+安徽省安庆市二十校联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份+安徽省安庆市二十校联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180°后得到的图案( )
A.
B.
C.
D.
2.二次函数y=(x+3)2−5的顶点坐标是( )
A. (3,−5)B. (−3,−5)C. (−3,5)D. (3,5)
3.下列说法正确的是( )
A. 对应角相等的多边形是相似多边形B. 对应边成比例的四边形是相似四边形
C. 相似三角形的对应高的比等于相似比D. 相似三角形的面积比等于相似比
4.如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC=142°，点B是AC的中点，则∠D的度数是( )
A. 70°
B. 55°
C. 35.5°
D. 35°
5.已知ab=52，则ba−b=( )
A. −27B. 27C. 23D. −23
6.如图，点A在双曲线y=6x上，点B在双曲线y=kx上，AB/​/x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AB=2OD，则k的值为( )
A. 6
B. 12
C. 8
D. 18
7.如图，AB是半圆⊙O的直径，弦AD、BC相交于点P，那么=CDAB( )
A. sin∠BPD
B. cs∠BPD
C. tan∠BPD
D. 以上都不对
8.已知AB=4，点C在线段AB上，AC是AB，BC的比例中项，则AC的长( )
A. 5−1B. 2 5−2C. 3− 5D. 6−2 3
9.王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地( )
A. 50 3m
B. 100m
C. 150m
D. 100 3m
10.如图△ABC的边上有D，E，F三点，若∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE=∠C，BE=7，EF=4，FC=5，则四边形ADEF与△ABC的面积之比为( )
A. 1：3B. 1：4C. 2：5D. 3：8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.如图，∠ADE=∠B，AD：DB=2：1，那么△ADE与△ABC的相似比为______．
12.设⊙O的半径为6cm，点P在直线l上，已知OP=6cm，那么直线l与⊙O的位置关系是______．
13.已知抛物线y=x2−4x+3.当3≤x≤4时，则该二次函数的最小值为______．
14.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,0).P是第一象限内任意一点，连接PO，PA.若∠POA=m°，∠PAO=n°，则我们把P(m°,n°)叫做点P的“角坐标”．
(1)若点P的坐标为(2,2 3)，则点P的“角坐标”为______；
(2)若点P到x轴的距离为1，则m+n的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
2cs30°+ 2sin45°−tan60°．
16.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，给出了格点，△ABC(顶点均在正方形网格的格点上)，已知点A的坐标为(2,3)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，并且点A2的坐标为(4,−6)；
(3)仅用无刻度直尺做出△ABC的中线AD，保留作图痕迹．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠BDC=45°，BD=10 2，AB=20.求sinA的值．
18.(本小题8分)
在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
(1)求证：△ABF～△FCE；
(2)若AB=2 3，AD=4，求EC的长．
19.(本小题10分)
已知二次函数y=ax2+bx+c中函数y与自变量x的部分对应值如表：
根据表格填空：
(1)该函数图象的开口方向______，对称轴为______；
(2)方程ax2+bx+c=0的正根x的范围为______；
(3)不等式ax2+bx+c>21解集是______．
20.(本小题10分)
某大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元(x为正整数)，每分钟的销售量为y袋．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)当获得利润为4000元时，降价多少元？
(3)设每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
21.(本小题12分)
如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i=1： 3，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
(1)求D到BC的距离；
(2)求古塔AB的高度.(结果保留根号)
22.(本小题12分)
已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
23.(本小题14分)
如图，抛物线y=ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点且AB=4，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一点M，连接CM，以M为旋转中心顺时针旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在抛物线上，求点M坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意；
