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广西壮族自治区 南宁市第二十六中学2022-2023学年八年级 下学期开学数学试卷
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这是一份广西壮族自治区 南宁市第二十六中学2022-2023学年八年级 下学期开学数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列关于天气预报的图标中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在物联网时代的所有芯片中，0.000000014m芯片已成为需求的焦点.把它用科学记数法表示正确的是( )
A. 1.4×10−8mB. 1.4×10−9mC. 14×10−9mD. 1.4×10−10m
3.已知点A(−3,2)，点B与点A关于x轴对称，则点B的坐标为( )
A. (3,−2)B. (−3,−2)C. (3,2)D. (−2,−3)
4.已知三角形的三边长分别是4，8，a，则a的取值可能是( )
A. 4B. 11C. 12D. 13
5.正多边形的每一个内角都是135°，那么这个正多边形是( )
A. 正五边形B. 正六边形C. 正七边形D. 正八边形
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，若BC=8，则CD的长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.把分式3aba+b中的分子与分母都变为原来的2倍，则分式的值( )
A. 变为原来的6倍B. 变为原来的12倍C. 变为原来的2倍D. 不变
8.下列计算，其中正确的是( )
A. x3⋅x2=x6B. (ab)6=ab6
C. (−a3)2=a6D. 3x3y2÷xy2=3x3
9.若x2+(k+1)x+1是一个完全平方式，则k的值是( )
A. −3B. 1C. −3或1D. ±2
10.某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖30米，结果少花4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是( )您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 低至0.3元/份 A. 480x−480x+30=4B. 480x+30−480x=4
C. 480x−4−480x=30D. 480x−480x−4=30
11.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E是AC边上一点．若AE=2，当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为( )
A. 30°
B. 45°
C. 25°
D. 20°
12.如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点(不与P，Q重合)，再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当BC⊥BQ时，△ABC的周长最小．其中一定正确的有( )
A. ①②③
B. ②③④
C. ③④⑤
D. ②③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.若分式1x−2有意义，则x的取值范围为 ．
14.在日常生活中，我们通常采用如图的方法(斜钉上一块木条)来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：______．
15.因式分解：2a2−12a=______．
16.关于x的分式方程2x+5=1x−2的解是x= ______．
17.若实数x、y满足1x-1y=5，则分式3x−2xy−3yx+xy−y的值等于______．
18.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=α(20°<α<120°)，AE平分△ABC的外角∠BAD，CF将∠ACB分成1：2两部分．若AE、CF交于点G，则∠AGC的度数为______(用含α的代数式表示)．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
化简：(x+y)(x−y)+(2xy2−6xy)÷2x．
20.(本小题6分)
先化简再求值：(1−2a−1)÷a2−6a+9a−1，其中a=2．
21.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．
(1)求线段AB的长；
(2)作边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E和点F(利用尺规作图，保留作图痕迹)；
(3)连接AF，若∠B=25°，求∠CAF的度数．
22.(本小题10分)
如图，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足分别为E，D，CE，BD相交于O，连接OA．
(1)若AB=AC，求证：△ABD≌△ACE；
(2)若OB=OC，求证：∠1=∠2．
23.(本小题10分)
某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑.某商场用6万元购进甲种型号的平板，很快销售一空.该商场又用12.8万元购进了乙种型号的平板，所购数量是甲型平板购进数量的2倍，但单价贵了40元，甲型平板和乙型平板售价都是700元，但最后剩下的50件乙型平板按售价的八折销售，很快售完．
(1)该该商场购进甲型平板和乙型平板的单价各多少元？
(2)售完这两种平板，商场共盈利多少元？
24.(本小题10分)
如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中．
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)∠CMQ的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(3)连接PQ，当点P，Q运动多少秒时，△PBQ是直角三角形？
25.(本小题10分)
