江苏省扬州市广陵区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份江苏省扬州市广陵区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．杭州亚运会给世界带来了一场展示体育精神和亚洲团结的盛会．下列关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在实数，，，，，，，中是无理数的有（ ）个
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．一次函数的图象经过第一、三、四象限，则化简所得的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．已知点，都在直线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点的坐标分别是，，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
9．已知一个正数的两个平方根分别是x和，则这个正数等于 ．
10．在中，是斜边上的中线，如果，那么 ．
11．等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是 °．
12．扬州中国大运河博物馆占地200亩，总建筑面积平方米，主体由博物馆和大运塔两部分组成．将数字精确到千位并用科学记数法表示的结果为 ．
13．已知点与点关于x轴对称，则点A的坐标为 ．
14．若x，y为实数， 且 ，则 ．
15．将直线向上平移个单位后经过点，则的值为 ．
16．如图，在直角坐标系中，的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，，点C的坐标为，点D和点C关于成轴对称，且交y轴于点E．则点E的坐标为 ．
17．如图，在直角中，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．
18．如图，点的坐标是，为坐标原点，轴于，轴于，点是线段的中点，过点的直线交线段于点（不与重合），连接，若平分，则的值为 ．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：；
（2）解方程：．
20．如图，交于点．

(1)线段与有怎样的数量关系？证明你的结论．
(2)与有怎样的数量关系？证明你的结论．
21．在由单位正方形（每个小正方形边长都为1）组成的网格中，的顶点均在格点上．
(1)把向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，请画出，并写出点的坐标；
(2)请画出关于x轴对称的，并求出的面积．
22．如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB＝3cm，长BC＝5cm．求EC的长．
23．已知一次函数y=x+b，它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于2．
（1）求b的值；
（2）若函数y=x+b的图象交y轴于正半轴，则当x取何值时，y的值是正数？
24．甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y甲（元），在乙采摘园所需总费用为y乙（元），图中折线O﹣A﹣B表示y乙与x之间的函数关系．
(1)求y甲、y乙与x之间的函数关系式；
(2)当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？
25．如图，在中，，AD是的角平分线，于E，点F在边AC上，连接DF．
(1)求证：；
(2)若，试说明与的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，则BE的长______（用含m，n的代数式表示）．
26．如图，已知直线l：y＝2x＋4交x轴于A，交y轴于B．

(1) 直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线l1的解析式_______；
(2) 直接写出直线l关于y＝－x对称的直线l2的解析式_______；
(3) 点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．
27．如图，在C中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动．
(1)点P在上运动的过程中，当______时，与的面积相等；（直接写出答案）
(2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数；
(3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段、的长度之和，即的值最小，则此时______．（直接写出答案）
28．如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点．
(1)请直接写出直线的关系式：_________
(2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由；
(3)如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形；
根据轴对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①含类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：，，，是有理数，
，，，是无理数，
故选C．
3．B
【分析】本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：A. ，原计算错误；
B. ，计算正确；
C. ，原计算错误；
D. 无意义，原计算错误；
故选B．
4．D
【分析】根据题意可得，，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，是基础知识比较简单，解决此类问题的关键是熟练掌握相关知识．
5．A
【分析】本题考查了一次函数的增减性和实数的大小比较，根据，可得随着x的增大而减小，即可解答，熟知，时，y随着x的增大而增大；时，y随着x的增大而减小是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵点，都在直线上，且，
∴．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，结合每个选项的条件以及五种判定方法，进行一一判断分析，即可作答．
【详解】解： A、∵，∴通过判定，该选项不符合题意；
B、∵，∴通过判定，该选项不符合题意；
C、∵，∴不能判定，该选项是符合题意；
D、∵，∴通过判定，该选项不符合题意；
故选：C
7．D
【分析】过点作于点，与轴交于点，根据等腰三角形的性质得出，再根据勾股定理可以得出，从而即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点作于点，与轴交于点，
，
点的坐标分别是，，
，，
，，
，
，
，，
点的坐标为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
8．B
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案
【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠BAD＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．
故选：B．
9．
【分析】本题考查的是平方根．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，根据这个特点列方程求解 从而可得答案．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴这个正数等于，
故答案为：．
10．
【分析】根据直角三角形的性质得出，进而解答即可．
【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是掌握“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”．
11．40°##40度
【分析】分角是顶角和底角两种情况讨论即可.
【详解】①当角是顶角时，底角为；
②当角是底角时，内角和超过,故不合题意.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键.
