最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系(练透)
展开2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”,应在老师的指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系,确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”,但更重要的是寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。
第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
(模拟精练+真题演练)
1.(2023·福建宁德·校考二模)在长方体中,和与底面所成的角分别为和,则异面直线和所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意,可作图如下:
则,,设,在中,易知,
在中,,,,
在长方体中,易知,
则为异面直线与的夹角或其补角,
在中,,则,同理可得,,
由余弦定理,则.
故选:C.
2.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知正方体,棱长为1,,分别为棱,的中点,则( )
A.直线与直线共面B.不垂直于
C.直线与直线的所成角为60°D.三棱锥的体积为
【答案】D
【解析】如图,以为原点,以,,所在直线分别为,,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,,,,
对于A,假设直线与直线共面,
∵平面平面,平面平面,平面平面,
∴,
∵,
∴,矛盾,
∴直线与直线不共面,A错误;
对于B,∵,,
∴,
∴,
∴,B错误,
对于C,设直线与直线所成的角为,
∵,,
∴,
∴,
∴C错误,
对于D,∵平面,
∴,D正确.
故选:D.
3.(2023·河南·襄城高中校联考三模)已知三棱锥中,平面ABC,,,,,D为PB的中点,则异面直线AD与PC所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】如图所示,取BC的中点E,连接AE,DE,
则,或其补角即为异面直线AD与PC所成的角.
由,,,则有,所以,
E为BC的中点,则,
平面ABC,中,,∴
中,,∴,
在中,根据余弦定理可得.
所以异面直线AD与PC所成角的余弦值为.
故选:D
4.(2023·北京海淀·北航实验学校校考三模)已知正方体中,点M为线段上的动点,点N为线段上的动点,则与线段相交且互相平分的线段MN有( )
A.0条B.1条C.2条D.3条
【答案】B
【解析】在正方体中,,而平面,即有平面,
又与线段相交,则交点必在直线上,而平面,于是平面,平面,
因为,平面,即平面,而平面平面,
因此,即点为的交点,又线段与互相平分,
取的中点,连接并延长交于,显然,于是为的中点,
所以当点与重合,点与重合时,与线段相交且互相平分,这样的直线只有1条.
故选:B
5.(2023·广东汕头·统考二模)已知,,是三个平面,,,,且,则下列结论正确的是( )
A.直线b与直线c可能是异面直线B.直线a与直线c可能平行
C.直线a,b,c必然交于一点(即三线共点)D.直线c与平面可能平行
【答案】C
【解析】ABC选项,因为,,,
所以,
因为,所以,
所以直线a,b,c必然交于一点(即三线共点),AB错误,C正确;
D选项,假设直线c与平面平行,
假设直线c与平面 α 平行,由,可知,
这与矛盾,故假设不成立,D错误.
故选:C
6.(2023·陕西延安·校考一模)在通用技术课上,某小组将一个直三棱柱展开,得到的平面图如图所示.其中,,,是上的点,则在直三棱柱中,下列结论错误的是( )
A.与是异面直线
B.
C.平面将三棱柱截成一个五面体和一个四面体
D.的最小值是
【答案】D
【解析】由题设,可得直三棱柱,如图.
由直三棱柱的结构特征知: 而是相交直线,所以与是异面直线,项正确;
因为,,,所以,
又,且,平面,所以平面,
又平面,故B正确;
由图知,平面将三棱柱截成四棱锥和三棱锥,一个五面体和一个四面体,C项正确;
将平面和平面展开,展开为一个平面,如图,
当共线时,的最小值为,D错误.
故选:D
7.(2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)在长方体中,直线与平面的交点为为线段的中点,则下列结论错误的是( )
A.三点共线B.四点异不共面
C.四点共面D.四点共面
【答案】C
【解析】
因为 ,
则四点共面.
因为 ,
则 平面 ,
又 平面 ,
则点 在平面 与平面的交线上,
同理, 也在平面 与平面 的交线上,
所以三点共线;
从而 四点共面,都在平面 内,
而点B不在平面 内,
所以四点不共面,故选项B正确;
三点均在平面内,
而点A不在平面内,
所以直线AO与平面相交且点O是交点,
所以点M不在平面内,
即 四点不共面,
故选项C错误;
,且,
所以为平行四边形,
所以共面,
所以四点共面,
故选项D正确.
