重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高二下学期2月月度质量检测数学试题（含答案）

这是一份重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高二下学期2月月度质量检测数学试题（含答案），共11页。

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测：上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样
C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样
2．下列函数既是奇函数，又在 上单调递增的函数是（ ）
A． B． C．D．
3．已知 是公比为2的等比数列，若 ，则 （ ）
A．100 B．80 C．50D．40
4．若 ，则 （ ）
A． B． C．D．
5．已知圆 ，直线 与圆 交于 两点. 若 为直角三角形，则（ ）
A． B． C．D．
6．已知数列 满足 ，若 ，则正整数 的值是（ ）
A．8 B．12 C．16D．20
7．已知椭圆的左焦点 为坐标原点，点 在椭圆上，点 在直线 上，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．D．
8．对于一个古典概型的样本空间 和事件 ,其中,，则（ ）
A．与 不互斥 B．与 互斥但不对立 C．与 互斥 D．与 相互独立
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，若 :，且 是 的必要条件，则可能为（ ）
A．的最小正周期为 B．是 图象的一条对称轴
C．在 上单调递增D．在 上没有零点
10．设奇函数 与偶函数 的定义域均为，且在区间 上都是单调增函数，则（ ）
A．不具有奇偶性，且在区间 上是单调增函数
B．不具有奇偶性，且在区间 上的单调性不能确定
C．是奇函数，且在区间 上是单调增函数
D．是偶函数，且在区间 上的单调性不能确定
11．对于任意两个正数，记曲线 与直线 轴围成的曲边梯形的面积为 ,并约定 和，德国数学家莱布尼茨 最早发现 . 关于 ,下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若命题， 为真命题，则 的取值范围为 .
13．在多面体 中，且两两垂直，则该多面体的外接球半径为 ，内切球半径为 .
14．已知 为方程 的两个实数根，且，则 的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验. 否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
（2）若规定试验者乙至多可进行 轮试验（若第 轮不成功，也停止试验），记乙在第 轮使得试验成功的概率为 ，则乙能试验成功的概率为 ，证明：.
16．（15分）如图，是半球 的直径，是底面半圆弧 上的两个三等分点，是半球面上一点，且 .
（1）证明：平面 :
（2）若点 在底面圆内的射影恰在 上，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17．（15分）设 ，函数.
（1）讨论函数 的零点个数；
（2）若函数 有两个零点 ，试证明：.
18．（17分）已知抛物线：，直线 ，且点 抛物线上.
（1）若点 在直线上，且 四点构成菱形 ，求直线 的方程；
（2）若点 A为抛物线和直线 的交点（位于 轴下方），点 在直线 上，且 四点构成矩形 ,求直线 的斜率.
19．（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线. 1691年，莱布尼茨等得出“悬链线"方程，，其中 为参数. 当 时，就是双曲余弦函数 ，类似地我们可以定义双曲正弦函数 .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论： .（只写出即可，不要求证明）；
（2），不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若，试比较 与 的大小关系，并证明你的结论.
【参考答案】
重庆市2023-2024学年（下）2月月度质量检测
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．AC 10．ABD 11．ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．；
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）
由题意得，的可能取值为 ，在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率， ，依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为 ，
，易知 ，的分布列为：
的数学期望 .
（2）
证明：当 时，不难知道 ,
,
,
由（1）可知 ,又，
，

.即.
16．（1）
连接 ，因为 是底面半圆弧 的两个三等分点，所以有 ，又因为 ,
所以 都为正三角形，所以 ，四边形 是菱形，
记 与 的交点为 ,为 和 的中点，因为 ,
所以三角形 为正三角形，所以 ，所以 ，
因为 是半球面上一点，是半球 的直径，所以 ,
因为 平面 ，所以 平面 .
（2）
因为点 在底面圆内的射影恰在 上，
由（1）知 为 的中点，为正三角形，所以 ,
所以 底面 ，因为四边形 是菱形，所以 ,
即 两两互相垂直，以点 为坐标原点，分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示，
则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ,，所以 ，
取 ，则 ，设直线 与平面 的所成角为 ，
所以 ，故直线 与平面 所成角的正弦值 .
17．（1）
，令 ，即 ,
当 时，令 ，所以 ,
则 即,
所以当 或时，即 或时，无解；
当 ，即 时,仅有一解；
当即时, 有两解，
综上，或时，无零点； 时，有一个零点：时，有两个零点
（2）
若 有两个零点 ，令 ，则 为 两解，
则 ，则 ，则 ,
由 可得，则,
所以，所以，
由 可得 ,所以，则,
由 递减，可得,
所以，所以
令，则
要证：成立，
即证： ；
即证：，因为 显然成立，故原式成立.
18．（1）
由题意知 ，设直线 .
联立 得,
则,
则 的中点 在直线 上，
代入可解得，满足直线与抛物线有两个交点
所以直线 的方程为 ，即 .
（2）
当直线 的斜率为0或不存在时，均不满足题意.
由得或（舍去），故.
方法一：当直线 的斜率存在且不为0时，设直线 .
联立 得 ，所以 .所以 . 同理得 .
由 的中点在直线 上，
得.
即.
令，则 ，解得 或 .
当时，直线 的斜率；
当 时，直线 的斜率不存在.
所以直线 的斜率为 .
方法二：设 ，线段 的中点 ,
则 .
由，得，即.
所以 .
又
,
故 可转化为 ,
即 . 解得 或 .
所以直线 的斜率.
当 时，斜率不存在；当 时，斜率 .
所以直线 的斜率为 .
19．（1） .
（2）
依题意，，不等式 ,
函数 在 上单调递增，，令 ,
显然函数 在 上单调递减，在 上单调递增，,
又 ，于是，,
因此，，显然函数 在 上单调递减，
当 时，，从而 ，
所以实数 的取值范围是 .
（3）
，.
依题意，，
，
当 时，，即 ,
于是 ，而，因此,
当 时，，则 ,，
即 ，而，因此,
于是，，所以.

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