沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题11 勾股定理章末素养评估卷-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题11 勾股定理章末素养评估卷-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2022·山东济南·八年级期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13B．14C．D．1
2．(本题4分)（2022·湖南·道县朝阳学校八年级阶段练习）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．4，5，6B．1，，2C．6，8，11D．5，12，23
3．(本题4分)(2023·天津四十三中九年级开学考试）点在平面直角坐标系中，则点到原点的距离是( )
A．2B．C．10D．5
4．(本题4分)(2023·山东烟台·七年级期中）下列各组数据是勾股数的是（ ）
A．，，B．4，5，6C．0.3，0.4，0.5D．9，40，41
5．(本题4分)（2022·福建宁德·八年级期末）现有四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按如图的方式组成图案，若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．4，6，8B．4，6，10C．4，8，10D．6，8，10
6．(本题4分)(2023·辽宁葫芦岛·八年级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，四边形ABCD的顶点都在格点上，则下面4条线段的长度为的是（ ）
A．AB B．BD C．BC D．DC
7．(本题4分)(2023·四川资阳·八年级期末）如图，点P表示的数是－1，点A表示的数是2，过点A作直线l垂直于PA，在直线l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，PB为半径画弧交数轴于点C，则点C所表示的数为（ ）．
A．B．C．D．
8．(本题4分)(2023·四川省荣县中学校九年级期中）如果的三边分别为，且满足，则的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．(本题4分)（2022·山东青岛·八年级期末）如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
10．(本题4分)（2022·四川眉山·八年级期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是（ ）
A．20B．27C．25D．49
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)(2023·陕西西安·八年级期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则∠BAC的度数为 ___°．
12．(本题5分)（2020·宁夏·海原县关桥中学八年级阶段练习）若一个三角形的三边分别是，，和，则该三角形是_____三角形．
13．(本题5分)(2023·四川·达州市第一中学校八年级期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______．
14．(本题5分)(2023·山东济宁·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点F，连接DF交AB于点E，连接AF，BF．当△BFD是直角三角形时，DE的长为 _______．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2022·江苏无锡·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
(1)若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
(2)若BC＝15，CD＝12，求AC的长．
16．(本题8分)(2023·广西河池·八年级期中）观察下列各组勾股数有哪些规律：
请解答：
（1）当时，求，的值；
（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
17．(本题8分)（2020·福建三明·八年级期中）如图，△ABC是边长为 6 的等边三角形，在平面直角坐标系中，边AB与 x 轴重合，点C在 x 轴上方， B点的坐标为（9， 0）．
求：（1）点A，C 的坐标；
（2）求△ABC的面积．
18．(本题10分)(2023·贵州六盘水·八年级阶段练习）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求：
（1）AB的长；
（2）△CDF的面积．
19．(本题8分)（2022·广东·东莞市光明中学九年级期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A'OB′．
(1)画出旋转后的图形，并写出点A′、B′的坐标；
(2)在x轴上求作一点P（注：不要求写出P点的坐标），使得PA′+PB′的值最小，并写出最小值为 ．
20．(本题12分)(2023·江苏·兴化市乐吾实验学校八年级阶段练习）如图，一根长10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地面的距离AO为8m，
（1）当梯子的顶端A下滑1m时，求梯子底端B向外滑行的距离？
（2）请判断在木棍滑动的过程中，中点P到点O的距离是否变化，并简述理由；
（3）求木棍滑动的过程中△AOB面积的最大值；
21．(本题12分)（2022·全国·八年级）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．
（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；
（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处；
（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处．
22．(本题14分)(2023·江苏盐城·八年级阶段练习）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：
（1）试说明；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．
23．(本题10分)(2023·广东·深圳市沙井中学八年级期中）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，可以证明我们学过的哪个定理，用字母表示：_________；
（2）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．
①请写出C、D两点的坐标；
②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．
3，4，5；
9，40，41；
5，12，13；
……
7，24，25；
，，．
专题11 勾股定理章末素养评估卷
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2022·山东济南·八年级期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13B．14C．D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据勾股定理，即可求得斜边长.
【详解】
由题意得，该直角三角形的斜边长为：
故选：A.
【点睛】
此题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理即可解题.