故选: C.
8.(2023·四川成都·树德中学校考模拟预测)为棱长为2的正方体,点分别为,的中点,给出以下命题:①直线与是异面直线;②点到面距离为;③若点三点确定的平面与交于点,则,正确命题有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】B
【解析】对①,由图可知,不在平面内,故直线与是异面直线,故①正确;
对②,取的中点,过作,连接,
由为2的正方体,是的中点,可得平面,
因为平面,所以,
因为,,,平面,
所以平面,故即为点到面距离,
又,所以四点共面,
所以即为点到面距离,
由条件可求,,,,
所以,
所以,因为,
所以点到面距离为,故②错误;
对③,如图,将面扩展,取,则,
取的中点,连接,
则与的交点即为点三点确定的平面与的交点,
因为,所以为的中点,
又,所以,故③错误.
故选:B.
9.(多选题)(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)下列命题正确的有( )
A.空间中两两相交的三条直线一定共面
B.已知不重合的两个平面,则存在直线,使得为异面直线
C.有两个平面平行,其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
D.过平面外一定点,有且只有一个平面与平行
【答案】BD
【解析】对于A,空间中两两相交的三条直线交于同一点时,可能共面也可能不共面,A错误;
对于B,不重合的两个平面,可能平行或者相交,
不论是平行还是相交,都存在直线,使得为异面直线,B正确;
对于C,如图示几何体满足两个平面平行,其他各个面都是平行四边形,
但该几何体不是棱柱,C错误;
对于D,由于过平面外一定点,有且只有一条直线m与平面垂直,
过点P有且只有一个平面与m垂直,则,
故过平面外一定点,有且只有一个平面与平行,D正确,
故选:BD
10.(多选题)(2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测)已知空间中的平面,直线,,以及点,,,,则以下四个命题中,不正确的命题是( )
A.在空间中,四边形满足,则四边形是菱形.
B.若,,则.
C.若,,,,,,则.
D.若和是异面直线,和是平行直线,则和是异面直线.
【答案】ABD
【解析】对于A项,正四面体的各条棱长均相等,四边形为空间四边形,不是菱形,故A项错误;
对于B项,若,则或与相交,所以或(此时为与的交点),故B项错误;
对于C项,由已知可得,,,即直线上有两个点在平面内,
根据基本事实2可知,故C项正确;
对于D项,如图正方体中,和异面(是异面直线),(),
但是(相交),故D项错误.
故选:ABD.
11.(多选题)(2023·广东湛江·校考模拟预测)在棱长为1的正方体中,M为底面的中心,,,N为线段AQ的中点,则( )
A.CN与QM共面
B.三棱锥的体积跟的取值无关
C.时,过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的周长为
D.时,
【答案】ABC
【解析】在中,因为为的中点,所以,
所以与共面,所以A正确;
由,因为到平面的距离为定值,且的面积为定值,
所以三棱锥的体积跟的取值无关,所以B正确;
当时,过三点的正方体的截面是等腰梯形,
所以平面截正方体所得截面的周长为,
所以C正确;
当时,可得为的中点,为的中点
,
则,所以不成,所以D不正确.
故选:ABC
12.(多选题)(2023·云南曲靖·校考三模)如图,棱长为2的正方体中,点分别是棱的中点,则( )
A.直线为异面直线
B.平面
C.过点的平面截正方体的截面面积为
D.点是侧面内一点(含边界),平面,则的取值范围是
【答案】BC
【解析】对于A,连接,
由题意可知,因为,所以,所以共面,
故选项A错误;
对于B,因为,平面,平面,
所以平面,同理,平面,
且,平面,
所以平面平面,
连结,
因为,,,且平面,
所以平面,平面,
所以,同理,,且,平面,
所以平面,且平面平面,
所以平面,故选项B正确;
对于C,连接,
根据正方体的性质可得,且,
所以平面即为过点的平面截正方体的截面,该四边形为等腰梯形,
其上底,下底,腰,高为,
所以截面面积为,故选项C正确;
对于D,取的中点,的中点H,连结,
因为,且,所以四边形是平行四边形,
所以,平面,平面,
所以平面,
因为,平面,平面,
所以平面,且,平面,
所以平面平面,
因为点是侧面内一点(含边界),平面,
所以点的轨迹为线段,
连接,
在中,,
点到的距离为,
的取值范围为,故D错误.