将完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如，若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，所以(a+b)2=9，即a2+2ab+b2=9．
又因为ab=1，所以a2+b2=7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．
(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy=______．
(2)若x−y=6，xy=5，求x2+y2的值．
(3)如图，在长方形ABCD中，AB=25，BC=15，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，在长方形ABCD内侧作长方形CEPF，若长方形CEPF的面积为200，则图中阴影部分的面积和为______．
26.(本小题10分)
【探究发现】
(1)如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF=90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是______．
【类比应用】
(2)如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF=60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
(3)在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE=1，∠EDF=60°，请直接写出AF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，确定四个选项中每个图形对称轴的数量，进而可得答案．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2.【答案】A
【解析】解：0.000000014=1.4×10−8，
故选：A．
根据科学记数法的定义求解．
本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的特征是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵点A坐标为(−3,2)，点B与点A关于x轴对称，
∴点B的坐标为：(−3,−2)．
故选：B．
直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵三角形的三边长分别是4，8，a，
∴8−4∴4∴a的取值可能是11．
故选：B．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到4本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
5.【答案】D
【解析】解：因为正多边形的每一个内角都是135°，
所以正多边形的每一个外角都是180°−135°=45°，
所以这个正多边形的边数是360°÷45°=8，
即：这个正多边形是正八边形．
故选：D．
根据题意，计算出多边形的外角的度数，再根据外角和除以外角度数得边数即可．
本题考查了多边形外角和，根据题意求出，每个外角的度数是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=12BC=4，
故选：C．
根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=12BC=4，得到答案．
本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
7.【答案】D
【解析】解：分式3aba+b中的分子与分母都变为原来的2倍，则分式的值不变．
故选：D．
直接根据分式的基本性质解答即可．
本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A选项：x3⋅x2=x3+2=x5，故不正确；
B选项：(ab)6=a6b6，故不正确；
C选项：(−a3)2=a6，正确；
D选项：3x3y2÷xy2=3x2，故错误；
故选：C．
根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方计算公式分别对每个选项进行计算，再进行判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方计算法则是关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵(x±1)2=x2±2x+1，
∴k+1=±2，
∴k=−3或1，
故选：C．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
10.【答案】A
【解析】解：设原计划每天挖x米，由题意得：
480x−480x+30=4．
故选：A．
设原计划每天挖x米，则实际每天挖(x+30)米，由题意可得等量关系：原计划所用时间−实际所用时间=4，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
11.【答案】A
【解析】解：过E作EM//BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM//BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时，EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=12∠ACB=30°，
故选：A．
过E作EM//BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
本题考查了轴对称−最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．
12.【答案】D
【解析】解：∵点A为PQ上一动点(不与P，Q重合)，∠ABC=60°，
∴∠ABP与∠PCQ不一定相等，故①不正确；
∵△PQB和△ABC都为等边三角形，
∴PQ=QB=PB，AB=CB=AC，∠Q=∠QBP=∠ABC=∠60°，
∴∠QBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=60°，
