长交于,显然,于是为的中点,
    所以当点与重合,点与重合时,与线段相交且互相平分,这样的直线只有1条.
    故选:B
    5.(2023·广东汕头·统考二模)已知,,是三个平面,,,,且,则下列结论正确的是( )
    A.直线b与直线c可能是异面直线B.直线a与直线c可能平行
    C.直线a,b,c必然交于一点(即三线共点)D.直线c与平面可能平行
    【答案】C
    【解析】ABC选项,因为,,,
    所以,
    因为,所以,
    所以直线a,b,c必然交于一点(即三线共点),AB错误,C正确;
    D选项,假设直线c与平面平行,
    假设直线c与平面 α 平行,由,可知,
    这与矛盾,故假设不成立,D错误.
    故选:C
    6.(2023·陕西延安·校考一模)在通用技术课上,某小组将一个直三棱柱展开,得到的平面图如图所示.其中,,,是上的点,则在直三棱柱中,下列结论错误的是( )

    A.与是异面直线
    B.
    C.平面将三棱柱截成一个五面体和一个四面体
    D.的最小值是
    【答案】D
    【解析】由题设,可得直三棱柱,如图.
    由直三棱柱的结构特征知: 而是相交直线,所以与是异面直线,项正确;
    因为,,,所以,
    又,且,平面,所以平面,
    又平面,故B正确;
    由图知,平面将三棱柱截成四棱锥和三棱锥,一个五面体和一个四面体,C项正确;
    将平面和平面展开,展开为一个平面,如图,

    当共线时,的最小值为,D错误.
    故选:D
    7.(2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)在长方体中,直线与平面的交点为为线段的中点,则下列结论错误的是( )
    A.三点共线B.四点异不共面
    C.四点共面D.四点共面
    【答案】C
    【解析】
    因为 ,
    则四点共面.
    因为 ,
    则 平面 ,
    又 平面 ,
    则点 在平面 与平面的交线上,
    同理, 也在平面 与平面 的交线上,
    所以三点共线;
    从而 四点共面,都在平面 内,
    而点B不在平面 内,
    所以四点不共面,故选项B正确;
    三点均在平面内,
    而点A不在平面内,
    所以直线AO与平面相交且点O是交点,
    所以点M不在平面内,
    即 四点不共面,
    故选项C错误;
    ,且,
    所以为平行四边形,
    所以共面,
    所以四点共面,
    故选项D正确.
    故选: C.
    8.(2023·四川成都·树德中学校考模拟预测)为棱长为2的正方体,点分别为,的中点,给出以下命题:①直线与是异面直线;②点到面距离为;③若点三点确定的平面与交于点,则,正确命题有( )

    A.0个B.1个C.2个D.3个
    【答案】B
    【解析】对①,由图可知,不在平面内,故直线与是异面直线,故①正确;

    对②,取的中点,过作,连接,
    由为2的正方体,是的中点,可得平面,
    因为平面,所以,
    因为,,,平面,
    所以平面,故即为点到面距离,
    又,所以四点共面,
    所以即为点到面距离,
    由条件可求,,,,
    所以,
    所以,因为,
    所以点到面距离为,故②错误;

    对③,如图,将面扩展,取,则,
    取的中点,连接,
    则与的交点即为点三点确定的平面与的交点,
    因为,所以为的中点,
    又,所以,故③错误.

    故选:B.
    9.(多选题)(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)下列命题正确的有( )
    A.空间中两两相交的三条直线一定共面
    B.已知不重合的两个平面,则存在直线,使得为异面直线
    C.有两个平面平行,其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
    D.过平面外一定点,有且只有一个平面与平行
    【答案】BD
    【解析】对于A,空间中两两相交的三条直线交于同一点时,可能共面也可能不共面,A错误;
    对于B,不重合的两个平面,可能平行或者相交,

