山西省忻州地区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山西省忻州地区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图像分布在第一、三象限
B．点在函数图像上
C．y随x的增大而增大
D．若点和在该函数图像上，则
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是的中点．若∠D＝110°，则∠AEB的度数是( )
A．30°B．35°C．50D．55°
5．在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球的个数约为（ ）
A．8B．14C．17D．20
6．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，在、上分别找点M，N，使得，，测量出的长为，由此可知A、B间的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的有①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a＞b；④（a+c）2＜b2；⑤a﹣2b+4c＞0．（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ．
12．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是 ．
13．如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，则河宽AB为 .

14．如图，A，B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，平行于y轴，平行于x轴，则的面积为 ．
15．如图，在中，，，．点D为边的中点，以点D为圆心，长为直径画半圆，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
三、解答题
16．解下列方程：
(1)；
(2)．
17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．

(1)将绕点顺时针旋转得到，请画出．
(2)以点为位似中心，将在点异侧按位似比进行放大得到，请画出．
18．垃圾分类工作是今年全国住房和城乡建设工作会议部署的重点工作之一．为营造人人参与垃圾分类的良好氛围，某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时尚”宣传活动，决定从A，B，C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区进行垃圾分类知识宣讲，抽签规则：将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面，把三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．
(1)从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是 ；
(2)按照抽签规则，请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者同时被抽中的概率．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于两点，一次函数的图像与y轴交于点C．
(1)求一次函数的解析式：
(2)根据函数的图像，直接写出不等式的解集；
(3)点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
20．（1）如图，是的直径，与交于点F，点E在上，连接、， ，求证： ；从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论（填写序号），并完成证明过程；
（2）在（1）的前提下，若，，求的长．
21．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
(1)求的长．
(2)求灯泡到地面的高度．
22．阅读下列材料，完成相应的任务：
课堂上，老师让同学们复习一元二次方程的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：
任务：(1)上述材料中“▲”处的依据为_____________（填写字母序号即可）；
A：若或，则；
B：若，则或．
(2)已知方程的两个根为，，则多项式分解因式的结果为__________；
(3)请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择_______题．
A：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果．
B：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果．
23．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）M是抛物线对称轴上的一点连接BM，CM，求BM+CM的最小值．
（3）若E（m，0）为x轴正半轴上一动点，过点E作直线ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP，BC，当∠PBD+∠CBO＝45°时，请求出m的值．
小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式(其中，均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或，依据是▲ ，进而得到原方程的根为，；
小文：既然能用分解因式法求解关于的一元二次方程，那么，能否运用一元二次方程的根，，将多项式分解因式呢?
小颖：可以!例如时，如果方程的两个根为，，逆推回去可得两个一元一次方程是或，则原方程即可表示为，这样就可得到多项式分解因式的结果为!
例如：已知方程的两根为，，则分解因式为；
已知方程的两根为，.则分解因式为.
参考答案：
1．C
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、是中心对称图形，此选项符合题意；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合．
2．A
【分析】按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案．
【详解】解：方程即为，
在方程的两边都加上，得，
即．
故选：A．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的的方法和步骤是解此题的关键．
3．A
【分析】根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得．
【详解】解：A、，函数的图像在第一、三象限，选项说法正确，符合题意；
B、因为，所以点不在函数图像上，选项说法错误，不符合题意；
C、，在每个象限内，y随着x的增大而减小，选项说法错误，不符合题意；
D、，在每个象限内，y随着x的增大而减小，因为，则，选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的性质．
4．B
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ABC=180°-∠D=70°，根据角平分线的定义计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=180°-∠D=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC=35°，
故选B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．C
【分析】用黑球的个数除以摸到黑球频率得出球的总个数，继而得出答案．
【详解】解：由题意知，袋中球的总个数约为（个），
所以袋中红球的个数约为（个），
故选：C．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
设这次会议到会的人数为x人，则一人握次，根据每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了次，可列方程，然后作答即可．
【详解】解：设这次会议到会的人数为x人，
依题意得，，
故选：A．
7．B
【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：，再根据相似三角形对应边成比例即可进行解答．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”以及相似三角形对应边成比例．
8．C
【分析】利用相似图形的判定方法：形状相同的图形称为相似形，进而分别判断得出即可．
【详解】解：①两个边长不等的等边三角形一定相似，符合题意；
②两个边长不等的正方形一定相似，符合题意；
③两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意；
④两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，符合题意；
故选C．
【点睛】考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边成比例的图形相似，难度不大．
9．D
【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似
∴△ ABO∽△A′B′O且＝
.∴＝＝
∴A′E＝AD＝2
OE＝OD＝1
∴A′（-1,2）
同理可得A′′（1,-2）
方法二：∵点A（-3，6）且相似比为
∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×），
∴A′（-1,2）
∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称
∴A′′（1,-2）
故选：D．
10．C
【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点；即可得出b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；再由图象可知当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；当x＝﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0，即可求解．
【详解】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，
∴a＜0，＜0，c＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵函数与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故②错误；
∵＞﹣1，
∴2a＜b，故③错误；
当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；
当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；故④正确；
∵x＝﹣时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故⑤正确；
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数的图象，根据图象确定式子的正负，正确理解函数图象，由图象得到相关信息，掌握二次函数的性质，根的判别式与图象的关系是解题的关键．
11．．
【分析】用阴影部分的面积除以正方形的总面积即可得．
【详解】由图形知，
S①＝S②，
∴阴影部分的面积为正方形面积的一半，
∴蚂蚁停在阴影部分的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查几何概率.解题的关键是熟练掌握几概率的公式.用阴影区域表示所求事件（A）；计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
12．1
【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数．
13．100m
【详解】∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
∴AB===100(米)
则两岸间的大致距离为100米.
故答案为:100米.
14．2
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的意义．设A点坐标为，则B点坐标为，得出C点坐标为，求出，根据反比例函数k值的意义求出，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
设A点坐标为，则B点坐标为，
∴C点坐标为，
∴，
∵A、B为函数图象上两点，
∴，
∴，
故答案为：2．
15．
【分析】本题考查了含角的直角三角形的特征、勾股定理、扇形的面积，根据含角的直角三角形的特征得，再利用勾股定理得，，进而可得，，再利用阴影部分的面积即可求解，熟练掌握基础知识，利用分割法解决问题是解题的关键．
【详解】解：连接、，如图：
在中，，，，点D为边的中点，
，，
，，
，，
，，
∴图中阴影部分的面积．
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用公式法解一元二次方程．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
∴，
∴，；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
即，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据不同的方程用不同的解法．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质作出对应点，再连接即可．
（2）根据位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于位似比作出对应点，再连接即可．
【详解】（1）如图，即为所求．

