二轮复习【数列专题】专题2数列的最大项与最小项微点1判断数列的最大（小）项之邻项比较法

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微点1 判断数列的最大（小）项之邻项比较法
【微点综述】
在数列中，若存在，对任意的，都有恒成立，则称为数列中的最大项；若存在，对任意的，都有恒成立，则称为数列中的最小项．求一个数列的最大、最小项的方法主要是判断数列的单调性，而判断数列单调性的基本方法是比较法，本文我们举例说明如何利用比较法求数列的最大、最小项．
【典例刨析】
由数列最大项、最小项的定义可知，
（1）若（非首项、末项）为数列的最小项，则有；
（2）若（非首项、末项）为数列的最大项，则有；
（3）若数列各项为正数，且（非首项、末项）为数列的最小项，则有；
（4）若数列各项为正数，且（非首项、末项）为数列的最大项，则有
一、判断数列最大（小）项的存在性
1．已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)× (n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
二、求数列中的最大（小）项
2．知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项．
3．已知数列满足，若恒成立，则实数k的最小值为 ．
4．已知数列的首项，且，如果是单调递增数列，则实数的取值范围是 ．
5．已知数列的通项公式．当取得最大值时，的值为
A．B．C．D．
6．已知数列的通项公式为，问是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．
【针对训练】
7．若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是（ ）
A．第43项B．第44项C．第45项D．第46项
8．已知数列满足，则当取得最小值时的值为（ ）
A．2024B．2023或2022C．2022D．2022或2021
9．在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
10．数列满足，记，若对任意的 恒成立，则正整数的最小值为 ．
11．若数列中的最大项是第项，则 ．
12．已知数列的通项，是数列的前项的积，当取到最大值时，的值为 ；当取到最小值时，的值为 ．
13．已知数列的通项，问：数列是否有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由．
14．设函数，数列满足，．
(1)求的通项公式．
(2)求中值最小的项．
15．已知数列满足，其中，．若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
16．已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足．
(1)证明：数列成等差数列．
(2)求数列的前n项和．
(3)若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
1．数列{an}有最大项a5或a6，且a5＝a6＝.
【分析】法一：作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性，可得结论．
法二：作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性，由此可得结论．
法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则建立不等式组，解之可得结论.
【详解】法一：作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．
an＋1－an＝(n＋3)×－(n＋2)×＝.
当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，
所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝.
法二：作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．
＝＝.又an＞0，
令＞1，解得n＜5；令＝1，解得n＝5；令＜1，解得n＞5.
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞…，
所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝.
法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则
即解得即5≤n≤6.
故数列{an}有最大项a5或a6，且a5＝a6＝.
【点睛】方法点睛：求数列最大项或最小项的方法
（1）可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式找到数列的最小项．
（2）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项．
2．4
【分析】利用作差法比较判断数列的单调性，再找出其最大项即可.
【详解】解法一：∵，
∴当时，；当时，，
即，故数列的最大项为第4项．
解法二：设数列中的最大项为，则
即解得．
∵，∴．故数列的最大项为第4项．
【点睛】思路点睛：（1）利用数列的单调性求最大项或最小项；
（2）求数列中的最大项，只需满足求数列中的最小项，只需满足
3．##1.5
【分析】利用差比法判断数列的单调性，结合单调性进行求解即可.
【详解】∵，
∴数列为单调递减数列，．从而，
即k的最小值为．
故答案为：
4．(，)
【详解】因为，所以，两式作差得，
数列中，奇数项和偶数项分别为公差等于2的等差数列，又由条件可得，，若数列为递增数列，则只需，解得.故填(，).
点睛：本题也可利用数列的通项公式求解，由题的解法可知数列和数列分别为等差数列，可分别求出其通项公式，然后根据求解，注意分类讨论，即当n为奇（偶）数时，为偶（奇）数.
