浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2，3，4}B．{2，3}C．{1，4}D．{0，1，4}
2．已知（2+i）z＝i，i为虚数单位，则|z|＝（ ）
A．15B．13C．55D．53
3．已知平面向量a→=(2，0)，b→=(−1，1)，且（ma→−b→）∥（a→+b→），则m＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．1±32
4．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线左支上存在点P使得|PF2|=32c−2a，则离心率的取值范围为（ ）
A．[6，+∞）B．（1，6]C．[2，+∞）D．[4，+∞）
5．已知2cs2θ﹣csθ＝1，θ∈（0，π），则|sinθ|＝（ ）
A．0B．12C．32或0D．32
6．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x较大时，1+12+13+⋯+1x=lnx+γ（x∈N*，常数y＝0.557…）．利用以上公式，可以估算1101+1102+⋯+1300的值为（ ）
A．ln30B．ln3C．﹣ln3D．﹣ln30
7．已知α，β∈(0，π2)，则“cs(α−β)＜14”是“csα+sinβ＜14”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知圆C：x2﹣2x+y2＝0与直线l：y＝mx+2m（m＞0），过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A和B，若线段AB长度的最小值为2，则实数m的值为（ ）
A．277B．77C．142D．147
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为4.7，则（ ）
A．x＝7
B．这组数据的中位数为4
C．若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5
D．这组数据的第70百分位数为5.5
（多选）10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝5，b＝6，c＝7，下面说法正确的是（ ）
A．sinA：sinB：sinC＝5：6：7
B．csA：csB：csC＝5：6：7
C．△ABC是锐角三角形
D．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
（多选）11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，PD=23，点E是棱PB上一点（不包括端点），F是平面PCD内一点，则（ ）
A．一定不存在点E，使AE∥平面PCD
B．一定不存在点E，使 PB⊥平面ACE
C．以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面PAD的交线长为π3
D．|AE|+|EF|的最小值165
（多选）12．已知函数f(x)=xx−1−ex(x＞1)，g(x)=xx−1−lnx(x＞1)的零点分别为x1，x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1＝lnx2B．1x1+1x2=1
C．x1+x2＞4D．x1x2＜e
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过P(1，3+1)，Q(3，33+1)两点的直线的斜率为 ．
14．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AC=23，BC＝4，AA1＝8，则该直三棱柱的外接球的表面积为 ．
15．已知函数f(x)=sin(ωx+π3)+sinωx(ω＞0)在[0，π]上的值域为[32，3]，则实数ω的取值范围是 ．
16．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点，右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点P，直线PF与C的一个交点为Q，OA→2−(OP→+OF→)⋅OA→+OP→⋅OF→=0，且QP→=5FP→，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数f（x）＝sin x﹣csx（x∈R）；
（1）求函数y=f(x+π2)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数y＝f（x）在[0，π2]上的最大值．
18．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M，N分别为AC，BC上的两点AN→=12AC→，BM→=13BC→，AM，BN相交于点P．
（1）求|AM→|的值；
（Ⅱ）求证：AM⊥PN．
19．树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；
（Ⅱ）如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；
（Ⅲ）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．
20．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥AD，AE＝2EF＝2，∠EAD＝120°，平面ADFE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：BD⊥CF；
（Ⅱ）求平面ABE与平面BDF所成锐角的余弦值．
21．如图，在圆x2+y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，且满足|PD|=2|MD|．当点P在圆上运动时，M的轨迹为Ω．
（1）求曲线Ω的方程；
（Ⅱ）点A（2，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交曲线Ω于点B，交y轴于点C．已知G为AB的中点，是否存在定点Q，对于任意k（k≠0）都有OG⊥CQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，…，xn∈D2，使得g（x1）＝f（x0）（其中，i＝1，2，…，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数”．
（Ⅰ）判断g（x）＝x2﹣2x+1，（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+4（x∈[0，5]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值：如果不是，说明理由．
（Ⅱ）若g(x)=ax2+(2a−3)x+1，−2≤x≤1x−1，x＞1为f(x)=lg22x+22x+1的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．若h（x）＝ax﹣[ax]，x∈[0，2）为f(x)=xx2+1，x∈[0，+∞）的“2023重覆盖函数”请直接写出正实数a的取值范围（无需解答过程）．
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