故选:BC
13.(2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模)在棱长为2的正方体中,为底面的中心,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值是 .
【答案】/
【解析】在棱长为2的正方体中,取中点,连接,如图,
因为为的中点,有,则四边形是平行四边形,
于是,又,即有四边形是平行四边形,
因此,则是异面直线与所成的角或补角,
而为底面的中心,则,又平面,
从而平面,而平面,则,
在中,,于是,
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故答案为:
14.(2023·四川凉山·三模)在棱长为2的正方体中,若E为棱的中点,则平面截正方体的截面面积为 .
【答案】
【解析】如图,在正方体中,
平面平面,
平面与平面的交线必过且平行于,
故平面经过的中点,连接,得截面,
易知截面是边长为的菱形,其对角线,
,截面面积.
故答案为:.
15.(2021·宁夏银川·银川一中校考模拟预测)下列命题中正确的命题为 .
①若在平面外,它的三条边所在的直线分别交于,则三点共线;
②若三条直线互相平行且分别交直线于三点,则这四条直线共面;
③若直线异面,异面,则异面;
④若,则.
【答案】①②
【解析】对于①,设平面平面,因为,所以平面,
所以,同理,,故三点共线,①正确;
对于②,因为,所以可以确定一个平面,
因为所以,所以,又,
所以,因为,所以或,又,
所以不成立,所以,即这四条直线共面,所以②正确;
对于③,直线异面,异面,但是平行,所以③错误,如下右图;
对于④,,但,所以④错误,如下左图.
故正确的命题为①②.
故答案为:①②
16.(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)在直四棱柱中,,,M,N在棱,上,且,,过的平面交于G,则截面的面积为 .
【答案】
【解析】取上靠近点的一个四等分点,连接,,
因为,所以且,则四边形为平行四边形,
所以且,过点作,因为,所以四边形为平行四边形,
则且,所以且,则截面为平行四边形,
由直四棱柱的性质可得,
,
,,
在△中,由余弦定理得,,
所以,
则截面的面积为;
故答案为:6
17.(2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模)如图,正方体中,直线平面,,.
(1)设,,试在所给图中作出直线,使得,并说明理由;
(2)设点A与(1)中所作直线确定平面.
①求平面与平面ABCD的夹角的余弦值;
②请在备用图中作出平面截正方体所得的截面,并写出作法.
【解析】(1)由题意,P、Q分别为和的中点吋,有,
证明过程如下:连接,取和中点分别为P、Q,连接,
∵,∴一定过经过点E,∴PQ即为所求作的l.
∵P、Q分别为和的中点,∴P、Q为的中位线,
∴,且PQ过经过点E,
∵正方体的的上底面为正方形.
∴,∵,∴,
又∵正方体的侧棱垂直底面,,
∴,又∵,平面,.
∴平面,∵平面,
∴,即;
(2)①连接AP,AQ,∵正方体中,有AD,DC,DD两两垂直,以D点为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,
设正方体边长为2,则有,,,,,
所以,,
∵正方体的侧棱垂直底面ABCD,∴为平面ABCD的法向量.
设平面,即平面APQ的法向量,则,.
∴,,即
令,则,.
∴平面APQ的一个法向量.
,,,
设平面与平面ABCD的夹角的平面角为,
则;
②设直线交于,连接分别交于,连接,则平面即为平面截正方体所得的截面,如图所示.
18.(2022·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测)如图,在正四面体A-BCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,点G,H分别在CD,AD上,且,.
(1)求证:直线EH,FG必相交于一点,且这个交点在直线BD上;
(2)若,求点B到平面EFGH的距离.
【解析】(1)因为,,所以,又,所以,故E,F,G,H四点共面,且直线EH,FG必相交于一点,设,因为,平面ABD,所以M∈平面ABD,同理:平面BCD,而平面平面,故平面BCD,即直线EH,FG必相交于一点,且这个交点在直线BD上.
(2)连结EG,BG,点B到平面EFGH的距离为d,正四面体的棱长为2易知该正四面体的高为,所以E到平面BFG的距离为,在△CFG中,由余弦定理可得:,在等腰梯形EFGH中可得:G到EF的距离为,而G到BF的距离也为,则.