故选：D．
根据旋转的性质可进行求解．
本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵抛物线解析式为y=(x+3)2−5，
∴二次函数图象的顶点坐标是(−3,−5)．
故选：B．
根据顶点式可直接写出顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．
3.【答案】C
【解析】解：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，故A，B错误不符合题意，
C.相似三角形的对应高的比等于相似比，故该选项正确，符合题意；
D.相似三角形的面积比等于相似比平方，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
相似三角形对应边的比相等、应面积的比等于相似比的平方，根据以上知识逐项分析判断即可求解．
本题考查了相似多边形的判定，相似三角形性质，关键是相似三角形性质定理的应用．
4.【答案】C
【解析】解：如图，连接OB，
∵点B是AC的中点，
∴∠AOB=∠COB=12∠AOC，
∵∠AOC=142°，
∴∠AOB=12×142°=71°，
由圆周角定理得：∠D=12∠AOB=35.5°，
故选：C．
连接OB，根据圆心角、弧、弦的关系的关系定理求出∠AOB，再根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系的关系定理、圆周角定理，熟记同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵ab=52，
∴a−bb=5−22=32，
∴ba−b=23．
故选：C．
先利用分比性质得到a−bb=32，然后利用内项之积等于外项之积求解．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质)是解决问题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，
∵AB/​/x轴，AF⊥y轴，
∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，
∴AF=OD，BF=OE，
∴AB=DE，
∵点A在双曲线y=6x上，
∴S矩形AFOD=6，同理S矩形OEBF=k，
∵AB=2OD，
∴DE=2OD，
∴S矩形OEBF=3S矩形AFOD=18，
∴k=18，
故选：D．
过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得到四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，所以S矩形AFOD=6，S矩形OEBF=k，由AB=2OD，得到DE=2OD，由此得到S矩形OEBF=3S矩形AFOD=18，根据反比例函数系数k的几何意义求出答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作辅助线，构建矩形是解答本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由图知，∠C=∠A，∠B=∠D
∴△PCD∽△PAB．
∴CDAB=PDPB．
连接BD，则∠PDB=90°，
∴cs∠BPD=PDPB=CDAB．
故选：B．
由图，可证△PCD∽△PAB，得CDAB=PDPB.连接BD，则∠PDB=90°，得cs∠BPD=PDPB=CDAB．
本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数；添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设AC=x，则BC=4−x，
∵AC是AB，BC的比例中项，
∴AC2=AB⋅BC，
即x2=4(4−x)，
解得：x=−2±2 5，
∵AC>0，
∴AC=2 5−2．
故选：B．
首先设AC=x，由线段AB=4，可求得BC的值，又由AC是BC与AB的比例中项，列方程即可求得线段AC的长．
此题考查了比例中项的定义，掌握比例中项的概念是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：AD=AB⋅sin60°=50 3；
BD=AB⋅cs60°=50，∴CD=150．
∴AC= (50 3)2+1502=100 3．
故选D．
根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．
解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
10.【答案】D
【解析】解：∵BE=7，EF=4，FC=5，
∴BC=16，
∵∠C=∠C，∠CAF=∠B，
∴△CAF∽△CBA，
∴CACB=CFCA，
∴CA2=CF⋅CB，
∴CA2=5×16=80，
∴AC=4 5(负值舍去)，
∴ACCB=4 516= 54，
∴S△ACF：S△ACB=5：16，
同理可证△BDE∽△BCA，
∵BD=AC，
∴BDBC= 54，
∴S△BDE：S△ABC=5：16，
∴S四边形ADEF：S△ABC=(16−5−5)：16=3：8，
故选：D．
证明△CAF∽△CBA，再利用相似三角形的性质求出AC=4 5，得出S△ACF：S△ACB=5：16，再证明△BDE∽△BCA，求出S△BDE：S△ABC=5：16，即可求出答案．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
11.【答案】2：3
【解析】解：∵∠ADE=∠B，
∴DE/​/BC，
∵AD：DB=2：1，
∴△ADE∽△ABC，AD：AB=2：3，
∴△ADE与△ABC的相似比为2：3，
故答案为：2：3．
只需要求出AD：AB的值即可得到答案．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，求出AD：AB的值是解题的关键．
