06，浙江省湖州市南浔区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份06，浙江省湖州市南浔区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了必须在答题卷的对应答题位置答题，参考公式等内容，欢迎下载使用。

1．本卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，时间120分钟．
2．必须在答题卷的对应答题位置答题．
3．参考公式：抛物线的顶点坐标是
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在圆外B. 点在圆上C. 点在圆内D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径大小比较即可求解，掌握点和圆的位置关系的判断方法是解题的关键．
【详解】解：∵的半径为，，
∴,
∴点在圆外，
故选：．
2. 下列事件中，为必然事件是（ ）
A. 小明买彩票中奖B. 任意抛一只纸杯，杯口朝下
C. 在一个没有红球的袋子里摸到红球D. 任选一个三角形的两边，其和大于第三边
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】、小明买彩票中奖是随机事件，此选项不符合题意；
、任意抛一只纸杯，杯口朝下是随机事件，此选项不符合题意；
、在一个没有红球的袋子里摸到红球是不可能事件，此选项不符合题意；
、任选一个三角形的两边，其和大于第三边是必然事件，此选项符合题意；
故选：．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载3. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值1B. 有最小值1C. 有最大值3D. 有最小值3
【答案】D
【解析】
【分析】由1＞0可得抛物线的开口向上，函数有最小值，根据二次函数顶点式解析式的性质可得函数的最小值为3，即可得答案．
【详解】∵1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴函数有最小值，
∵是二次函数的顶点式解析式，
∴函数的最小值为3，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式的三种形式及性质是解题关键．
4. 如图，是叶脉的黄金分割点，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据黄金分割数的性质（如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数）求解即可．
【详解】根据黄金分割数的性质可知．
故选：A．
【点睛】本题主要考查黄金分割数，牢记黄金分割数的性质（如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数）是解题的关键．
5. 若与相似，且对应边之比，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，熟记“相似三角形面积的比等于相似比的平方”是解题关键，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：与相似，且对应边之比，
．
故选：C．
6. 在Rt△ABC中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先作出图形，结合图形，根据锐角的正切函数定义直接作答即可．
【详解】解：如图所示：
在Rt△ABC中，，，，
根据正切函数定义可得，
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．
7. 如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，高米，则此圆的半径的长度为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，先根据垂径定理得出的长，设米，则米，由勾股定理得到，解方程即可求解，由勾股定理得到方程是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴米，，
设米，则米，
在中，，
∴，
解得，
∴圆的半径的长度为米，
故选：．
8. 如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）

