浙江省台州市玉环市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题有且只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）
1. 冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是轴对称图形，此项不符题意；
B、不是轴对称图形，此项不符题意；
C、不是轴对称图形，此项不符题意；
D、是轴对称图形，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．
2. 长度分别为1，5，x的三条线段首位连接能组成一个三角形，则x的值可以是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据三角形的三边关系即可求解本题．
【详解】解：∵5﹣1＜x＜5+1，
∴4＜x＜6，
故只有选项5符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，注意在一个三角形中，三边关系需要满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方法则以及同底数幂的除法法则逐一计算判断即可．
【详解】解：A、a2∙a4=a6，故选项A不合题意；
B、(a2)3=a6，故选项不B符合题意；
C、(ab2)3=a3b6，故选项C不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故选项D符合题意.
故选：D．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4. 要使分式有意义，则x的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，即分母不能为0，进而求出答案即可．
【详解】解：要使分式有意义，
则，
所以，
故选：A．
5. 如图，已知，则的根据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有．根据题中已知，及公共角，利用证明即可．
【详解】解：在与中，
，
∴，
故选：D．
6. 下列因式分解的结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了因式分解，因式分解的方法有：提公因式法、完全平方公式法、平方差公式法、十字相乘法，根据因式分解的方法分别分析，再利用公式进行因式分解即可，根据题意选择适当的方法是解答此题的关键．
【详解】解：A、无法进行因式分解，原计算错误，故A不符合题意；
B、由平方差公式可得：，故B符合题意；
C、由完全平方公式可得：，故C不符合题意；
D、提公因式可得：，故D不符合题意，
故选：．
7. 如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，折叠的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用角平分线的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠可得，根据直角三角形的性质可得，进而根据角平分线的性质求得，据此求解即可．
【详解】解：∵将折叠，使点B与点A重合，
∴，，
在中，，
，，
,
∴平分，
∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：A．
8. 当时，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了分式的加减法，先对分式进行约分，再利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴
，
，
，
，
故选：．
9. 如图，点在边上，点在射线上（不与点重合），下列命题中，假命题是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查命题与定理，根据等腰三角形性质逐项判断即可求解，解题的关键是掌握等腰三角形的“三线合一”的性质．
【详解】解：若，，则是中点，
∴是的垂直平分线，
∴，故选项是真命题，不符合题意；
若，即，
又∵，
∴是的垂直平分线，
∴，故选项是真命题，不符合题意；
若，，则，是中点，
∴是的垂直平分线，
∴，故选项是真命题，不符合题意；
若，，不能得到，故选项是假命题，符合题意；
故选：．
10. 将四个长为a，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则a，b满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查完全平方式、完全平方公式的几何背景，先用a、b表示，，再根据，列出等式，整理后得出a、b的关系．
【详解】解：，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 如图，玉环月亮桥桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构，其数学原理是______．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可求解，理解三角形的稳定性是解题的关键．
【详解】解：玉环月亮桥桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构，其数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12. ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂运算，根据负整数指数幂运算公式直接计算即可求解，熟记负整数指数幂运算公式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 如果分式＝0，则x＝________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可．
【详解】解：由题意得，x2﹣x＝x（x﹣1）＝0，x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）≠0，
解得，x＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
14. 如图，已知的周长是18，和的平分线交于点O，于点D，若，则的面积是________．
【答案】27
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点O作于点E，过点O作于点F，连接，根据角平分线的性质可得，进一步求的面积即可．
【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示：
∵点O为与的平分线的交点，且，
∴，
∵，的周长为18，
∴的面积
，
故答案为：27．
15. 如图，等腰三角形中，底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________．
【答案】####
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，根据题意得，再结合三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的最小值为．
【详解】解：连接AD，如下图：
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点B关于直线对称点为点A，
∴的最小值为，
即最小值为，
故答案为：．
16. 已知，且，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题．
【详解】解析：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