∴∠QBA=∠PBC，
∴△QBA≌△PBC(SAS)，
∴AQ=PC，∠Q=∠BPC=∠QBP=60°，
∴PC//QB，PB=PQ=PA+AQ=PA+PC，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，AB最小，
∴当BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，故⑤正确．
故选：D．
根据点A为PQ上一动点(不与P，Q重合)，∠ABC=60°，可知∠ABP与∠PCQ不一定相等，可判断①；证明出△QBA≌△PBC(SAS)，可得PC//QB，PB=PQ=PA+AQ=PA+PC，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，AB最小，即可判断⑤．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和最短路线问题，判断出△QBA≌△PBC是解本题的关键．
13.【答案】x≠2
【解析】【分析】
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题的关键．
根据分母不为零，分式有意义，可得答案．
【解答】
解：由题意，得x−2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
14.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：这样做的依据是：三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形具有稳定性即可求解．
本题考查了三角形具有稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
15.【答案】2a(a−6)
【解析】解：2a2−12a=2a(a−6)．
故答案为：2a(a−6)．
运用提公因式法分解因式即可．
本题考查了提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题关键．
16.【答案】9
【解析】解：方程两边都乘以(x+5)(x−2)得，2(x−2)=x+5，
解得x=9，
检验：当x=9时，(x+5)(x−2)≠0，即x=9是分式方程的解，
所以原分式方程的解是x=9，
故答案为：9．
方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后注意需验根．
17.【答案】174
【解析】【分析】
本题考查分式的基本性质与化简求值，考查运算能力与转化能力．
由1x−1y=5，得y−x=5xy，x−y=−5xy，代入所求的式子化简即可．
【解答】
解：由1x−1y=5，得y−x=5xy，
∴x−y=−5xy，
∴原式=3(x−y)−2xy(x−y)+xy=−15xy−2xy−5xy+xy=−17xy−4xy=174．
故答案为174．
18.【答案】12α+10°或12α−10°
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=α，
∴∠DAB=∠ACB+∠ABC=60°+α，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=12∠DAB=12×(60°+α)=30°+12α，
∴∠CAE=180°−∠DAE=180°−(30°+12α)=150°−12α，
①当∠ACG：∠BCG=1：2时，∠ACB=60°，
则∠ACG=20°，
所以∠AGC=180°−∠CAE−∠ACG=180°−(150°−12α)−20°=12α+10°；
②当∠ACG：∠BCG=2：1时，∠ACB=60°，
则∠ACG=40°，
所以∠AGC=180°−∠CAE−∠ACG=180°−(150°−12α)−40°=12α−10°；
所以∠AGC的度数是12α+10°或12α−10°．
先求出∠CAE的度数，再分为两种情况，求出∠ACG的度数，再根据三角形的内角和定理求出即可．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识点，能求出∠CAG和∠ACG的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．
19.【答案】解：原式=x2−y2+2xy2÷2x−6xy÷2x=x2−y2+y2−3y=x2−3y．
【解析】根据平方差公式，多项式除以单项式，进行计算即可求解．
本题考查了平方差公式，多项式除以单项式，掌握平方差公式，多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1−2a−1)÷a2−6a+9a−1
=a−1−2a−1⋅a−1(a−3)2=a−3a−1⋅a−1(a−3)2=1a−3，
当a=2时，原式=12−3=−1．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
根据勾股定理得：AB= AC2+BC2= 62+82=10，
即：线段AB的长为10．
(2)如图所示，线段AB的垂直平分线EF、点E、F为所求．
(3)如图，连接AF，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠CAB=180°−(90°+25°)=65°，
∵EF为线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠B=25°，
∴∠CAF=∠CAB−∠BAF=65°−25°=40°．
【解析】(1)根据勾股定理即可求解；
(2)根据题意作边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E和点F；
(3)在Rt△ABC中，三角形内角和定理得出∠CAB，根据线段垂直平分线的性质得出AF=BF，根据等边对等角得出∠BAF=∠B=25°，根据∠CAF=∠CAB−∠BAF即可求解．
本题考查了勾股定理，尺规作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ABD和△ACE中，∠ADB=AEC∠DAB=∠EACAC=AB，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
(2)∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠OEB=∠ODC=90°，
