安徽省部分重点中学2023-2024学年高一上学期期末测试数学试卷（Word版附解析）

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高一数学
（人教版A）
本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用列举法表示出集合A，再利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得.
【详解】依题意，，所以，，B错误，D正确；
显然，，AC错误.
故选：D
2. （ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数运算、指数式与对数式的互化及换底公式计算即得.
【详解】因为，所以.
故选：B
3. 中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】利用同一函数定义，逐项分析判断即得.
【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域
为或，两个函数定义域不同，B不是；
对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且，
两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是；
对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是.
故选：C
4. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正切函数定义求出，再利用二倍角公式结合齐次式法及和角的正弦公式求解即得.
【详解】依题意，，则，
所以.
故选：C
5. 已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.
【详解】“，”为真命题，则“，”为真命题，
而，当且仅当时取等号，则，
所以实数a的取值范围为.
故选：A
6. 函数在上的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定函数的奇偶性，结合即可判断得解.
【详解】依题意，，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，排除AB；
又，选项C不满足，D符合题意.
故选：D
7. 《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：.如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦AB的长，“矢”是指所在圆O的半径与圆心O到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O的直径.若扇形的弦，扇形的圆心角为，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等腰三角形性质求出圆半径及点到弦的距离并求出，再由弧长公式求出的实际值即可计算得解.
【详解】取弧的中点，连接交于，则是的中点，且，
在等腰中，，则，圆半径，
，，因此，
而扇形弧长的实际值为，
所以该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为.
故选：B
8. 定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用的奇偶性与单调性得到在上单调递增与，再分类讨论的取值范围，结合偶函数的性质即可得解.
【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，
所以在上单调递增，，
因为，
当，即时，，即，
所以，即，解得，故；
当，即时，，即，
所以，即或，解得或，故；
综上：或.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分利用偶函数的性质，从而简化运算得解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断A；举例说明判断BCD.
【详解】由及在R上单调递增，可得，A正确；
取，满足，而，B错误；
由，知是否是非负数不确定，当时，不等式无意义，C错误；
取，满足，而，D错误.
故选：BCD
10. 已知集合，，则（ ）
A. 集合
B.
C. 集合可能
D. 可能是B的子集
【答案】ABD
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，由已知结合集合运算逐项判断即得.
【详解】集合，，则，，AB正确；
显然，即，而是的真子集，C错误；
由于，，因此可能是B的子集，D正确.
故选：ABD
11. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A.
B. 的解析式为
C. 是图象的一个对称中心
D. 的单调递减区间是，
【答案】ABD
【解析】
【分析】先利用三角函数的图象求得的解析式，再利用三角函数平移的性质与正弦函数的性质即可得解.
【详解】依题意，由图象可知，，则，故A正确；
因为，所以，则，所以，
因为的图象过点，所以，
则，即，
又，则，所以，
将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象，
纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，
向左平移个单位长度，得到函数的图象，故B正确；
因为，故C错误；
令，解得，
所以的单调递减区间是，，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若函数在上单调递减，则且
B. 若函数有2个零点，则且
C. 若函数有1个零点，则且
D. 若函数在的最大值为1，则且
【答案】AB
【解析】
【分析】分类探讨分段函数的性质，再结合分段函数单调性、零点及最大值逐项分析判断即得.
【详解】当时，，当时，单调递增，函数值集合为，
当时，，当时，单调递减，函数值集合；
当时，，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
对于A，由函数在上单调递减，得，解得且，A正确；
对于B，当时，，函数在上最多一个零点，
由函数有2个零点，得函数在上有一个零点，在上有一个零点，
因此且，B正确；
对于C，当时，在上无零点，当时，在上有一个零点，
则当且时，函数也只有1个零点，C错误；
对于D，由于函数在的最大值为1，则在上不能单调递减，即，且，
当时，在上单调递增，，不符合题意，
当时，若，即，则在上单调递减，，
此时在的最大值为1，因此，
若，即，则在上单调递减，在上单调递增，
必有，解得，则，
此时在的最大值为1，因此，
综上所述，函数在的最大值为1，则且，D错误.
故选：AB
【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为______；不等式的解集为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用幂函数过的点求出的解析式，再利用单调性解不等式即可.
【详解】设幂函数，依题意，，即，因此，解得，
所以函数的解析式为；
显然函数在上单调递减，且，
于是不等式为：，解得，即或，
所以不等式的解集为.
故答案为：；
14. 若，，，，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用同角公式及和差角的余弦公式计算得解.
【详解】由，，得，而，，
则，，
因此，，
所以.
故答案为：
15. 已知函数，若，，且，则的最小值为______.