12．
【分析】本题考查了科学记数法、近似数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．求一个数的近似数，精确到百分位，只需要对千分位上的数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键．
【详解】解：将数字精确到千位为79000，并用科学记数法表示的结果为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征，根据“关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”，据此即可解答．
【详解】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，
解得：，
∴点A的坐标为，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查非负数的性质，几个非负数的和为0，则每一个非负数同时为0．利用非负数的性质得到，，然后求出代数式的值．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：．
15．2
【分析】先根据平移规律求出直线向上平移3个单位后的直线解析式，再把点代入，即可求出b的值．
【详解】将直线向上平移个单位后得到直线，
把点代入，得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，轴对称的性质，勾股定理，根据平行线的性质得出，再根据轴对称的性质得出，则，进而得出，设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D和点C关于成轴对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得，
即，
解得：，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
17．##
【分析】利用勾股定理，三角形不等式计算即可，熟练掌握三角形不等式是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∵沿折叠，使点落在点处，
∴，
∵，
故当三点共线时，取得最小值，
此时的最小值为，
故答案为：．
18．3
【分析】作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质可得，借助勾股定理可解得，，再在中借助勾股定理解得，即可求出点的坐标，然后利用待定系数法求出的值即可．
【详解】解：如图，作交于点，连接，

∵点的坐标是，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点是边的中点，
∴，
∴，，
∵在中，，即，
解得，
∴点，
把点的坐标代入，
可得，解得．
故答案为：3．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定及性质、正方形的性质定理及勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线构建直角三角形．
19．（1）（2）
【分析】本题主要考查了立方根，二次根式的性质，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质计算立方根和二次根式，再合并即可；
（2）按照求立方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：
．
20．(1)，见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边、三角形的外角性质：
（1）先通过证明，得，然后结合等角对等边，即可作答．
（2）根据以及三角形的外角性质，即可作答．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵
∴
∴
；
（2）解：，理由如下：
由（1）知
∵
．
21．(1)，见解析
(2)
【分析】（1）先确定各点的起始坐标，再确定各点的平移坐标，依次连接即可得到图形．
（2）先确定各点的起始坐标，再确定各点的对称坐标，依次连接即可得到图形．
【详解】（1）因为，
所以向左平移4个单位，再向上平移2个单位后各点坐标为，，，作图如下：
则即为所求．
（2）因为，
所以关于x轴对称后各点坐标为，，，作图如下：
所以=．
【点睛】本题考查了坐标系中的平移作图，轴对称，图形的面积计算，熟练掌握坐标平移规律左减右加，上加下减是解题的关键．
22．EC＝.
【分析】由折叠可得AF=AD=5cm，根据勾股定理可求BF=4cm，即可得FC=1cm，再根据勾股定理可求EC的长．
【详解】解：由折叠可知AD＝AF＝5cm，DE＝EF
∵∠B＝90°
∴AB2+BF2＝AF2，
∵AB＝3cm，AF＝5cm
∴BF＝4cm，
∵BC＝5cm，
∴FC＝1cm
∵∠C＝90°，
∴EC2+FC2＝EF2
设EC＝x，则DE＝EF＝3﹣x
∴（3﹣x）2＝12+x2
∴x＝
即EC＝.
【点睛】本题考查翻折问题，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理是解题的关键．
23．（1）b=±2；（2）当x＞﹣2时，y的值是正数．
【分析】（1）分别将x=0、y=0代入一次函数解析式中求出与之对应的y、x的值，再根据三角形的面积公式即可得出关于b的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）先根据函数y=x+b的图象交y轴于正半轴得到一次函数解析式，再根据y的值是正数得到关于x的不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）当x=0时，y=b，
∴一次函数图象与y轴的交点坐标为（0，b）；
当y=x+b=0时，x=﹣b，
∴一次函数图象与y轴的交点坐标为（﹣b，0）．
∴×|b|×|﹣b|=2，
解得：b=±2．
（2）∵函数y=x+b的图象交y轴于正半轴，
∴一次函数为y=x+2，
∵y的值是正数，
∴x+2＞0，
解得x＞﹣2．
故当x＞﹣2时，y的值是正数．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，分别将x=0、y=0代入一次函数解析式中求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
24．(1)y甲＝18x+60；y乙＝
(2)甲家草莓园采摘更划算
【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可；
（2）根据的值，结合（1）中的解析式，分别求得甲乙两家草莓园的总费用，比较即可求解；
【详解】（1）根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格：300÷10＝30（元/千克）．
∴y甲＝30×0.6x+60＝18x+60；
当0＜x≤10时，y乙＝30x；
当x＞10时，设y乙＝kx+b，
由题意的：，
解得，
∴y乙＝12x+180，
∴y乙与x之间的函数关系式为：y乙＝
（2）当x＝15时，y甲＝18×15+60＝330，
y乙＝12×15+180＝360，
∴y甲＜y乙，
∴他在甲家草莓园采摘更划算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息是解题的关键．
25．(1)证明见解析过程；
(2)∠B+∠AFD=180°，理由见解析过程；
(3)