在△BOE和△COD中，∠OEB=ODC∠EOB=∠DOCOB=OC，
∴△BOE≌△COD(AAS)，
∴OE=OD，
∴AO是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2．
【解析】(1)根据垂直的定义得出∠ADB=∠AEC=90°，进而结合已知条件证明△ABD≌△ACE(AAS)，即可；
(2)证明△BOE≌△COD(AAS)得出OE=OD，得出AO是∠BAC的角平分线，则∠1=∠2．
本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设该商场购进甲型平板的单价为x元，则购进乙型平板的单价为(x+40)元，
由题意得：60000x×2=128000x+40，
解得：x=600，
经检验：x=600是原分式方程的解，且符合题意，
则x+40=640，
答：该商场购进甲型平板的单价为600元，乙型平板的单价为640元；
(2)该商场共购进甲型平板和乙型平板：(60000÷600)×3=300(件)，
共盈利：(300−50)×700+700×0.8×50−60000−128000=15000(元)，
答：售完这两种平板，商场共盈利15000元．
【解析】(1)设该商场购进甲型平板的单价为x元，则购进乙型平板的单价为(x+40)元，由题意：某商场用6万元购进甲种型号的平板，该商场又用12.8万元购进了乙种型号的平板，所购数量是甲型平板购进数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
(2)求出该商场共购进甲型平板和乙型平板的件数，再求利润和即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA
∵点P、Q的速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，
AB=CA∠ABQ=∠CAP,AP=BQ∴△ABQ≌△CAP；
(2)解：∠CMQ的大小不发生变化，
∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠QMC=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=60°；
(3)解：设点P，Q运动x秒时，△PBQ是直角三角形，
则AP=BQ=x，PB=(4−x)，
当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴BP=2BQ，即4−x=2x，
解得x=43，
当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，
即2(4−x)=x，
解得，x=83，
∴当点P，Q运动43秒或83秒时，△PBQ是直角三角形．
【解析】(1)根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明；
(2)根据全等三角形的性质得到∠BAQ=∠ACP，根据三角形的外角的性质解答；
(3)分∠PQB=90°和∠PBQ=90°两种情况，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定、直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
25.【答案】12 500
【解析】解：(1)∵(x+y)2=x2+y2+2xy，
∴xy=(x+y)2−(x2+y2)2=82−402=12．
故答案为：12．
(2)x2+y2=(x−y)2+2xy=62+2×5=46．
(3)∵四边形ABCD为长方形，
∴CD=AB=25，
由题意得EC=BC−BE=15−x，FC=CD−DF=25−x，
设正方形CFGH边长15−x=a，正方形CEMN边长15−x=b，
∴a−b=10，ab=200，
阴影部分的面积为a2+b2=(a−b)2+2ab=100+400=500，
故答案为：500．
(1)由(x+y)2=x2+y2+2xy求解．
(2)由x2+y2=(x−y)2+2xy求解．
(3)设正方形CFGH边长为a，正方形CEMN边长b，由图象可得阴影面积为a2+b2，进而求解．
本题考查完全平方式的应用，解题关键是掌握完全平方式的变形，设参数求解．
26.【答案】AB=AF+AE
【解析】解：(1)如图1，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，AD=BD=CD，
∴∠ADB=∠ADF+∠BDF=90°，
∵∠EDF=∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠BDF=∠ADE，
∵BD=AD，∠B=∠CAD=45°，
∴△BDF≌△ADE ( ASA)，
∴BF=AE，
∴AB=AF+BF=AF+AE；
故答案为：AB=AF+AE；
(2)AE+AF=12AB.理由是：
取AB中点G，连接DG，
∵点G是△ADB斜边中点，
∴DG=AG=BG=12AB，
∵AB=AC，∠BAC=120°，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠GDA=∠BAD=60°，即∠GDF+∠FDA=60°，
又∵∠FAD+∠ADE=∠FDE=60°，
∴∠GDF=∠ADE，
∵DG=AG，∠BAD=60°，
∴△ADG为等边三角形，
∴∠AGD=∠CAD=60°，GD=AD，
∴△GDF≌△ADE (ASA)，
∴GF=AE，
∴AG=12AB=AF+FG=AE+AF，
∴AE+AF=12AB；
(3)当点E在线段AC上时，
如图3，取AC的中点H，连接DH，
当AB=AC=5，CE=1，∠EDF=60°时，
AE=4，此时F在BA的延长线上，
同(2)可得：△ADF≌△HDE (ASA)，
∴AF=HE，
∵AH=CH=12AC=52，CE=1，
∴AF=HE=CH−CE=52−1=32，
当点E在AC延长线上时，如图4，
同理可得：AF=HE=CH+CE=52+1=72；
综上：AF的长为32或72．
(1)证明△BDF≌OADE，可得BF=AE，从而证明AB=AF+AE；
(2)取AB中点G，连接DG，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF=AE，可得AG=12AB=AF+FG=AE+AF；
