河南省洛阳市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份河南省洛阳市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．2023年9月，第19届亚运会在杭州举行．如图所示是以往四届亚运会会徽设计的部分图案，其中是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
2．“洛阳牡丹甲天下”，某品种的牡丹花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为( )
A．B．C．D．
3．如图，为估计湖岸边、两点之间的距离，小洛在湖的一侧选取一点．测得米，米，则、间的距离可能是( )
A．50米B．70米C．200米D．250米
4．已知，下列计算正确的是( )
A．B．C．D．
5．若点的坐标是，点的坐标是，则与满足( )
A．关于轴对称B．关于轴对称C．轴D．轴
6．已知分式有意义，则满足的条件是( )
A．B．C．D．任何实数
7．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图2中，的大小是( )
A．B．C．D．
8．位于高新区的火炬大桥是洛阳市区目前最靠西的一座跨洛河桥，也是洛阳市宽度最宽、承重能力最强、单孔跨度最大、配建立交规模最大的桥梁，其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是( )
A．B．C．D．
9．如图1，将边长为的正方形纸片，剪去一个边长为的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是( )

A．B．
C．D．
10．某工厂要加工个零件，甲队单独完成需小时，乙队单独完成比甲队少用3小时，则两队一起加工这批零件需要( )小时．
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算： ．
12．分解因式：x2（x﹣3）﹣x+3＝ ．
13．回顾尺规作图法中作一个角等于已知角的过程不难发现，实质上是我们首先作一个三角形与另一个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等完成的．那么两个三角形全等的理论依据是 ．

14．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，且，则 ．

15．如图，在锐角三角形中，，．的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题
16．（1）计算：
（2）解方程：
17．先化简，再求值：，其中，．
18．已知，在中，，．
请根据要求完成以下任务：
(1)利用直尺和圆规，作的角平分线交于点，作的垂直平分线，垂足为，与交于点；
(2)求的度数．
19．如图，点，，，在同一条直线，，．有下列三个条件：①，②，③．
(1)请在上述三个条件中只选取其中一个，使得，写出你选的条件并证明；
(2)求证：．
20．在四边形中，．，点、分别在边、上，且平分．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
21．为深入学习二十大重要讲话精神，落实立德树人根本任务，某中学开展了以“品红色文化”为主题的研学活动．现去中共洛阳组诞生地纪念馆有两条路线可供选择，路线A的全程是27千米，但交通比较拥堵，路线B比路线A的全程多6千米，但平均车速比走路线A时能提高．若走路线B能比走路线A少用10分钟．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少？
22．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，求的值．
解：，
，即．
又，
，
得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则______；
(2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，（）它们面积和为，边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积．
23．（1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，连接、，延长交于点，求证：，；
（2）类比探究：如图2，和都是等腰直角三角形，即，，，则与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）问题解决：若和都是等腰三角形，且，，，请直接写出线段和的数量关系及它们所在直线的夹角．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答．
【详解】A、B、C选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形；
D选项，沿着如图所示的虚线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故它是轴对称图形．
故选：D
2．C
【分析】此题考查了科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数移动的位数相同，确定，即可．
【详解】解：，
故选C．
3．C
【分析】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．已知两边确定第三边的范围时，第三边的长大于已知两边的差，且小于已知两边的和．根据三角形的三边关系确定的范围，据此即可判断．
【详解】解：∵，
则，即．
则符合条件的只有C．
故选C．
4．D
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘除法，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项法则求解即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选D．
5．A
【分析】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解题的关键．根据两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可知两点关于轴对称即可．
【详解】解：∵点的坐标是，点的坐标是，
∴点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴这两个点关于轴对称，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分母不为0是解本题的关键．
【详解】解：∵分式有意义，而，
∴满足的条件是：为全体实数；
故选D
7．C
【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形内角和及等腰三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 根据正多边形的性质可求出，根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用角的和差可得答案．
【详解】解：∵是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
8．A
【分析】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，并能结合已知条件选取合适的方法是解题关键．根据已知条件可得，，结合全等三角形的判定方法依次对各个选项判断．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴若添加，无法证明，A选项符合题意；
若添加，可利用证明，B选项不符合题意；
若添加，可借助证明，C选项不符合题意；
若添加，可借助证明，D选项不符合题意；
故选：A．
9．B
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键．根据图1和图2分别用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论．
【详解】解：图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即，
图2是由（1）（2）两部分拼成的底为，高为的平行四边形，因此面积为，
因此有，
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的除法运算的应用，解题的关键是熟悉工作总量、工作时间和工作效率之间的关系．由工作总量“1”除以工作效率即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
，
故选B．
11．//1.5
【分析】本题考查零次幂，负整数指数幂．根据零次幂和负整数指数幂分别计算即可解答．
【详解】．
故答案为：
12．．
【分析】先提公因式，再根据平方差公式即可解答本题．
【详解】解：
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．分解的式子的结果一般要分解到不能再分解为止．
13．/边边边
【分析】根据作图过程可知，两个三角形的三条边对应相等，即可得出结果．
【详解】解：如图，由作图可知：