    不论是平行还是相交,都存在直线,使得为异面直线,B正确;
    对于C,如图示几何体满足两个平面平行,其他各个面都是平行四边形,

    但该几何体不是棱柱,C错误;
    对于D,由于过平面外一定点,有且只有一条直线m与平面垂直,
    过点P有且只有一个平面与m垂直,则,
    故过平面外一定点,有且只有一个平面与平行,D正确,
    故选:BD
    10.(多选题)(2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测)已知空间中的平面,直线,,以及点,,,,则以下四个命题中,不正确的命题是( )
    A.在空间中,四边形满足,则四边形是菱形.
    B.若,,则.
    C.若,,,,,,则.
    D.若和是异面直线,和是平行直线,则和是异面直线.
    【答案】ABD
    【解析】对于A项,正四面体的各条棱长均相等,四边形为空间四边形,不是菱形,故A项错误;
    对于B项,若,则或与相交,所以或(此时为与的交点),故B项错误;
    对于C项,由已知可得,,,即直线上有两个点在平面内,
    根据基本事实2可知,故C项正确;
    对于D项,如图正方体中,和异面(是异面直线),(),
    但是(相交),故D项错误.
    故选:ABD.
    11.(多选题)(2023·广东湛江·校考模拟预测)在棱长为1的正方体中,M为底面的中心,,,N为线段AQ的中点,则( )

    A.CN与QM共面
    B.三棱锥的体积跟的取值无关
    C.时,过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的周长为
    D.时,
    【答案】ABC
    【解析】在中,因为为的中点,所以,
    所以与共面,所以A正确;
    由,因为到平面的距离为定值,且的面积为定值,
    所以三棱锥的体积跟的取值无关,所以B正确;
    当时,过三点的正方体的截面是等腰梯形,

    所以平面截正方体所得截面的周长为,
    所以C正确;
    当时,可得为的中点,为的中点

    则,所以不成,所以D不正确.
    故选:ABC

    12.(多选题)(2023·云南曲靖·校考三模)如图,棱长为2的正方体中,点分别是棱的中点,则( )

    A.直线为异面直线
    B.平面
    C.过点的平面截正方体的截面面积为
    D.点是侧面内一点(含边界),平面,则的取值范围是
    【答案】BC
    【解析】对于A,连接,

    由题意可知,因为,所以,所以共面,
    故选项A错误;
    对于B,因为,平面,平面,
    所以平面,同理,平面,
    且,平面,
    所以平面平面,
    连结,
    因为,,,且平面,
    所以平面,平面,
    所以,同理,,且,平面,
    所以平面,且平面平面,
    所以平面,故选项B正确;

    对于C,连接,

    根据正方体的性质可得,且,
    所以平面即为过点的平面截正方体的截面,该四边形为等腰梯形,
    其上底,下底,腰,高为,
    所以截面面积为,故选项C正确;
    对于D,取的中点,的中点H,连结,
    因为,且,所以四边形是平行四边形,
    所以,平面,平面,
    所以平面,
    因为,平面,平面,
    所以平面,且,平面,
    所以平面平面,
    因为点是侧面内一点(含边界),平面,
    所以点的轨迹为线段,
    连接,

    在中,,
    点到的距离为,
    的取值范围为,故D错误.
    故选:BC
    13.(2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模)在棱长为2的正方体中,为底面的中心,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值是 .
    【答案】/
    【解析】在棱长为2的正方体中,取中点,连接,如图,