(3)分两种情况：当点E在线段AC上时或当点E在AC延长线上时，取AC的中点H，连接DH，同理证明△ADF≌△HDE，得到AF=HE，从而求解．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是适当添加辅助线，构造全等三角形，从而得到线段之间的关系．
1.下列关于天气预报的图标中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在物联网时代的所有芯片中，0.000000014m芯片已成为需求的焦点.把它用科学记数法表示正确的是( )
A. 1.4×10−8mB. 1.4×10−9mC. 14×10−9mD. 1.4×10−10m
3.已知点A(−3,2)，点B与点A关于x轴对称，则点B的坐标为( )
A. (3,−2)B. (−3,−2)C. (3,2)D. (−2,−3)
4.已知三角形的三边长分别是4，8，a，则a的取值可能是( )
A. 4B. 11C. 12D. 13
5.正多边形的每一个内角都是135°，那么这个正多边形是( )
A. 正五边形B. 正六边形C. 正七边形D. 正八边形
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，若BC=8，则CD的长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.把分式3aba+b中的分子与分母都变为原来的2倍，则分式的值( )
A. 变为原来的6倍B. 变为原来的12倍C. 变为原来的2倍D. 不变
8.下列计算，其中正确的是( )
A. x3⋅x2=x6B. (ab)6=ab6
C. (−a3)2=a6D. 3x3y2÷xy2=3x3
9.若x2+(k+1)x+1是一个完全平方式，则k的值是( )
A. −3B. 1C. −3或1D. ±2
10.某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖30米，结果少花4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是( )您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 低至0.3元/份 A. 480x−480x+30=4B. 480x+30−480x=4
C. 480x−4−480x=30D. 480x−480x−4=30
11.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E是AC边上一点．若AE=2，当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为( )
A. 30°
B. 45°
C. 25°
D. 20°
12.如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点(不与P，Q重合)，再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当BC⊥BQ时，△ABC的周长最小．其中一定正确的有( )
A. ①②③
B. ②③④
C. ③④⑤
D. ②③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.若分式1x−2有意义，则x的取值范围为 ．
14.在日常生活中，我们通常采用如图的方法(斜钉上一块木条)来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：______．
15.因式分解：2a2−12a=______．
16.关于x的分式方程2x+5=1x−2的解是x= ______．
17.若实数x、y满足1x-1y=5，则分式3x−2xy−3yx+xy−y的值等于______．
18.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=α(20°<α<120°)，AE平分△ABC的外角∠BAD，CF将∠ACB分成1：2两部分．若AE、CF交于点G，则∠AGC的度数为______(用含α的代数式表示)．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
化简：(x+y)(x−y)+(2xy2−6xy)÷2x．
20.(本小题6分)
先化简再求值：(1−2a−1)÷a2−6a+9a−1，其中a=2．
21.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．
(1)求线段AB的长；
(2)作边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E和点F(利用尺规作图，保留作图痕迹)；
(3)连接AF，若∠B=25°，求∠CAF的度数．
22.(本小题10分)
如图，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足分别为E，D，CE，BD相交于O，连接OA．
(1)若AB=AC，求证：△ABD≌△ACE；
(2)若OB=OC，求证：∠1=∠2．
23.(本小题10分)
某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑.某商场用6万元购进甲种型号的平板，很快销售一空.该商场又用12.8万元购进了乙种型号的平板，所购数量是甲型平板购进数量的2倍，但单价贵了40元，甲型平板和乙型平板售价都是700元，但最后剩下的50件乙型平板按售价的八折销售，很快售完．
(1)该该商场购进甲型平板和乙型平板的单价各多少元？
(2)售完这两种平板，商场共盈利多少元？
24.(本小题10分)
如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中．
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)∠CMQ的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(3)连接PQ，当点P，Q运动多少秒时，△PBQ是直角三角形？
25.(本小题10分)
将完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如，若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，所以(a+b)2=9，即a2+2ab+b2=9．