【分析】（1）由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，则有∠ACB=∠AED，联合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS即可证明△ACD≌△AED，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由△ACD≌△AED，证得DC=DE，然后根据HL判定Rt△CDF≌Rt△EDB，得到∠CFD=∠B，再根据邻补角的定义等量代换即可得解；
（3）由AC=AE，CF=BE，根据AB=AE+BE，AC=AF+CF即可得解．
【详解】（1）证明：∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE；
（2）解：∠B+∠AFD=180°．
理由如下：
由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC=DE，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴∠CFD=∠B．
∵∠CFD+∠AFD=180°，
∴∠B+∠AFD=180°；
（3）解：由（2）知，Rt△CDF≌Rt△EDB，
∴CF=BE，
由（1）知AC=AE．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+BE．
∵AC=AF+CF，
∴AB=AF+2BE．
∵AB=m，AF=n，
∴．
故答案为：.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用AAS证明△ACD≌△AED及利用HL判定Rt△CDF≌Rt△EDB是解此题的关键．
26．（1）；（2）；（3）点P的坐标为或．
【分析】（1）根据一次函数的图象平移规律即可得；
（2）先求出点A、B的坐标，再求出点A、B关于对称点的坐标，然后利用待定系数法求解即可得；
（3）设点P的坐标为，分点P在直线第一象限的图象上、点P在直线第二象限的图象上、点P在直线第三象限的图象上，再根据，利用三角形的面积公式列出等式求解即可得．
【详解】（1）一次函数的图象平移规律：向左（或向右）平移a个单位长度得到的函数解析式为（或）；向上（或向下）平移a个单位长度得到的函数解析式为（或）
则直线向右平移2个单位得到的直线的解析式为，即
故答案为：；
（2）对于
当时，，解得，则
当时，，则
由对称性可知，点关于直线对称点坐标为；点关于直线对称点坐标为
设直线的解析式为
将点，代入得：，解得
则直线的解析式为
故答案为：；
（3）设点P的坐标为
因为点P在直线上，则分以下三种情况：
①如图1，点P位于直线第一象限的图象上
则有，解得
过点P作轴于点C，作轴于点D
则
由得：，解得（符合题设）
此时，点P的坐标为
②如图2，点P位于直线第二象限的图象上
则有，解得
过点P作轴于点C，作轴于点D
则
由得：，解得（符合题设）
此时，点P的坐标为
③如图3，点P位于直线第三象限的图象上
此时，不可能存在点P，使得
综上，点P的坐标为或．

【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何应用，(1)中掌握一次函数的平移规律是解题关键；（2）中能根据题意写出A、B的对称点时解题关键；（3）中能根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．
27．(1)当时，与的面积相等
(2)45°或90°或67.5°或37.5°
(3)5
【分析】（1）根据题意可知当CP=6时，证△PCD≌△BCD（SAS），即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得：∠PCD=45°，分两种情况：①点P在AC上，若PC=PD，则∠PDC=∠PCD=45°，则∠CPD=90°；若DP=DC时，∠CPD=∠PCD=45°，若CP=CD，则∠CPD=∠CDP=67.5°；
②点P在AD上时，存在DP=DC，则∠CPD=∠PCD，求出∠CDP=105°，由三角形内角和定理得∠CPD=37.5°即可；
（3）由题意可知当M在CD上，且MP⊥AC时，MP最小，作MP'⊥BC于P'，则MP'∥AC，证△PCM≌△P'CM（AAS），得MP=MP'，CP=CP'，当点E、M、P'三点共线时，MP+ME的值最小，则EP'∥AC，由平行线的性质得∠BEP'=∠A=30°，由直角三角形的性质得BE=AB=6，BP'=BE=3，求出CP=CP'=BC-BP'=3即可．
【详解】（1）解：当时，与的面积相等，理由如下：
∵，∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴（SAS）
∴与的面积相等．
（2）由（1）得：，
分两种情况：
①点P在上，如图1所示：
若，则，
∴；
若时，则，
若，
∴；
①点P在上时，如图2所示：
存在，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为45°或90°或67.5°或37.5°.
（3）当M在上，且时，最小，作于，如图3所示：
则，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴（AAS），
∴，，
当点E、M、三点共线时，的值最小，
则，
，
∵，，
∴，
∵点E是斜边的中点，
∴
∴
∴.
故答案为：5.
【点睛】本题是三角形综合题目，考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质以及最小值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关．
28．(1)
(2)当或时，
(3)
【分析】（1）根据直线与轴的交点，可求出点的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）设，分别用含的式子表示出出，由此即可求解；
（3）是等腰直角三角形，设，可表示出，再证，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值，可求得点R的坐标，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵直线分别与轴交于两点，令，则，
∴，且，
设直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
故答案为：．
（2）解：由（1）可知直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，
∴，
如图所示，点在直线上，过点作轴于，
∴设，，
∴，，，
①当，即时，，
若，则，解得，
则；
②当，即时，
，
若，则，解得，（舍去）；
③当，即时，
，
若，则，解得，
则；
综上所述，当或时，；
（3）解：已知，设，
∴在中，，
∵是等腰直角三角形，，
∴；
如图所示，过点作轴于，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，且轴，
∴是等腰直角三角形，，
则点的轨迹在射线上，
如图所示，作点关于直线的对称点，
连接，，，，
∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质，
∴，
∴轴，且，
∴，则，
如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值；
∴由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．