12.【答案】相切或相交
【解析】解：∵r=6cm，OP=6cm，
∴r=OP，
∵点P在直线l上，OP=6cm，
∴点O到直线l的距离≤6cm，
∴直线l与⊙O相切或相交，
故答案为：相切或相交．
由条件可知点P在⊙O上，则可知直线l与⊙O相切，可求得答案．
本题主要考查直线与圆的位置关系，由条件判断出点P在圆上是解题的关键．
13.【答案】0
【解析】解：抛物线y=x2−4x+3中，a=1，b=−4，c=3，
∴抛物线y=x2−4x+3关于x=−b2a=−−42×1=2对称，
∴抛物线y=x2−4x+3在3≤x≤4上，y随x的增大而增大，
∴当x=3时，y有最小值，即最小值为：32−4×3+3=0，
故答案为：0．
根据题意求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性即可求出当3≤x≤4时的最小值．
本题考查的是二次函数的性质及二次函数的最值，熟知二次函数的增减性是解题的关键．
14.【答案】(60°,90°) 90
【解析】解：(1)∵点P的坐标为(2,2 3)，点A的坐标为(2,0)．
∴PA//y轴，
∴∠PAO=n=90°，
tan∠POA=2 32= 3，
∴∠POA=m=60°，
∴P的“角坐标”为(60°,90°)，
故答案为：(60°,90°)，
(2)设直线y=1与⊙M相切于点P，则MP垂直于直线y=1，如图，
根据三角形内角和定理可知，要使得m+n取得最小值，则需∠OPA取得最大值．
∵点P到x轴的距离为1，而PM为半径，
∴PM=1，
∵点A的坐标为(2,0)，
∴OM=1，
∴∠OPA为以OA为直径的圆的一个圆周角，
∴∠OPA=90°．
在直线y=1上任取一点不同于点P的一点P′，连接OP′，交⊙M于点Q，连接AQ，
则∠AQO=90°>∠AP′O，
∴∠OPA>∠AP′O，
∴∠OPA的最大值为90°，
∴m+n的最小值为90．
故答案为：90．
(1)在平面直角坐标系中作出以OA为直径的⊙M，根据P点的坐标求出m、n角即可；
(2)设直线y=1与⊙M相切于点P，则MP垂直于直线y=1，由题意可作出以OA为直径的⊙M，根据已知条件及圆的相关知识可得答案．
本题考查了坐标与图形的相关性质，明确圆的相关性质、三角形的内角和及外角性质等知识点是解题的关键．
15.【答案】解：原式=2× 32+ 2× 22− 3
=1．
【解析】将特殊角的三角函数值带入求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
16.【答案】解：(1)如图1所示：△A1B1C1，即为所求；

(2)如图1所示：△A2B2C2，即为所求；
(3)如图2，AD为所作．

【解析】(1)根据轴对称的性质作出图形即可；
(2)利用点A和A2的坐标特征得到位似比，再把B、C的横纵坐标都乘以2得到B2、C2的坐标，然后描点即可；
(3)取格点M，连接AM与BC相交于点D，则AD即为所求作的中线．
此题主要考查了作图−位似变换以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
17.【答案】解：在直角三角形BDC中，∠BDC=45°，BD=10 2，
∴BC=BD⋅sin∠BDC=10 2× 22=10．
在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=20，
∴sinA=BCAB=1020=12．
【解析】首先在直角三角形BDC中，利用BD的长和∠BDC=45°求得线段BC的长，然后在直角三角形ABC中利用正弦函数的定义求得sinA的值即可．
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数，属于基础题，比较简单．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
又△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴∠D=∠AFE=90°，
∵∠BAF+∠AFB=90°，∠EFC+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴△ABF∽△FCE；
(2)解：∵AB=2 3，AD=4，
∴BC=AD=AF=4，
在Rt△ABF中，
BF= AF2−AB2= 16−12=2，
∴CF=BC−BF=4−2=2，
根据(1)中的结论△ABF∽△FCE，
∴ABFC=BFCE，即2 32=2CE，
解得CE=2 33，
故EC长为2 33．
【解析】(1)根据矩形的性质得到∠B=∠C=∠D=90°，根据翻折变换的性质得到∠D=∠AFE=90°，结合图形利用角之间的互余关系推出∠BAF=∠EFC，从而根据相似三角形的判定定理证明即可；
(2)根据矩形的性质及翻折变换的性质推出BC=AD=AF=4，从而利用勾股定理求得BF=2，进而结合线段之间的和差关系利用相似三角形的性质进行求解即可．
本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质及翻折变换(折叠问题)，解题的关键是利用翻折的性质得出∠D=∠AFE=90°，AD=AF，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找边之间的关系．
19.【答案】向下 直线x=1 3【解析】解：(1)由表格可得，
该函数的对称轴是直线x=−1+32=1，开口方向向下，
故答案为：向下，直线x=1；
(2)由函数的对称性可知方程ax2+bx+c=0的正根的范围为3故答案为：3(3)由函数的对称性可得，当021，
故不等式ax2+bx+c>21解集是0故答案为：0(1)根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该函数图象的开口方向、对称轴；