又因为ab=1，所以a2+b2=7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．
(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy=______．
(2)若x−y=6，xy=5，求x2+y2的值．
(3)如图，在长方形ABCD中，AB=25，BC=15，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，在长方形ABCD内侧作长方形CEPF，若长方形CEPF的面积为200，则图中阴影部分的面积和为______．
26.(本小题10分)
【探究发现】
(1)如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF=90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是______．
【类比应用】
(2)如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF=60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
(3)在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE=1，∠EDF=60°，请直接写出AF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，确定四个选项中每个图形对称轴的数量，进而可得答案．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2.【答案】A
【解析】解：0.000000014=1.4×10−8，
故选：A．
根据科学记数法的定义求解．
本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的特征是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵点A坐标为(−3,2)，点B与点A关于x轴对称，
∴点B的坐标为：(−3,−2)．
故选：B．
直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵三角形的三边长分别是4，8，a，
∴8−4
故选：B．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到4
5.【答案】D
【解析】解：因为正多边形的每一个内角都是135°，
所以正多边形的每一个外角都是180°−135°=45°，
所以这个正多边形的边数是360°÷45°=8，
即：这个正多边形是正八边形．
故选：D．
根据题意，计算出多边形的外角的度数，再根据外角和除以外角度数得边数即可．
本题考查了多边形外角和，根据题意求出，每个外角的度数是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=12BC=4，
故选：C．
根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=12BC=4，得到答案．
本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
7.【答案】D
【解析】解：分式3aba+b中的分子与分母都变为原来的2倍，则分式的值不变．
故选：D．
直接根据分式的基本性质解答即可．
本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A选项：x3⋅x2=x3+2=x5，故不正确；
B选项：(ab)6=a6b6，故不正确；
C选项：(−a3)2=a6，正确；
D选项：3x3y2÷xy2=3x2，故错误；
故选：C．
根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方计算公式分别对每个选项进行计算，再进行判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方计算法则是关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵(x±1)2=x2±2x+1，
∴k+1=±2，
∴k=−3或1，
故选：C．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
10.【答案】A
【解析】解：设原计划每天挖x米，由题意得：
480x−480x+30=4．
故选：A．
设原计划每天挖x米，则实际每天挖(x+30)米，由题意可得等量关系：原计划所用时间−实际所用时间=4，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
11.【答案】A
【解析】解：过E作EM//BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM//BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时，EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=12∠ACB=30°，
故选：A．
过E作EM//BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
本题考查了轴对称−最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．
12.【答案】D
【解析】解：∵点A为PQ上一动点(不与P，Q重合)，∠ABC=60°，
∴∠ABP与∠PCQ不一定相等，故①不正确；
∵△PQB和△ABC都为等边三角形，
∴PQ=QB=PB，AB=CB=AC，∠Q=∠QBP=∠ABC=∠60°，
∴∠QBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=60°，
∴∠QBA=∠PBC，
∴△QBA≌△PBC(SAS)，
∴AQ=PC，∠Q=∠BPC=∠QBP=60°，
∴PC//QB，PB=PQ=PA+AQ=PA+PC，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，AB最小，
∴当BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，故⑤正确．