（2）如图，即为所求．
【点睛】本题考查作图-位似变换、旋转变换，熟练掌握位似变换、旋转变换的性质是解答本题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是；
（2）利用画树状图或列表法求概率即可．
【详解】（1）解：从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是，
故答案为：；
（2）解：方法一：根据题意可画树状图如下：

由树状图可知共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中A，B两名志愿者同时被选中的有2种，
∴P（A，B两名志愿者同时被选中）．
方法二：根据题意可列表如下：
由表格可知共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中A，B两名志愿者同时被选中的有2种，
∴P（A，B两名志愿者同时被选中）．
【点睛】本题考查列表法和树状图法求概率，掌握概率的求法是解题的关键．
19．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题．
（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）根据，求出的面积，设 ，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴，
把A、B的坐标代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：观察图象，不等式的解集为：或；
（3）解：连接，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
∴或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．
20．（1）②作为条件，①作为结论；见解析；（答案不唯一）（2）
【分析】（1）连接，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质得到，利用垂直的定义，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
（2）连接，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【详解】解：若②作为条件，①作为结论．
证明：连接，如图，
∵弦平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵为的半径，
∴与相切；
若①作为条件，②作为结论．
证明：连接，如图，
∵弦平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴与相切，为的半径，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵弦平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，又，，
∴，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵为的直径，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的有关性质，圆周角定理，弧、弦、圆周角的关系，角平分线的定义，平行线的判定与性质，垂直定义，圆的切线的判定与性质定理，勾股定理，圆的内接四边形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
21．(1)；
(2)．
【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长；
（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长．
【详解】（1）解：由题意可得：，
则，
故，
即，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴的长为；
（2）∵，
∴（），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（），
∴灯泡到地面的高度为．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
22．(1)B
(2)
(3)A：；B：
【分析】本题主要考查了因式分解以及一元二次方程的应用．
（1）根据“两个因数的乘积为零，那么这两个因数中至少有一个为零”，即可获得答案；
（2）结合材料叙述，即可获得答案；
（3）解方程或，结合材料叙述，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据“两个因数的乘积为零，那么这两个因数中至少有一个为零”，
可得上述材料中“▲”处的依据为B．
故答案为：B；
（2）∵一元二次方程的两个根为，，
∴多项式分解因式的结果为．
故答案为：；
（3）选择A题：
对于方程，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴多项式分解因式的结果为；
选择B题：
对于方程，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴多项式分解因式的结果为．
23．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）BM+CM的最小值为；（3）或5
【分析】（1）根据点的坐标特征利用待定系数法求解即可；
（2）先求出对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短可知，BM+CM的最小值为AB的长度，进而利用勾股定理求解即可；
（3）根据题意，分点P在直线AB的上方和点P在直线AB的下方两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）将点A（3，0）代入y＝﹣x+n中得： 0=﹣3+n，则n=3，
∴y＝﹣x+3，
当x=0时，y=3，∴B（0，3），
将A(3，0)、B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3= y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x=1，
∵点A（3，0）与点C关于直线x=1对称，点M在对称轴上，
∴C（﹣1，0），MC=MA，
∴MC+BM=MA+MB≥AB（当A、M、B共线时取等号），
即BM+CM的最小值为AB的长度，
∵A(0，3)，B(0，3)，
∴OA=3，OB=3，
∴AB= = ，
∴BM+CM的最小值为；
（3）如图，当点P在直线AB的上方时，过点B作BF⊥ED交ED延长线于F，连接BC，
则四边形OBFE是矩形，∴∠OBF=∠BFP=∠AOB=90°，
∵OA=3，OB=3，
∴∠OBA=∠ABF=45°，即∠FBP+∠PBD=45°，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，
∴∠FBP=∠CBO，
∴△BFP∽△BOC，
∴，
由题意，E(m，0)，D（m，﹣m+3），P(m，﹣m2+2m+3)，F(m，3)，m＞0，
∴BF=m，PF=3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣2m，
∴，
解得：m1=，m2=0（舍去）；
如图，当点P在直线AB的下方时，
∵∠PBD+∠OBP=45°，∠PBD+∠CBO＝45°，
∴∠OBP=∠CBO，
设直线BP交x轴于M，则OM=OC=1，
∵PE⊥x轴，即PE∥y轴，
∴△BOM∽△PEM，
∴即，
解得：m1=5，m2=0（舍去），
综上，当∠PBD+∠CBO＝45°时，m的值为或5．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数的对称性求最短路径、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解一元二次方程等知识，解答的关键是理解题意，结合图象找到相关知识的关联点，利用数形结合和分类讨论等思想方法进行推理、探究和计算．
A
B
C
A
B
C