吉林省延边州2024届高三下学期教学质量检测一模数学试题

这是一份吉林省延边州2024届高三下学期教学质量检测一模数学试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A．B．4C．D．5
2．若集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．16B．15C．32D．31
3．若，则p成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
4．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知是公差不为0的等差数列，是其前n项和，若，则下列关系中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
7．谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（ ）

A．B．C．D．
8．已知是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．
二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．已知随机变量，则
B．已知随机变量，且，则
C．已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8
D．抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分123分，方差为60；女生平均分128分，方差为40，则抽取的100名学生数学成绩的方差为80
10．已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若点到直线的距离为，则
B．若，则
C．若，则的最大值为6
D．的最小值为
11．如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，平面，动点在线段上，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得平面
C．三棱锥的外接球被平面所截取的截面面积是
D．当动点与点重合时，直线与平面所成角的余弦值为
12．已知当时，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．已知函数，若对任意的正数a、b，满足，则的最小值为： ．
14．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球的表面上，则球的体积为 .
15．定义在上的函数满足；则不等式的解集为 ．
16．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为 .
四、解答题
17．已知函数的最小正周期为．
(1)求的值，并写出的对称轴方程；
(2)在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围．
18．已知正项数列的前项和，满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证．
19．“斯诺克（Snker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍､障碍”，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一.现甲､乙两人进行比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……），没有平局，已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权.
(1)求甲以3∶1赢得比赛的概率；
(2)设比赛的总局数为，写出随机变量的分布列并求其数学期望.
20．已知三棱柱，侧面是边长为2的菱形，，侧面四边形是矩形，且平面平面，点D是棱的中点．
(1)在棱AC上是否存在一点E，使得平面，并说明理由；
(2)当三棱锥的体积为时，求平面与平面夹角的余弦值．
21．已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．
22．已知函数为函数的导函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知函数，存在，证明：．