故选：D．
根据点A为PQ上一动点(不与P，Q重合)，∠ABC=60°，可知∠ABP与∠PCQ不一定相等，可判断①；证明出△QBA≌△PBC(SAS)，可得PC//QB，PB=PQ=PA+AQ=PA+PC，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，AB最小，即可判断⑤．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和最短路线问题，判断出△QBA≌△PBC是解本题的关键．
13.【答案】x≠2
【解析】【分析】
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题的关键．
根据分母不为零，分式有意义，可得答案．
【解答】
解：由题意，得x−2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
14.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：这样做的依据是：三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形具有稳定性即可求解．
本题考查了三角形具有稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
15.【答案】2a(a−6)
【解析】解：2a2−12a=2a(a−6)．
故答案为：2a(a−6)．
运用提公因式法分解因式即可．
本题考查了提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题关键．
16.【答案】9
【解析】解：方程两边都乘以(x+5)(x−2)得，2(x−2)=x+5，
解得x=9，
检验：当x=9时，(x+5)(x−2)≠0，即x=9是分式方程的解，
所以原分式方程的解是x=9，
故答案为：9．
方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后注意需验根．
17.【答案】174
【解析】【分析】
本题考查分式的基本性质与化简求值，考查运算能力与转化能力．
由1x−1y=5，得y−x=5xy，x−y=−5xy，代入所求的式子化简即可．
【解答】
解：由1x−1y=5，得y−x=5xy，
∴x−y=−5xy，
∴原式=3(x−y)−2xy(x−y)+xy=−15xy−2xy−5xy+xy=−17xy−4xy=174．
故答案为174．
18.【答案】12α+10°或12α−10°
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=α，
∴∠DAB=∠ACB+∠ABC=60°+α，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=12∠DAB=12×(60°+α)=30°+12α，
∴∠CAE=180°−∠DAE=180°−(30°+12α)=150°−12α，
①当∠ACG：∠BCG=1：2时，∠ACB=60°，
则∠ACG=20°，
所以∠AGC=180°−∠CAE−∠ACG=180°−(150°−12α)−20°=12α+10°；
②当∠ACG：∠BCG=2：1时，∠ACB=60°，
则∠ACG=40°，
所以∠AGC=180°−∠CAE−∠ACG=180°−(150°−12α)−40°=12α−10°；
所以∠AGC的度数是12α+10°或12α−10°．
先求出∠CAE的度数，再分为两种情况，求出∠ACG的度数，再根据三角形的内角和定理求出即可．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识点，能求出∠CAG和∠ACG的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．
19.【答案】解：原式=x2−y2+2xy2÷2x−6xy÷2x=x2−y2+y2−3y=x2−3y．
【解析】根据平方差公式，多项式除以单项式，进行计算即可求解．
本题考查了平方差公式，多项式除以单项式，掌握平方差公式，多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1−2a−1)÷a2−6a+9a−1
=a−1−2a−1⋅a−1(a−3)2=a−3a−1⋅a−1(a−3)2=1a−3，
当a=2时，原式=12−3=−1．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
根据勾股定理得：AB= AC2+BC2= 62+82=10，
即：线段AB的长为10．
(2)如图所示，线段AB的垂直平分线EF、点E、F为所求．
(3)如图，连接AF，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠CAB=180°−(90°+25°)=65°，
∵EF为线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠B=25°，
∴∠CAF=∠CAB−∠BAF=65°−25°=40°．
【解析】(1)根据勾股定理即可求解；
(2)根据题意作边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E和点F；
(3)在Rt△ABC中，三角形内角和定理得出∠CAB，根据线段垂直平分线的性质得出AF=BF，根据等边对等角得出∠BAF=∠B=25°，根据∠CAF=∠CAB−∠BAF即可求解．
本题考查了勾股定理，尺规作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ABD和△ACE中，∠ADB=AEC∠DAB=∠EACAC=AB，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
(2)∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠OEB=∠ODC=90°，
在△BOE和△COD中，∠OEB=ODC∠EOB=∠DOCOB=OC，
∴△BOE≌△COD(AAS)，
∴OE=OD，
∴AO是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2．
【解析】(1)根据垂直的定义得出∠ADB=∠AEC=90°，进而结合已知条件证明△ABD≌△ACE(AAS)，即可；