三、解答题（本题有8小题，17~20每题8分，21题10分，22~23每题12分，24题14分，共80分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键．
（1）直接利用积的乘方同底数幂的乘法运算法则化简，再合并同类项得出答案；
（2）直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案．
【小问1详解】
解：原式
；
小问2详解】
解： 原式
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．先将分式通分，再计算分式的减法，最后代入数值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）在图中作出关于y轴的对称图形，
（2）请直接写出坐标：_______；________； _______
（3）尺规作图：在x轴上找一点P，使得（要求：保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析 （2），，
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，线段垂直平分线的性质和尺规作图．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）作线段的垂直平分线，与x轴相交于点P，P点满足条件．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
解：，，；
故答案为：，，；
【小问3详解】
解：如图，点为所作．
20. 如图，在△ABC和△DCB中，AB⊥AC ，CD⊥BD ，AB=DC，AC与BD交于点O．求证：AC=BD．
【答案】见详解
【解析】
【分析】根据两个直角三角形全等的判定方法HL，即可得到△ABC≌△DCB，则问题可得证．
【详解】证明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，
∴∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴AC=BD．
【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
21. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）每个足球60元，每个篮球90元；（2）最多购进篮球116个
【解析】
【分析】（1）设一个足球的单价x元，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，则一个篮球的单价为（2x-30）元，根据“用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍”列方程求解即可；
（2）设买篮球m个，则买足球（200-m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过15500元建立不等式求出解即可．
【详解】解：（1）设每个足球x元，每个篮球（2x-30）元，
根据题意得：，
解得x=60，
经检验x=60是方程的根且符合题意，
2x-30=90，
答：每个足球60元，每个篮球90元．
（2）设设买篮球m个，则买足球（200-m）个，
由题意得：，
解得．
∵ m为正整数，∴ 最多购进篮球116个．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
22. 如图，在四边形中，．
（1）如图1，若，则_______度；
（2）如图2，若平分线交于点，且，试求出的度数；
（3）①如图3，若和的平分线交于点，试求出的度数；
②如图4，为五边形内一点；分别平分，试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）65 （2）
（3）①，②，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据四边形内角和为，结合已知条件求解即可；
（2）根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，进一步根据四边形内角和定理计算即可得出答案；
（3）①先根据四边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理计算即可得出答案；②由五边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：，，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：四边形中，
∴，
∵和的平分线交于点，
∴，
∴；
②∵五边形的内角和为，
∴，
∵和的平分线交于点，
∴，
∴．
23. （1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：______，_______；
（2）观察上述两个多项式的系数，有．于是小明猜测：若多项式是完全平方式，那么系数a，b，c之间一定存在某种关系．
①请你用数学式子表示系数a，b，c之间的关系________﹔
②说明理由；
（3）在实数范围内，若关于的二次三项式和都是完全平方式，利用（2）中的规律求mn的值．
【答案】（1），；（2）①，②理由见解析；（3）
【解析】
【分析】本题考查了分解因式的应用、完全平方式的应用：
（1）根据完全平方公式进行解答，即可作答．
（2）①依题意，根据完全平方公式以及是完全平方式，即可得出系数a，b，c之间的关系，进行作答．
②结合完全平方公式，把描述出来，即可作答．
（3）由（2）可知，结合关于的二次三项式和都是完全平方式，联立等式，化简即可作答．
【详解】解：（1），
（2）①∵，且是完全平方式
∴
②根据多项式分解原理可得完全平方式，
化简得．
（3）∵关于x的多项式和都是完全平方式，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去）或
24. 如图，是等边三角形，D是线段上一动点，点E在延长线上，且，射线平分交于点F．
（1）证明；
（2）猜想线段的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当点D在直线上运动，点E在直线上运动（B，E不重合），其余条件不变，则（2）的结论还成立吗？若有不同结论，请借助备用图，画出图形，写出的数量关系，并选择一种情况证明．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
（3）不成立，不同结论有，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形性质推出，利用三角形内角和定理即可得出答案；
（2）在上取H点，使得，证，推出，由，推出是等边三角形，推出，即可得出答案；
（3）不成立，不同结论有，证明：，连接，在上截取，连接．证明是等边三角形，得到，再证明，，推出，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴．
∵，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
，
证明：如图1，在上取H点，使得，
在和中，
，
∴，
∴．
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
不成立，不同结论有，
证明：，
如图2，连接，在上截取，连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
，
，
在和中，
，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，难度中等．熟悉各种特殊三角形的性质、全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线是解答的关键．