    因为为的中点,有,则四边形是平行四边形,
    于是,又,即有四边形是平行四边形,
    因此,则是异面直线与所成的角或补角,
    而为底面的中心,则,又平面,
    从而平面,而平面,则,
    在中,,于是,
    所以异面直线与所成角的余弦值是.
    故答案为:
    14.(2023·四川凉山·三模)在棱长为2的正方体中,若E为棱的中点,则平面截正方体的截面面积为 .
    【答案】
    【解析】如图,在正方体中,
    平面平面,
    平面与平面的交线必过且平行于,
    故平面经过的中点,连接,得截面,
    易知截面是边长为的菱形,其对角线,
    ,截面面积.
    故答案为:.
    15.(2021·宁夏银川·银川一中校考模拟预测)下列命题中正确的命题为 .
    ①若在平面外,它的三条边所在的直线分别交于,则三点共线;
    ②若三条直线互相平行且分别交直线于三点,则这四条直线共面;
    ③若直线异面,异面,则异面;
    ④若,则.
    【答案】①②
    【解析】对于①,设平面平面,因为,所以平面,
    所以,同理,,故三点共线,①正确;
    对于②,因为,所以可以确定一个平面,
    因为所以,所以,又,
    所以,因为,所以或,又,
    所以不成立,所以,即这四条直线共面,所以②正确;
    对于③,直线异面,异面,但是平行,所以③错误,如下右图;
    对于④,,但,所以④错误,如下左图.
    故正确的命题为①②.
    故答案为:①②
    16.(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)在直四棱柱中,,,M,N在棱,上,且,,过的平面交于G,则截面的面积为 .
    【答案】
    【解析】取上靠近点的一个四等分点,连接,,
    因为,所以且,则四边形为平行四边形,
    所以且,过点作,因为,所以四边形为平行四边形,
    则且,所以且,则截面为平行四边形,
    由直四棱柱的性质可得,