(2)证明△BOE≌△COD(AAS)得出OE=OD，得出AO是∠BAC的角平分线，则∠1=∠2．
本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设该商场购进甲型平板的单价为x元，则购进乙型平板的单价为(x+40)元，
由题意得：60000x×2=128000x+40，
解得：x=600，
经检验：x=600是原分式方程的解，且符合题意，
则x+40=640，
答：该商场购进甲型平板的单价为600元，乙型平板的单价为640元；
(2)该商场共购进甲型平板和乙型平板：(60000÷600)×3=300(件)，
共盈利：(300−50)×700+700×0.8×50−60000−128000=15000(元)，
答：售完这两种平板，商场共盈利15000元．
【解析】(1)设该商场购进甲型平板的单价为x元，则购进乙型平板的单价为(x+40)元，由题意：某商场用6万元购进甲种型号的平板，该商场又用12.8万元购进了乙种型号的平板，所购数量是甲型平板购进数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
(2)求出该商场共购进甲型平板和乙型平板的件数，再求利润和即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA
∵点P、Q的速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，
AB=CA∠ABQ=∠CAP,AP=BQ∴△ABQ≌△CAP；
(2)解：∠CMQ的大小不发生变化，
∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠QMC=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=60°；
(3)解：设点P，Q运动x秒时，△PBQ是直角三角形，
则AP=BQ=x，PB=(4−x)，
当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴BP=2BQ，即4−x=2x，
解得x=43，
当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，
即2(4−x)=x，
解得，x=83，
∴当点P，Q运动43秒或83秒时，△PBQ是直角三角形．
【解析】(1)根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明；
(2)根据全等三角形的性质得到∠BAQ=∠ACP，根据三角形的外角的性质解答；
(3)分∠PQB=90°和∠PBQ=90°两种情况，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定、直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
25.【答案】12 500
【解析】解：(1)∵(x+y)2=x2+y2+2xy，
∴xy=(x+y)2−(x2+y2)2=82−402=12．
故答案为：12．
(2)x2+y2=(x−y)2+2xy=62+2×5=46．
(3)∵四边形ABCD为长方形，
∴CD=AB=25，
由题意得EC=BC−BE=15−x，FC=CD−DF=25−x，
设正方形CFGH边长15−x=a，正方形CEMN边长15−x=b，
∴a−b=10，ab=200，
阴影部分的面积为a2+b2=(a−b)2+2ab=100+400=500，
故答案为：500．
(1)由(x+y)2=x2+y2+2xy求解．
(2)由x2+y2=(x−y)2+2xy求解．
(3)设正方形CFGH边长为a，正方形CEMN边长b，由图象可得阴影面积为a2+b2，进而求解．
本题考查完全平方式的应用，解题关键是掌握完全平方式的变形，设参数求解．
26.【答案】AB=AF+AE
【解析】解：(1)如图1，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，AD=BD=CD，
∴∠ADB=∠ADF+∠BDF=90°，
∵∠EDF=∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠BDF=∠ADE，
∵BD=AD，∠B=∠CAD=45°，
∴△BDF≌△ADE ( ASA)，
∴BF=AE，
∴AB=AF+BF=AF+AE；
故答案为：AB=AF+AE；
(2)AE+AF=12AB.理由是：
取AB中点G，连接DG，
∵点G是△ADB斜边中点，
∴DG=AG=BG=12AB，
∵AB=AC，∠BAC=120°，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠GDA=∠BAD=60°，即∠GDF+∠FDA=60°，
又∵∠FAD+∠ADE=∠FDE=60°，
∴∠GDF=∠ADE，
∵DG=AG，∠BAD=60°，
∴△ADG为等边三角形，
∴∠AGD=∠CAD=60°，GD=AD，
∴△GDF≌△ADE (ASA)，
∴GF=AE，
∴AG=12AB=AF+FG=AE+AF，
∴AE+AF=12AB；
(3)当点E在线段AC上时，
如图3，取AC的中点H，连接DH，
当AB=AC=5，CE=1，∠EDF=60°时，
AE=4，此时F在BA的延长线上，
同(2)可得：△ADF≌△HDE (ASA)，
∴AF=HE，
∵AH=CH=12AC=52，CE=1，
∴AF=HE=CH−CE=52−1=32，
当点E在AC延长线上时，如图4，
同理可得：AF=HE=CH+CE=52+1=72；
综上：AF的长为32或72．
(1)证明△BDF≌OADE，可得BF=AE，从而证明AB=AF+AE；
(2)取AB中点G，连接DG，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF=AE，可得AG=12AB=AF+FG=AE+AF；
(3)分两种情况：当点E在线段AC上时或当点E在AC延长线上时，取AC的中点H，连接DH，同理证明△ADF≌△HDE，得到AF=HE，从而求解．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是适当添加辅助线，构造全等三角形，从而得到线段之间的关系．
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