2022-2023学年江苏省苏州市常熟市王淦昌高级中学高一下学期3月月考数学试题

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1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由诱导公式及两角和的正弦公式求解.
【详解】
,
故选：B
2. 已知点则与同方向的单位向量为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.
考点：向量运算及相关概念.
3. 已知、、为单位向量，且满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由结合平面向量数量积的运算性质可求得与的夹角.
【详解】由已知可得，可得，
所以，，，故.
故选：D.
4. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积的坐标表示，结合题意整理可得，再代入二倍角的正切公式运算求解．
【详解】由题意可得：，整理得，即
∴
故选：C．
5. 已知点满足，，，则点依次是的（ ）
A. 重心､外心､垂心B. 重心､外心､内心
C. 外心､重心､垂心D. 外心､重心､内心
【答案】A
【解析】
【分析】将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论．
【详解】解：若，则，取的中点，则，所以，所以点N是AB中线上的点，同理可得N也是AC、BC中线上的点，所以是的重心．
因为且，所以O到顶点，，的距离相等，所以为的外心．
由得，即，所以．
同理可证，所以为的垂心．
故选：A．
6. 已知△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，D点是斜边AB的中点，点P在CD上，且，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，由平面向量数量积的坐标表示可得.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，记CD中点为E，则由中点坐标公式得，易知P为DE中点，所以，所以，所以.
故选：C
7. 在中，，，点满足，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义和运算律可求得，利用二次函数最小值的求法可求得结果.
【详解】，
，
则当时，，.
故选：A.
8. 在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ）
A. 1B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用、表示出，再利用三点共线得到，再把转化为关于的式子，即可求出最小值.
【详解】

三点共线
即
故的最小值为.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用三角函数恒等变换公式分析判断
【详解】对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C， ，所以C正确，
对于D，
，所以D错误，
故选：AC
10. 是边长为2等边三角形,已知向量满足,,则下列结论中正确的是
A. 为单位向量B. 为单位向量C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据正三角形的性质与平面向量的线性运算与数量积分析即可.
【详解】∵等边三角形的边长为2,,∴,∴,故A正确；
∵,∴,∴,故B错误；
由于,∴与的夹角为120°,故C错误；
又∵,
∴,故D正确.
故选: AD.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算法则,属于基础题型.
11. 已知向量 ，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C. 存在，使得
D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，根据向量垂直建立关系即可求出；对B，根据投影向量的定义即可求出；对C，根据已知两边平方可判断；对D，根据三角函数的性质可求.
【详解】对A，若，则，则，故A错误；
对B，若在上的投影向量为，，且，
，则，，故B正确；
对C，若，，
若，则，即，故，，故C正确；
对D，，因为，，则当时，的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
12. 下列四个等式中正确的是（ ）
A.
B.
C. 已知函数，则的最小正周期是
D. 已知，，则最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A：利用和差角的正切公式直接求得；对于B：先切化弦求出，
再利用二倍角公式、诱导公式即可求解；对于C：利用图像法判断；对于D：弦化切求出，把转化为
，利用基本不等式求最值，最后判断出等号不能取得，即可判断.
【详解】对于A：因为，所以.故A正确；
对于B：因为
所以.
故B正确；
对于C：函数
fx=sinx+3csx=sinx+3csx,2kπ≤x<π2+2kπ(k∈Z)sinx−3csx,π2+2kπ≤x<π+2kπ(k∈Z)−sinx−3csx,π+2kπ≤x<3π2+2kπ(k∈Z)−sinx+3csx,3π2+2kπ≤x<2π+2kπ(k∈Z)=2sinx+π3,2kπ≤x<π2+2kπ(k∈Z)2sinx−π3,π2+2kπ≤x<π+2kπ(k∈Z)−2sinx+π3,π+2kπ≤x<3π2+2kπ(k∈Z)−2sinx−π3,3π2+2kπ≤x<2π+2kπ(k∈Z)，
作出图像如图所示：
所以的最小正周期是.故C正确；
对于D：因为，所以.