【答案】36
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数的奇偶性及单调性，由此求出的关系式，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】函数中，，，则函数的定义域为，
而，则函数是奇函数，
显然函数在上都单调递减，则函数在上单调递减，
而函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
于是函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，，
由，得，则，即，
于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为36.
故答案为：36
16. 已知直线与函数（，）的图象所有交点之间的最小距离为2，且其中一个交点为，则函数的图象与函数（）的图象所有交点的横坐标之和为______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据给定条件，结合正切函数的图象性质求出，确定函数与共同具有的性质，再借助图象求解即可.
【详解】依题意，函数的最小正周期为2，则，解得，
于是，由，得，
而，取，因此，显然，
则函数的图象关于点成中心对称，又函数的图象关于点成中心对称，
在同一坐标系内作出函数和的图象，

观察图象知，两个函数在的图象共有4个公共点，且关于点成中心对称，
所以4个交点的横坐标之和为.
故答案为：6
【点睛】思路点睛：给定的性质求解解析式，一般是求出周期定，由图象上特殊点求.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用指数运算法则、对数换底公式计算即得.
（2）利用对数运算法则、对数换底公式计算即得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用差角的正切公式求出，再利用齐次式法计算即得.
（2）利用同角公式求出，再利用二倍角公式计算即得.
小问1详解】
由，得，解得，
所以.
【小问2详解】
由，得，则，
由，得，而，解得，
于是，又，则，
所以.
19. 已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，.
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若，求解关于x的不等式的解集.
【答案】（1）在上单调递减，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用单调性的定义结合已知即可证明；
（2）利用赋值法求出，根据已知结合函数的单调性，将不等式化得到关于的不等式组，解之即可得解.
【小问1详解】
在上单调递减，证明如下：
因为，，总有成立，当时，，
，且，则，
则，即，
所以在上单调递减.
【小问2详解】
因为因为，，总有成立，
所以，则，
因为，所以，
所以不等式可化为，
所以，解得.
所以不等式的解集为.
20. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求a，b的值；
（2）已知当时，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知结合三个二次之间的关系，列出关于的方程组，解之即可得解；
（2）利用换元法将问题转化为在上恒成立，再利用对勾函数的性质求得，从而得解.
【小问1详解】
因为，且的解集为，
所以和2是方程的两个不等实根，且，
由韦达定理可得，解得，
故，.
【小问2详解】
因为，所以，
则可化为，
整理可得，
令，，所以，
则上式可化为在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
而当时，；当时，；
所以，故，所以，
所以实数a的取值范围为.
21. 某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示.
（1）求扇形空地AOB的半径和圆心角；
（2）取CD的中点M，记.
（i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式；
（ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积.
【答案】（1）扇形空地AOB的半径为10，圆心角为；
（2）（i），；（ii），.
【解析】
【分析】（1）利用扇形弧长公式、扇形面积公式列出方程求解并验证即得.
（2）（i）借助直角三角形的边角关系求出函数关系式；（ii）利用正弦函数的性质求解最值.
【小问1详解】
设扇形空地所在圆半径为，扇形弧长为，依题意，，
解得或，当时，圆心角，不符合题意，
当时，圆心角，符合题意，
所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为.
【小问2详解】
（i）由（1）知，，则，
在中，，则，
中，，，
于是，
所以
，.
（ii）由（i）知，当时，，
则当，即时，，
所以当时，运动场馆的面积最大，最大面积为.
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.
22. 已知函数（，，）是定义在上的奇函数.
（1）求和实数b的值；
（2）若满足，求实数t的取值范围；
（3）若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？
【答案】（1），；
（2）当时，，当时，；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合奇函数的定义求解即得.
（2）按分类，利用单调性解不等式即得.
（3）利用奇函数及意识性脱去法则，转化为恒成立的不等式组，再借助二次函数分类求解.
【小问1详解】
依题意，，
又是上的奇函数，则，即，
亦即，整理得，于是，而，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
显然函数在上单调递减，
由奇函数性质及，得，
当时，函数在上单调递减，则在上单调递增，
不等式化为，解得，
当时，函数在上单调递增，则在上单调递减，
不等式化为，解得，
所以当时，；当时，.
【小问3详解】
假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立，
即恒成立，
当时，由（2）知函数在上单调递增，
不等式化为，整理得，
于是有对任意恒成立，则，
当时，，因此；
有对任意恒成立，设，
①当时，函数的图象开口向上，对称轴，
（i）当，即时，必有，则；
（ii）当，即时，在上恒成立，则；
（iii）当，即时，在上恒成立，则；
②当时，，不满足在上恒成立，
综上得且，
所以存在使得对定义域内的一切，都有恒成立.