2．(本题4分)（2022·湖南·道县朝阳学校八年级阶段练习）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．4，5，6B．1，，2C．6，8，11D．5，12，23
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】
解：A、因为，所以不能作为直角三角形三边长度，故本选项不符合题意；
B、因为，所以能作为直角三角形三边长度，故本选项符合题意；
C、因为，所以不能作为直角三角形三边长度，故本选项不符合题意；
D、因为，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形是解题的关键．
3．(本题4分)(2023·天津四十三中九年级开学考试）点在平面直角坐标系中，则点到原点的距离是( )
A．2B．C．10D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
构造直角三角形，利用勾股定理直接求解．
【详解】
解：如图，由勾股定理得：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的计算，关键在于掌握好点到两个坐标轴的距离分别是多少．
4．(本题4分)(2023·山东烟台·七年级期中）下列各组数据是勾股数的是（ ）
A．，，B．4，5，6C．0.3，0.4，0.5D．9，40，41
【答案】D
【解析】
【分析】
根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解
【详解】
解：A、不是正整数，则，，不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、，则4，5，6不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、不是正整数，则0.3，0.4，0.5不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、，，则是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
5．(本题4分)（2022·福建宁德·八年级期末）现有四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按如图的方式组成图案，若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．4，6，8B．4，6，10C．4，8，10D．6，8，10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理，直角三角形中两直角边的平方等于斜边的平方，即2个小正方形的面积等于大正方形的面积，据此分析判断即可
【详解】
解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查了勾股定理，理解直角三角形中两直角边的平方等于斜边的平方是解题的关键．
6．(本题4分)(2023·辽宁葫芦岛·八年级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，四边形ABCD的顶点都在格点上，则下面4条线段的长度为的是（ ）
A．AB B．BD C．BC D．DC
【答案】A
【解析】
【分析】
利用勾股定理和网格分别求出四个选项线段的长度判断即可．
【详解】
解：由题意得：BC=3， ，，，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理与网格，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
7．(本题4分)(2023·四川资阳·八年级期末）如图，点P表示的数是－1，点A表示的数是2，过点A作直线l垂直于PA，在直线l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，PB为半径画弧交数轴于点C，则点C所表示的数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段PB的长度，然后根据PB=PC即可求出OC的长度，接着可以求出数轴上点C所表示的数．
【详解】
解：，
∴PB=PC，
∴，
∴点C的数为，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，首先正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
8．(本题4分)(2023·四川省荣县中学校九年级期中）如果的三边分别为，且满足，则的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
将原式整理得出，计算出，判断出为直角三角形，即可求出．
【详解】
解：，
，
，
，
又，
，
为直角三角形，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的非负性，勾股定理的逆运用，解题的关键是求出的值．
9．(本题4分)（2022·山东青岛·八年级期末）如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由勾股定理求出AB，设CD=x，则BD=4-x，根据求出x得到CD的长，利用面积求出答案．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴，
由折叠得AE=AB=5，DE=BD，
设CD=x，则BD=4-x，
在△DCE中，∠DCE=90°，CE=AE-AC=5-3=2，
∵，
∴，
解得x=1.5，
∴CD=1.5，
∴图中阴影部分的面积是，
故选：B．
【点睛】
此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
10．(本题4分)（2022·四川眉山·八年级期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是（ ）
A．20B．27C．25D．49
【答案】B
【解析】
【分析】
根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．
【详解】
解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2=GF2，
∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，
∴CG=KG=FN，CF=DG=KF，
∴S1=（CG+DG）2
=CG2+DG2+2CG•DG
=CG2+CF2+2CG•DG
=GF2+2CG•DG，
S2=GF2，
S3=（KF-NF）2，
=KF2+NF2-2KF•NF
=KF2+KG2-2DG•CG
=FG2-2CG•DG，
∵正方形EFGH的边长为3，
∴GF2=9，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+FG2-2CG•DG=3GF2=27，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质等知识，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=27是解题的关键．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)(2023·陕西西安·八年级期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则∠BAC的度数为 ___°．
【答案】90
【解析】
【分析】
根据勾股定理可以得到AC、AB、BC的长，然后根据勾股定理的逆定理即可判断出△ABC的形状，从而可以得到∠BAC的度数．
【详解】
解：由图可得，
AC=，AB=，BC=5，
∵AC2+AB2=（）2+（2）2=52=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
故答案为：90．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是会用股定理的逆定理判断三角形的形状．
12．(本题5分)（2020·宁夏·海原县关桥中学八年级阶段练习）若一个三角形的三边分别是，，和，则该三角形是_____三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】
根据勾股定理，直接判断三角形的形状，即可得到答案．
【详解】
∵()2+()2=()2，
∴该三角形是直角三角形．
故答案是：直角．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
13．(本题5分)(2023·四川·达州市第一中学校八年级期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______．