    ,,
    在△中,由余弦定理得,,
    所以,
    则截面的面积为;
    故答案为:6

    17.(2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模)如图,正方体中,直线平面,,.
    (1)设,,试在所给图中作出直线,使得,并说明理由;
    (2)设点A与(1)中所作直线确定平面.
    ①求平面与平面ABCD的夹角的余弦值;
    ②请在备用图中作出平面截正方体所得的截面,并写出作法.
    【解析】(1)由题意,P、Q分别为和的中点吋,有,
    证明过程如下:连接,取和中点分别为P、Q,连接,
    ∵,∴一定过经过点E,∴PQ即为所求作的l.
    ∵P、Q分别为和的中点,∴P、Q为的中位线,
    ∴,且PQ过经过点E,
    ∵正方体的的上底面为正方形.
    ∴,∵,∴,
    又∵正方体的侧棱垂直底面,,
    ∴,又∵,平面,.
    ∴平面,∵平面,
    ∴,即;
    (2)①连接AP,AQ,∵正方体中,有AD,DC,DD两两垂直,以D点为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,
    设正方体边长为2,则有,,,,,
    所以,,
    ∵正方体的侧棱垂直底面ABCD,∴为平面ABCD的法向量.
    设平面,即平面APQ的法向量,则,.
    ∴,,即
    令,则,.
    ∴平面APQ的一个法向量.
    ,,,
    设平面与平面ABCD的夹角的平面角为,
    则;
    ②设直线交于,连接分别交于,连接,则平面即为平面截正方体所得的截面,如图所示.
    18.(2022·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测)如图,在正四面体A-BCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,点G,H分别在CD,AD上,且,.
    (1)求证:直线EH,FG必相交于一点,且这个交点在直线BD上;
    (2)若,求点B到平面EFGH的距离.
    【解析】(1)因为,,所以,又,所以,故E,F,G,H四点共面,且直线EH,FG必相交于一点,设,因为,平面ABD,所以M∈平面ABD,同理:平面BCD,而平面平面,故平面BCD,即直线EH,FG必相交于一点,且这个交点在直线BD上.
    (2)连结EG,BG,点B到平面EFGH的距离为d,正四面体的棱长为2易知该正四面体的高为,所以E到平面BFG的距离为,在△CFG中,由余弦定理可得:,在等腰梯形EFGH中可得:G到EF的距离为,而G到BF的距离也为,则.
    由可得:,故点B到平面EFGH的距离为.
    19.(2022·贵州·统考模拟预测)如图,在正方体中,,,,分别是棱,,,的中点.
    (1)求证:,,,四点共面,记过这四点的平面为,在图中画出平面与该正方体各面的交线(不必说明画法和理由);
    (2)设(1)中平面与该正方体六个面所成锐二面角大小分别为(=1,2,3,4,5,6),求的值.
    【解析】(1)连接,,,因为,分别是棱,的中点,
    所以.又因为,分别是棱,的中点,所以.
    故,所以,,,四点共面.
    分别取和的中点为和,连接,,,
    由正方体性质得,,,所以多边形共面,所以平面与该正方体各面的交线
    如下图(多边形)所示.
    (2)以为坐标原点,以的方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系,
    设正方体的棱长为2,则
    设平面的法向量为,
    即,可取
    又平面的一个法向量为,故.
    因为平面的一个法向量为,故
    因为平面的一个法向量为,故
    因为平面的一个法向量为,故
    因为平面的一个法向量为,故
    因为平面的一个法向量为,故
    所以,.
    1.(2013•安徽)在下列命题中,不是公理的是
    A.平行于同一个平面的两个平面平行
    B.过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面
    C.如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有点都在此平面内
    D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
    【答案】
    【解析】,,经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理;
    而平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理.
    故选:.
    2.(2013•江西)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正方体的六个面所在的平面与直线,相交的平面个数分别记为,,那么
    A.8B.9C.10D.11
    【答案】
    【解析】由题意可知直线与正方体的上底面平行在正方体的下底面上,与正方体的四个侧面不平行,所以,
    直线与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上下底面相交,前后侧面相交,所以,所以.
    故选:.
    3.(2005•陕西)不共面的四个定点到平面的距离都相等,这样的平面共有
    A.3个B.4个C.6个D.7个
    【答案】
    【解析】空间中不共面的四个定点构成三棱锥,如图:三棱锥,
    ①当平面一侧有一点,另一侧有三点时,即对此三棱锥进行换底,则三棱锥有四种表示形式,此时满足条件的平面个数是四个,
    ②当平面一侧有两点,另一侧有两点时,即构成的直线是三棱锥的相对棱,因三棱锥的相对棱有三对,则此时满足条件的平面个数是三个,
    所以满足条件的平面共有7个,
    故选:.
    4.(2019•上海)已知平面、、两两垂直,直线、、满足:,,,则直线、、不可能满足以下哪种关系
    A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面
    【答案】
    【解析】如图1,可得、、可能两两垂直;
    如图2,可得、、可能两两相交;
    如图3,可得、、可能两两异面;
    故选:.
    5.(2016•上海)如图,在正方体中,、分别为、的中点,则下列直线中与直线相交的是
    A.直线B.直线C.直线D.直线
    【答案】
    【解析】根据异面直线的概念可看出直线,,都和直线为异面直线;
    和在同一平面内,且这两直线不平行;
    直线和直线相交,即选项正确.
    故选:.
    6.(2015•广东)若直线和是异面直线,在平面内,在平面内,是平面与平面的交线,则下列命题正确的是
    A.与,都不相交B.与,都相交
    C.至多与,中的一条相交D.至少与,中的一条相交
    【答案】
    【解析】.与,可以相交,如图:
    该选项错误;
    .可以和,中的一个平行,如图,该选项错误;
    .可以和,都相交,如图:
    该选项错误;
    .“至少与,中的一条相交”正确,假如和,都不相交;
    和,都共面;
    和,都平行;
    ,和共面,这样便不符合已知的和异面;
    该选项正确.
    故选:.
    7.(多选题)(2022•新高考Ⅰ)已知正方体,则
    A.直线与所成的角为
    B.直线与所成的角为
    C.直线与平面所成的角为
    D.直线与平面所成的角为
    【答案】
    【解析】如图,
    连接,由,,得四边形为平行四边形,
    可得,,直线与所成的角为,故正确;
    ,,,平面,而平面,
    ,即直线与所成的角为,故正确;
    设,连接,可得平面,即为直线与平面所成的角,
    ,直线与平面所成的角为,故错误;
    底面,为直线与平面所成的角为,故正确.
    故选:.
    8.(2006•上海)如果一条直线与一个平面垂直,则称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 .
    【答案】36
    【解析】正方体中,每一个表面有四条棱与之垂直,六个表面,共构成24个“正交线面对”;
    而正方体的六个对角截面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,
    所以共有36个“正交线面对”;
    故答案为36.
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