，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法．熟练掌握证明两个三角形全等．是解题的关键．
14．/20度
【分析】本题考查平行公理的推理，平行线的性质．
过点C作，则，由平行公理的推论得到，从而，再根据即可求解．
【详解】过点C作，

∴
∵，，
∴，
∴，
∵．
故答案为：
15．5
【分析】此题考查轴对称的性质，的直角三角形的性质， 过作于，作关于的对称点，连接，证明在上，当，，共线，且垂直时，最短，即，在上，即的长，进一步可得答案．
【详解】解：过作于，作关于的对称点，连接，
∵平分，
∴在上，
∴，
当，，共线，且垂直时，最短，
即，在上，即的长，
，，
，
∴的最小值是5．
故答案为： 5
16．（1）；（2）
【分析】本题考查的是整式的混合运算，分式方程的解法，掌握多项式的乘法的运算法则与解分式方程的步骤是解本题的关键；
（1）利用乘法公式与多项式的乘法运算法则先计算乘法运算，再合并同类项即可；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
去分母得：，
去括号得：，
∴，
解得：；
经检验：是原方程的根，
∴原方程的根为．
17．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则先化简原式，然后将，代入化简后的式子求值即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
18．(1)画图见解析
(2)
【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，作线段的垂直平分线，三角形的内角和定理的应用，熟练的作图是解本题的关键；
（1）根据作已知角平分线的方法作的平分线即可，再结合，作的垂直平分线即可；
（2）由等腰三角形的性质先求解，再求解，，再利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，射线，直线即为所求；
．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
19．(1)选③，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）由，，再选择两边所夹的角相等，再证明全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再证明两直线平行即可．
【详解】（1）解：选择③，
在与中，
，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解本题的关键；
（1）过点A作于点G，根据角平分线性质结合题意得，再根据全等三角形的性质证明即可；
（2）先证出，结合，再根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，过作于，
平分，，
．
，
，
又∵，
；
∴平分；
（2）在和中，
，
，
，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．走路线A的平均速度是30千米/时，走路线B的平均速度是45千米/时
【分析】本题考查分式方程解决实际问题．
设走路线A的平均速度为x千米/时，则走路线B的平均速度为千米/时，走路线A需用时小时，走路线B需用时小时，根据“走路线B能比走路线A少用10分钟”即可列出方程，求解并检验即可解答．
【详解】设走路线A的平均速度为x千米/时，则走路线B的平均速度为千米/时．根据题意，得
，
解得：，
经检验，是该分式方程的解．
∴．
答：走路线A的平均速度是30千米/时，走路线B的平均速度是45千米/时．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查的是完全平方公式变形的应用，掌握、、、、之间的关系是解题的关键．
（1）由可得，再代入可得答案；
（2）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由已知条件得，，同理可求，由，可求得，从而可求得，由，即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）设大正方形的边长为，正方形的边长为，面积和为，边长和为，
，，
，
，
解得：，
，
，
②，
由①②解得：，
．
23．（1）证明见解析，（2），；（3），它们所在直线的夹角为
【分析】（1）由等边三角形的性质证明，可得，，再利用三角形的内角和定理可得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质证明，可得，，再利用三角形的内角和定理可得结论；
（3）由等腰三角形的性质证明，可得，，再利用三角形的内角和定理可得结论；
【详解】证明：（1）和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
记，的交点为，则，
∴．
（2）和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
记，的交点为，则，
∴，
∴．
（3）如图，
∵，，，
∴∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
延长，相交于，
∵，
∴，
即和所在直线的夹角为；
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用类比的方法进行证明是解本题的关键．