5．C
【详解】由的通项公式得当时，是递增的，当时，是递减的，且，
所以，，，，，，且，，当时，，
记为，
则，
，，，
当时，，
故当取得最大值时，的值为9
故选：C
6．存在，
【分析】假设题中不等式恒成立，再分离参数，得到与的不等式关系，再判断出新数列的单调性，即可求出新数列的取值范围，最后得出的取值范围．
【详解】假设存在正整数，使得对一切恒成立，则
对一切恒成立，
令，，易知，
则，
∴是递增数列，即，∴．故．
7．C
【分析】设，化简得到，结合基本不等式，求得当时， 取得最大值，再根据数列的通项公式和，即可求解.
【详解】根据题意，设，则，
因为，当且仅当时，等号成立，
则当时，取得最小值，此时取得最大值，
对于数列，其通项公式为，
又由，则有，
所以数列中最大项为第项.
故选：C.
8．D
【分析】考虑的倒数，由，可得出数列的单调性，即可求出答案．
【详解】令，则，
当时，，单调递减，单调递增；
当时，，单调递增，单调递减；
当时，，即；
故当或时，取得最小值，最小值为，
故选：D．
9．B
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.
10．10
【分析】先求出数列的通项公式，化简得到数列为递减数列，求得数列的最大项为，得到，即可求解.
【详解】由题意，数列满足，所以，
所以数列是以4为公差，以1为首项的等差数列，
可得，所以，
令
所以数列为递减数列，
所以数列的最大项为，
因为，解得，
又由为正整数，所以，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的恒成立问题的求解，其中解答中利用数列的递推公式求得数列的通项公式，结合数列的单调性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
11．4
【分析】根据题意，令，利用作商法比较相邻项的大小关系来判断数列的单调性，进而求解.
【详解】令，则，
∴．
令，则，即，
∴当时，；当时，．故．
故答案为：.
12． 8 9
【分析】由得，再根据求解即可；
【详解】由可得当为偶数时，当为奇数时，
由得，
所以，当时，，当时，，当时，
所以，，当时，单调递增；当时，单调递减；
因为，，
所以，最大，此时；最小，此时．
故答案为：；
13．有最大项，其项数为9或10.
【分析】利用差比法，结合数列中最大项的性质、指数的运算性质进行判断即可.
【详解】由已知可得．
同理．
由且可得．
∴或10，即，
∴，均为最大项．
14．(1)；
(2).
【分析】（1）根据对数的运算性质，通过解方程进行求解即可；
（2）根据商比法，结合不等式的性质判断数列的单调性，利用单调性进行求解即可.
【详解】（1）由已知得．
∵，
∴，即，解得．
（2）∵，
又，∴，故是递增数列．从而最小项为．
15．
【分析】根据数列的递推关系式可得的奇数项和偶数项都是首项为1，公差为的等差数列，即可得的通项公式，根据对任意的恒成立，可得，且恒成立，即可根据数列单调性求得数的取值范围.
【详解】解：由，得，又，
则的奇数项和偶数项都是首项为1，公差为的等差数列．
所以当为奇数时，，即，
当为偶数时，，即，
所以，
∵对任意恒成立，
∴恒成立．
同时恒成立，
整理得且，对任意的恒成立，
当时，；当时，．∴即可．
当时，恒成立．由得．
当时，，∴即可．
综上可知，实数的取值范围是．
16．(1)证明见详解
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意得，利用等差数列的定义即可证明；
（2）直接利用错位相减法求解即可；
（3）确定数列的单调性，确定其最大值，即可求得实数m的取值范围．
【详解】（1）证明：由题意知，．
∵，∴，，
∴，
∴数列是首项，公差的等差数列.．
（2）解：由（1）可得，则，．
∴，
于是，
两式相减得：
，
∴．
（3）解：∵，．
∴当时，．当时，，即．
∴当或2时，取最大值．
又对一切正整数n恒成立，∴，
即，得或．