由可得:,故点B到平面EFGH的距离为.
19.(2022·贵州·统考模拟预测)如图,在正方体中,,,,分别是棱,,,的中点.
(1)求证:,,,四点共面,记过这四点的平面为,在图中画出平面与该正方体各面的交线(不必说明画法和理由);
(2)设(1)中平面与该正方体六个面所成锐二面角大小分别为(=1,2,3,4,5,6),求的值.
【解析】(1)连接,,,因为,分别是棱,的中点,
所以.又因为,分别是棱,的中点,所以.
故,所以,,,四点共面.
分别取和的中点为和,连接,,,
由正方体性质得,,,所以多边形共面,所以平面与该正方体各面的交线
如下图(多边形)所示.
(2)以为坐标原点,以的方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2,则
设平面的法向量为,
即,可取
又平面的一个法向量为,故.
因为平面的一个法向量为,故
因为平面的一个法向量为,故
因为平面的一个法向量为,故
因为平面的一个法向量为,故
因为平面的一个法向量为,故
所以,.
1.(2013•安徽)在下列命题中,不是公理的是
A.平行于同一个平面的两个平面平行
B.过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】
【解析】,,经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理;
而平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理.
故选:.
2.(2013•江西)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正方体的六个面所在的平面与直线,相交的平面个数分别记为,,那么
A.8B.9C.10D.11
【答案】
【解析】由题意可知直线与正方体的上底面平行在正方体的下底面上,与正方体的四个侧面不平行,所以,
直线与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上下底面相交,前后侧面相交,所以,所以.
故选:.
3.(2005•陕西)不共面的四个定点到平面的距离都相等,这样的平面共有
A.3个B.4个C.6个D.7个
【答案】
【解析】空间中不共面的四个定点构成三棱锥,如图:三棱锥,
①当平面一侧有一点,另一侧有三点时,即对此三棱锥进行换底,则三棱锥有四种表示形式,此时满足条件的平面个数是四个,
②当平面一侧有两点,另一侧有两点时,即构成的直线是三棱锥的相对棱,因三棱锥的相对棱有三对,则此时满足条件的平面个数是三个,
所以满足条件的平面共有7个,
故选:.
4.(2019•上海)已知平面、、两两垂直,直线、、满足:,,,则直线、、不可能满足以下哪种关系
A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面
【答案】
【解析】如图1,可得、、可能两两垂直;
如图2,可得、、可能两两相交;
如图3,可得、、可能两两异面;
故选:.
5.(2016•上海)如图,在正方体中,、分别为、的中点,则下列直线中与直线相交的是
A.直线B.直线C.直线D.直线
【答案】
【解析】根据异面直线的概念可看出直线,,都和直线为异面直线;
和在同一平面内,且这两直线不平行;
直线和直线相交,即选项正确.
故选:.
6.(2015•广东)若直线和是异面直线,在平面内,在平面内,是平面与平面的交线,则下列命题正确的是
A.与,都不相交B.与,都相交
C.至多与,中的一条相交D.至少与,中的一条相交
【答案】
【解析】.与,可以相交,如图:
该选项错误;
.可以和,中的一个平行,如图,该选项错误;
.可以和,都相交,如图:
该选项错误;
.“至少与,中的一条相交”正确,假如和,都不相交;
和,都共面;
和,都平行;
,和共面,这样便不符合已知的和异面;
该选项正确.
故选:.
7.(多选题)(2022•新高考Ⅰ)已知正方体,则
A.直线与所成的角为
B.直线与所成的角为
C.直线与平面所成的角为
D.直线与平面所成的角为
【答案】
【解析】如图,
连接,由,,得四边形为平行四边形,
可得,,直线与所成的角为,故正确;
,,,平面,而平面,
,即直线与所成的角为,故正确;
设,连接,可得平面,即为直线与平面所成的角,
,直线与平面所成的角为,故错误;
底面,为直线与平面所成的角为,故正确.
故选:.
8.(2006•上海)如果一条直线与一个平面垂直,则称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 .
【答案】36
【解析】正方体中,每一个表面有四条棱与之垂直,六个表面,共构成24个“正交线面对”;
而正方体的六个对角截面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,
所以共有36个“正交线面对”;
故答案为36.
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