A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可．
【详解】∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
设为x，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
即，
得，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
9. 如图，在等腰中，于点D．动点从点出发，沿着的路径以每秒个单位长度的速度运动到点停止，过点作于点，作于．在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图象如图所示，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图中拐点的纵坐标，得到四边形的面积，此时点运动到点，可证明四边形是正方形，面积为，那么正方形的边长为，易得为等腰直角三角形，即得到长为，进而求出长度为，解题的关键理解拐点的纵坐标表示的意义及动点此时所在的位置．
【详解】解：∵动点从点出发，沿着的路径运动，
∴第一个拐点的位置在点处，此时点运动到点，
∵图中拐点的纵坐标，
∴四边形的面积为，
∵，，
∴，
∵，
∴ 四边形是矩形，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，，
∴四边形是正方形，，
∴是等腰直角三角形，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10. 如图，在矩形中，点分别在边和上，且，以点为圆心，为半径的弧分别交于点和点，连接．若，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质，三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，连接，过点作于点，证明，得到，由，，得到，，由进而可得到，即，由垂径定理可得，又由三角函数可得，，由勾股定理可得，即可求出，进而得到，又由，利用三角函数可得，即可求出，进而又得到，由垂径定理得到是解题的关键．
【详解】解：连接，过点作于点，
∵四边形为矩形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知抛物线与y轴交于点，则常数c的值是___________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与y轴的交点的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键，将代入即可求解．
【详解】∵抛物线与y轴交于点，
∴．
故答案为3．
12. 已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案：．
13. 小明把如图所示的正八边形纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了几何概率，用阴影部分的面积比总面积即可求解，掌握概率的计算公式是解题的关键．
【详解】解：由图形可得，飞镖落在阴影区域的概率是，
故答案为：．
14. 燕尾夹是我们平时学习、工作中经常用到的工具之一，一种燕尾夹如图所示，图是在打开状态时的示意图，图是在闭合状态时的示意图（数据如图，单位：），则从打开到闭合，之间的距离增加了_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，理解题意，证明四边形是矩形，求得，再证明，利用相似三角形的性质求得，进而作差即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】图中，∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
图中，∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴之间的距离增加了，
故答案为：．
15. 如图，边长为的正方形内放置了个大小相等的小正方形，且，，，四个顶点分别在正方形的四条边上，则每个小正方形的边长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，二元一次方程组，勾股定理，先证明，，得到，，设，，则，，，，由，可得方程组，解方程组可得的值，再利用勾股定理即可求出小正方形的边长，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
设，，
则，，，，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴小正方形的边长是，
故答案为：．
16. 如图，乒乓球桌桌面是长，宽矩形，分别是和的中点，在，处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在点击打乒乓球后经过桌面点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点到拦网的距离为______；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从点反弹后飞向对方桌面，落点在距离为的点处，此时的长度为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】如图，以点为原点建立平面直角坐标系，根据题意可得，利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点横坐标即可求解；
由题意可得，由得到点和点关于抛物线的对称轴对称，即点距也是，，进而得到，由勾股定理即可求出的长；
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，正确建立平面直角坐标系，用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
【详解】解：如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
由题意可得，，
∴，，
设抛物线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
把代入得，，
解得（不合，舍去），，
∴，
∴落点到拦网的距离为，
故答案为：；
由题意可得，，
∴，
∵，
∴点和点关于抛物线的对称轴对称，
∴点距也是，
设轴交于点，连接，
∵轴，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17. 已知：．（均不为）
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用内项之积等于外项之积求解即可；
（）利用合比性质即可求解；
本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
即，
∴．
18. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）．
（1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是多少？
（2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）直接根据概率公式求解即可；
（）画树状图得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可；
本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键．
【小问1详解】
小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是；
【小问2详解】
画树状图，
共有种可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色，共种结果，
∴两瓶溶液恰好都变红色的概率．
19. 已知抛物线的对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】（）由对称轴即可求解；
（）令，解一元二次方程即可求解，
本题考查了二次函数的性质，二次函数与轴的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线为，
令，
∴，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，．
20. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图所示，的三个顶点都在正方形网格格点上，请在网格中，按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作出绕点顺时针旋转后得到的；
（2）在线段上找一个点，使得．
（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析．
【解析】
【分析】（）根据旋转的性质作图即可；
（）取格点，使，且，则，进而可得，则点即为所求；
本题考查了作旋转后的图形，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，点即为所求．
21. 如图所示，中，，以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为及等腰三角形的三线合一的性质证明即可；
（2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到，根据对边对等角得出，则，进而得到，即可根据勾股定理求解．
【小问1详解】
证明：∵是圆O的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
在中，．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟记同圆中同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
22. 仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度
【答案】任务一：组1，阁楼高度约为；组2，阁楼高度约为
任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．任务一：组1，根据垂直的定义得到，解直角三角形即可得到结论；组2，设阁楼高度为，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；任务二：根据题意写出产生误差的原因即可．
【详解】解：任务一：组1，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得，
答：阁楼高度约为；
任务一：组2，设阁楼高度为，
根据题意得，
解得，
答：阁楼高度约为；
任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）．
23. 设二次函数（均为常数，且）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）若．
求二次函数的表达式，并写出顶点坐标；
已知点与都在该二次函数图象上，且，请求出的最小值．
（2）将该二次函数图象向右平移（）个单位，若平移后的二次函数图象在的范围内有最小值为，求的值．
【答案】（1）抛物线解析式为，顶点坐标为；；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法求出二次函数表达式，再根据二次函数的表达式即可求出顶点坐标；
根据二次函数的增减性可得，进而得到，由二次函数的性质可得当时，随的增大而增大，则的最小值是时的函数值，代入求解即可；
（）求得抛物线的解析式，进而求出平移后的函数解析式，根据题意时，函数有最小值，可得，解方程即可求解；
本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意得，，
解得，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
∵点与都在该二次函数图象上，且，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴的最小值是时的函数值，
∴的最小值；
【小问2详解】
解：由表格数据可知，抛物线的顶点为，
∴抛物线的解析式为，
将该二次函数图象向右平移（）个单位得到，
∵平移后的二次函数图象在的范围内有最小值为，
∴抛物线开口向下，时，函数有最小值，
把代入得，，
∴，
解得，
∵，
∴．
24. 如图，已知是的外接圆，，点为的中点，过作于，交于点，交于点．

（1）求证：；
（2）如图，延长，交于点，连接．
求证：；
若，求的值．（用含的式子表示）
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；．
【解析】
【分析】（）利用圆周角定理和垂径定理即可求解；
（）由是的直径得出，则，从而可证，，根据性质可以得出，再证，，即可求证；
过作于，证明和，则，则，由，得，从而求解；
此题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，为直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴
∴
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，即，
∴；
过作于，
∵，
∴，
∵作于，于，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．课题
估算仁皇阁高度
测量工具
测量角度仪器，皮尺，刻度尺等
组别
测量方案示意图
测量方案说明
组1
图1
如图1，先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼顶端A的仰角为，然后从C处向阁楼底部前进到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角为．
组2
图2
如图2，身高的组员站在仁皇阁正门边上合影．打印出照片后量得此组员图上高度为，量得仁皇阁图上高度为．
任务一
问题解决
请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；（结果保留小数点后一位．参考数据）
任务二
分析表达
后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因．（写出一条即可）