【答案】139
【解析】
【分析】
根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积，即可求解．
【详解】
如图，∵正方形、正方形的面积分别为25、144，
∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12
∴阴影部分的面积为169-×5×12=169-30=139
故答案为：139．
【点睛】
此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法．
14．(本题5分)(2023·山东济宁·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点F，连接DF交AB于点E，连接AF，BF．当△BFD是直角三角形时，DE的长为 _______．
【答案】或
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理及锐角三角函数可求解．
【详解】
解：如图1，当点E与点F重合时．
在Rt△ABC中，．
由翻折的性质可知；AE＝AC＝3，DC＝DE，∠ACD＝∠AFD＝90°，则EB＝2．
设DC＝ED＝x，则BD＝4﹣x．
在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+22＝（4﹣x）2．
解得：，
∴；
如图2所示：∠EDB＝90°时．
由翻折的性质可知：AC＝AF，∠C＝∠AFD＝90°．
∵∠C＝∠AFD＝∠CDF＝90°，
∴四边形ACDF为矩形．
又∵AC＝AF，
∴四边形ACDF为正方形．
∴DF＝3＝CD，
∴DB＝1，
∵，
∴，
∴；
当∠DBF＝90°时，
则，
∴AC与BF的距离为BC＝4，
又∵AC＝AF＝3＜4，
故∠DBE不可能为直角．
综上所述：DE的长为或．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，锐角三角函数等知识，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2022·江苏无锡·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
(1)若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
(2)若BC＝15，CD＝12，求AC的长．
【答案】(1)∠DCB＝20°
(2)AC＝12.5
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质，求出∠B，然后根据直角三角形中的互余关系求出∠DCB；
（2）利用勾股定理，用一个未知数表示出直角三角形的未知边长，解方程求出边长．
(1)
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°．
∴∠DCB＝90°－∠B＝20°；
(2)
在Rt△BCD中，BD＝＝＝9，
设AC＝AB＝x，则AD＝x－9，
∵在Rt△ACD中，＝，
∴＝，
解得x＝＝12.5，
∴AC＝12.5．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理去求边长．
16．(本题8分)(2023·广西河池·八年级期中）观察下列各组勾股数有哪些规律：
请解答：
（1）当时，求，的值；
（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【答案】（1），；（2）是勾股数，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）观察各组勾股数可得b+1=c，当时，再结合即可求解；
（2）只需求出，看结果是否等于即可求解．
【详解】
解：（1）由，，，得
．
解得，
（2）是勾股数，
理由如下：
又，
，
，220，221是勾股数．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是发现各组勾股数间的规律．
17．(本题8分)（2020·福建三明·八年级期中）如图，△ABC是边长为 6 的等边三角形，在平面直角坐标系中，边AB与 x 轴重合，点C在 x 轴上方， B点的坐标为（9， 0）．
求：（1）点A，C 的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）A（3，0），C（6,）；（2）△ABC的面积为．
【解析】
【分析】
（1）由B点坐标为（9,0）求OB=9，由等边三角形的边长为6知 AB=6 ，OA=OB-AB
过点C作CD垂直AB与点D，在Rt△ACD中，CD=，则C点坐标可求，
（2）S=×AB×CD计算即可．
【详解】
（1）∵B点坐标为（9,0）
∴OB=9，
又∵等边三角形的边长为6，即AB=6，
∴OA=3，
∴A（3,0），
过点C作CD垂直AB与点D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AD=AB=3，
∴OD=6，
在Rt△ACD中，CD=，
∴C（6,），
（2）S=×AB×CD=×6×=．
【点睛】
本题考查求等边三角形点的坐标与三角形的面积，掌握等边三角形的性质，会做高线，会利用高分得的直角三角形用勾股定理解决高CD，会用面积公式求面积．
18．(本题10分)(2023·贵州六盘水·八年级阶段练习）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求：
（1）AB的长；
（2）△CDF的面积．
【答案】（1）9；（2）54
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，然后再直角△BEF中利用勾股定理求出BE的长即可得到答案；
（2）由四边形ABCD是长方形，得到AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，由折叠的性质可得AD=DF，则BC=AD=DF，设CF=x，则BC=DF=x+3，由，得到，解方程即可得到答案．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，
∴，
∴AB=AE+BE=9；
（2）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，
由折叠的性质可得AD=DF，
∴BC=AD=DF，
设CF=x，则BC=DF=x+3，
∵，
∴，
解得，
∴CF=12，
∴
【点睛】
本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
19．(本题8分)（2022·广东·东莞市光明中学九年级期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A'OB′．
(1)画出旋转后的图形，并写出点A′、B′的坐标；
(2)在x轴上求作一点P（注：不要求写出P点的坐标），使得PA′+PB′的值最小，并写出最小值为 ．
【答案】(1)图见解析，A′（﹣2，3），B′（﹣3，1）
(2)图见解析，
【解析】
【分析】
（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
（2）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点，点即为所求．
(1)
如图，△A'OB′即为所求，A′（﹣2，3），B′（﹣3，1）；
(2)
如图，点P即为所求，最小值＝＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换，勾股定理，轴对称最短问题，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
20．(本题12分)(2023·江苏·兴化市乐吾实验学校八年级阶段练习）如图，一根长10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地面的距离AO为8m，
（1）当梯子的顶端A下滑1m时，求梯子底端B向外滑行的距离？
（2）请判断在木棍滑动的过程中，中点P到点O的距离是否变化，并简述理由；
（3）求木棍滑动的过程中△AOB面积的最大值；
【答案】（1）m；（2）不变，为5m；（3）25m2
【解析】
【分析】
（1）先利用勾股定理求解再画出下滑后的图形，再利用勾股定理求解从而可得答案；
（2）由为的中点，可得 旋转过程中始终有这个性质，可得点P到点O的距离不变；
（3）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时面积最大． 如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP， 故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大，从而可得答案.