因为，所以，
所以，即.
因为
所以把代入后可得：
因为，所以，所以.
所以.（当且仅当，即时等号成立）.
当时，由可得
所以是关于x的一元二次方程的两根.
因为，方程无解，所以上面的等号不能取得，所以的最小值为不正确.故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ______.
【答案】
【解析】
【分析】结合两角和的正弦公式求得正确答案.
详解】
.
故答案为：
14. 已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出与的坐标，再根据与夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，．
【详解】向量，，，，
若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，
即，且，
求得，且．
【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．
15. 如图，已知菱形的边长为，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知建立直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量的数量积的坐标运算公式即可求解.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
由题意可知，.
设,则，
因为，所以，
即，解得，，
所以，
所以.
故答案为：.
16. 已知、、为△的三内角，且角为锐角，若，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】由三角形内角的性质结合，可得，由目标函数式并利用基本不等式即可求得其最小值，注意基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，其中为锐角，
【详解】、、为△的三内角，为锐角，
∴
故有，即可得
∴，当且仅当时等号成立
∴的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了由三角形内角间的函数关系，利用三角恒等变换以及基本不等式求目标三角函数的最值，注意两角和正切公式、基本不等式(使用条件要成立)的应用
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图在平行四边形中，，，，E为的中点，H为线段上靠近点E的四等分点，记，.
（1）用，表示，；
（2）求线段的长.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，可得答案；
（2）根据，可得答案.
【详解】（1）由已知得，
，
所以，；
（2）由（1）得，
所以，
所以线段的长为.
【点睛】本题考查向量的线性表示，以及向量的数量积运算之求向量的模的应用，关键在于将向量置于一个三角形中，运用向量的加法表示向量；求向量的模时，常采用先求向量的平方，运用向量的数量积的运算律，属于中档题.
18. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，计算求得的值．
（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的正弦公式，计算求得的值．
【详解】解：（1）因为，
所以，.
.
.
（2）因为，
故.
所以，.
所以
19. 在直角坐标平面内，已知向量，，，为满足条件（）的动点．当取得最小值时，求：
（1）向量的坐标；
（2）的值；
（3）求点A到直线的距离．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先表示出，再表示出，利用二次函数研究最值；（2）直接利用向量的夹角公式求解；（3）直接利用公式求出点A到直线PB的距离.
【小问1详解】
，，，
∴
当取得最小值时，t＝2．∴（2，4）．
【小问2详解】
，，，，
∴．
【小问3详解】
设点A到直线PB的距离为h，则h＝．
20 已知向量，.
（1）若，求；
（2）若，函数，求的值域.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】根据向量共线定理的坐标形式建立方程即可求得结果；
利用换元法转化成一元二次函数，即可求得结果.
小问1详解】
解：向量，，，
即，
，
.
【小问2详解】
，，
，
设，
则，
，，
设，，
由二次函数性质可得：
，
.
故的值域为.
21. 在平行四边形中，，为中点．
（1）若，且满足，求的长；
（2）若，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）将作为基底，把用基底表示出来，然后利用列方程可求出的长；
（2）将作为基底，然后将中的向量用基底表示，化简可求出结果
【详解】解：（1）因为为中点，
因为四边形为平行四边形，
所以，
因为,
因为，，
所以，
，
解得，
所以，
（2）因为，
所以,
，
所以,
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以的最大值为
22. 如图，扇形钢板POQ的半径为1，圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ.
（1）设∠AOB=θ，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S（θ），并指出θ的取值范围；
（2）求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角函数和半径得到，，，的长度，然后利用面积公式求面积，并用和差公式、二倍角公式和辅助角公式化简即可；
（2）利用正弦型函数的性质求最值即可.
【小问1详解】
利用正弦函数可得，，，，所以
，.
【小问2详解】
因为，所以，
当，即时，四边形钢板的面积最大.