(2)根据表格中的数据和二次函数的对称性，可以得到方程ax2+bx+c=0的正根的范围为3(3)根据表格中的数据和二次函数的对称性，可以得到不等式ax2+bx+c>21解集是0本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式(组)，一元二次方程的近似根，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20.【答案】解：(1)根据题意得：y=100+5(80−x)=500−5x；
∴y与x的函数关系式为y=−5x+500；
(2)(x−40)(−5x+500)=−5(x−70)2+4500=4000，
解得：x1=60，x2=80(不合题意，舍去)；
∴降价为：80−60=20(元)，80−80=0(元)，
答：当获得利润为4000元时，降价20元；
(3)根据题意得：w=(x−40)y=(x−40)(−5x+500)=−5(x−70)2+4500，
∵−5<0，
∴当x=70时，w取最大值4500，
∴当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元；
【解析】(1)根据销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋可得：y=100+5(80−x)=500−5x；
(2)利用利润=售价×销量列出一元二次方程(x−40)(−5x+500)=4000，解答即可得解；
(3)根据题意可得：w=(x−40)y=(x−40)(−5x+500)=−5(x−70)2+4500，由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
21.【答案】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH=BF，BH=DF，
∵斜坡的斜面坡度i=1： 3，
∴DFCF=1 3，
设DF=xm，CF= 3x m，
∴CD= DF2+CF2=2x=20(m)，
∴x=10，
∴DF=10m，
答：D到BC的距离为10m；
(2)由(1)知，BH=DF=10m，
∴CF=10 3m，
∴DH=BF=(10 3+30)m，
∵∠ADH=30°，
∴AH= 33DH= 33×(10 3+30)=(10+10 3)m，
∴AB=AH+BH=(20+10 3)m，
答：古塔AB的高度是(20+10 3)m．
【解析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，于是得到DH=BF，BH=DF，设DF=xm，CF= 3x m，根据勾股定理即可得到结论；
(2)由(1)知，BH=DF=10m，于是得到CF=10 3m，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：如图，连结OA，
∵∠AEC=30°，
∴∠B=∠AEC=30°，∠AOC=2∠AEC=60°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠B=30°，
∴∠OAD=180°−∠AOC−∠D=90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴直线AD是⊙O的切线．
(2)解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M，
∴AM=EM，
∵∠AMO=90°，∠AOM=60°，
∴∠OAM=30°，
∴OM=12OA=12×10=5，
∴AM= OA2−OM2= 102−52=5 3，
∴AE=2AM=2×5 3=10 3．
【解析】(1)连结OA，由圆周角定理可求得∠B=∠AEC=30°，∠AOC=2∠AEC=60°，则∠OAD=90°，可证明直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM=EM，在Rt△AOM中，∠AMO=90°，∠AOM=60°，则∠OAM=30°，已知⊙O的半径OA=6，则OM=12OA=3，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出AE的长．
此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大．
23.【答案】解：(1)抛物线对称轴为直线x=−2a2a=−1，
∵AB=4，
∴A(−3,0)，B(1,0)，
把A(−3,0)，C(0,−3)代入y=ax2+2ax+c得：
9a−6a+c=0c=−3，
解得a=1c=−3，
∴抛物线对称轴为直线x=−1，解析式为y=x2+2x−3；
(2)过M作KT//x轴交y轴于K，过C′作C′T⊥KT于T，如图：

设M(−1,m)，
∵C(0,−3)，
∴MK=1，CK=m+3，
∵∠TMC′=90°−∠KMC=∠KCM，∠MTC′=90°=∠MKC，CM=C′M，
∴△C′TM≌△MKC(AAS)，
∴C′T=MK=1，TM=CK=m+3，
∴C′(−m−4,m−1)，
把C′(−m−4,m−1)代入y=x2+2x−3得：
m−1=(−m−4)2+2(−m−4)−3，
解得m=−2或m=−3，
∴M(−1,−2)或(−1,−3)．
【解析】(1)由公式可得抛物线对称轴为直线x=−2a2a=−1，又AB=4，可得A(−3,0)，B(1,0)，再用待定系数法即得抛物线解析式为y=x2+2x−3；
(2)过M作KT//x轴交y轴于K，过C′作C′T⊥KT于T′，设M(−1,m)，得MK=1，CK=m+3，证明△C′TM≌△MKC(AAS)，有C′T=MK=1，TM=CK=m+3，可得C′(−m−4,m−1)，代入y=x2+2x−3知m−1=(−m−4)2+2(−m−4)−3，即可解得M(−1,−2)或(−1,−3)．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法确定函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．x
…
−3
−2
−1
0
3
…
y
…
−11
9
21
9
…