【详解】
解：（1）由题意得：

如图，梯子的顶端A下滑1m时，则


所以梯子底端B向外滑行的距离为m.
（2）如图，连接
为的中点，

旋转后为的中点，而

所以点P到点O的距离不变为5；
（3）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时面积最大．
如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP，
故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大，
此时，S△AOB= AB•h=．
所以△AOB的最大面积为25m2．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练的应用勾股定理进行计算，理解当高与斜边上的中线相等时面积最大.
21．(本题12分)（2022·全国·八年级）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．
（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；
（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处；
（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处．
【答案】（1）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm；（2）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm；（3）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．
【解析】
【分析】
（1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC1的长即可得答案；
（2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC1的长，比较即可得答案；
（3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．
【详解】
（1）正方体的侧面展开图如图所示：AC1为蚂蚁需要爬行的最短路径长，
∵正方体的棱长为5cm，
∴AC=10，CC1=5，
∴AC1==cm．
∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．
（2）分两种情况：
①如图，当横向展开时：AC=10，CC1=6，
∴AC1==cm，
②如图，当竖向展开时：AD=11，DC1=5，
∴AC1==cm，
∵＜，
∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．
（3）圆柱侧面展开图如图所示：
∵圆柱底面周长为10cm，高为5cm，
∴BC=5，AB=5，
∴AC==cm，
∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．
【点睛】
本题考查立体图形的侧面展开图及勾股定理，熟记各立体图形的侧面展开图是解题关键．
22．(本题14分)(2023·江苏盐城·八年级阶段练习）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：
（1）试说明；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．
【答案】（1）证明见解析；（2）5cm
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．
【详解】
证明：（1）如图：
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1＝∠3，
由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，
∴△ADC≌△CEB；
（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，
∵∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），
∴每块砖厚度为5cm．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
23．(本题10分)(2023·广东·深圳市沙井中学八年级期中）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，可以证明我们学过的哪个定理，用字母表示：_________；
（2）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．
①请写出C、D两点的坐标；
②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．
【答案】（1）c2＝a2＋b2；（2）①C（0，），D（2，0）；②点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）．
【解析】
【分析】
（1）根据梯形的面积的两种表示方法即可证明；
（2）①设OC＝a，则AC＝4－a，根据勾股定理求出AB的长度，根据翻折的性质得到BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，然后在Rt△COD中，根据勾股定理列方程求解即可；
②根据等腰三角形的性质分四种情况讨论，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵S梯形ABCD＝2×ab＋c2
S梯形ABCD＝（a＋b）（a＋b）
∴2×ab＋c2＝（a＋b）（a＋b）
∴2ab＋c2＝a2＋2ab＋b2
∴c2＝a2＋b2．
（2）①设OC＝a，则AC＝4－a，又，
根据翻折可知：
BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，
OD＝BD－OB＝5－3＝2．
在Rt△COD中，根据勾股定理，得：，
即（4－a）2＝a2＋4，解得a＝．
∴C（0，），D（2，0）．
答：C、D两点的坐标为C（0，），D（2，0）．
②如图：
当点M在x轴正半轴上时，当CM＝DM，
设CM＝DM＝x，
在中，根据勾股定理得：，
则x2＝（2－x）2＋（）2，解得x＝，
∴2－x＝，
∴M（，0）；
当CD＝MD，＝4－＝，2＋＝，
∴M（，0）；
当点M在x轴负半轴上时，当CM＝CD，
∵，
∴OM＝OD＝2，
∴M（－2，0）；
当DC＝DM，＝4－＝，
∴OM＝－2＝，
∴M（－，0）．
答：符合条件的所有点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的综合题，解决本题的关键是分情况讨论思想的运用．
3，4，5；
9，40，41；
5，12，13；
……
7，24，25；
，，．