新疆乌鲁木齐市六校2023-2024学年高一上学期1月期末联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份新疆乌鲁木齐市六校2023-2024学年高一上学期1月期末联考数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了 已知集合，则， 下列命题正确的是， 已知函数是幂函数，则， 函数定义域为， 若偶函数在上单调递增，则．， 已知，则， 函数的零点所在的区间为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

一､单选题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
3. 已知函数是幂函数，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
4. 函数定义域为（ ）
A. B. C. D.
5. 若偶函数在上单调递增，则（ ）．
A. B.
C. D.
6. 已知，则（ ）
A. 1B. －1C. D.
7. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
8. 若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共4小题）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”的否定是“，使得”
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 关于的不等式的解集，则不等式的解集为
D. “”是“”的充分不必要条件
10. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第三象限角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C. 若角的终边上有一点，则
D. 若角为锐角，则角为钝角
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域和值域均为
B. 为偶函数
C. 的单调递减区间为
D. 不等式的解集为
第II卷（非选择题）
三､填空题（本题共4小题）
13. 集合{a,b,c}子集共有______个
14. 已知角的终边经过点则___________．
15. 不等式解集为____________．
16. 函数的部分图象如图所示，则__________．
四､解答题（解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.）
17. 已知全集，集合.
（1）求；
（2）求.
18. 计算下列各式.
（1）
（2）.
19. 已知函数.
（1）判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）判断函数奇偶性，并证明.
20. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
21. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）当时，求证：.
22. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.

（1）将y表示为关于x表达式，并写出x的取值范围；
（2）当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值.
2023-2024学年第一学期六校期末联考高一数学试卷
第I卷（选择题）
一､单选题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的定义直接求解即可.
【详解】因为集合，
所以，
故选：B
2. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，令，可以判断A的真假；由不等式的性质3，可以判断B，C的真假；由不等式的性质1，可以判断D的真假，进而得到答案．
【详解】当时，若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，当时，则；当时，则，故C错误；
若，则，故D正确
故选:D
3. 已知函数是幂函数，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据是幂函数先求解出的值，然后代入于解析式可求结果.
【详解】由题知，解得，
，
故选：C.
4. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式分母不为、偶次根式被开方数大于等于求解出函数定义域.
【详解】因为，所以且，
所以函数定义域为，
故选：D.
5. 若偶函数在上单调递增，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由偶函数有，结合区间单调性即可得答案.
【详解】由偶函数知：，又在上单调递增且，
所以，即.
故选：D
6. 已知，则（ ）
A. 1B. －1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得，再求得，结合倍角公式，即可求解.
【详解】因为，且，
所以，可得，
所以.
故选：A．
7. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析给定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得.
【详解】函数在R上单调递增，而，
所以函数的零点所在的区间为.
故选：A
8. 若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.
【详解】解：因为，且，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得或，
所以的取值范围是．
故选：C
二､多选题（本题共4小题）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”的否定是“，使得”
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 关于的不等式的解集，则不等式的解集为
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】因为命题的否定一定要否定结论，故A错误；B中方程应该对是否为0进行讨论，有两个结果，故B错误；根据一元二次不等式的解法确定C的真假；根据充要条件的判定对D进行判断.
【详解】对A：命题“”的否定是“，使得”，故A错误；
对B：当时，集合中也只有一个元素，故B错误；
对C：因为关于的不等式的解集为，故，不妨设，则由韦达定理可得，，所以不等式，故C正确；
对D：由“，”可得“”，但“”，比如时，“，”就不成立，故D成立.
故选：CD
10. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以当时，，故A正确；
因为函数在上单调递增，
所以当时，，故B正确；
因为函数在上单调递减，
所以当时，，故C错误；
因为函数在上单调递减，
所以当时，，故D错误；
故选：AB.
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第三象限角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C. 若角终边上有一点，则
D. 若角为锐角，则角为钝角
【答案】AC
【解析】
【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义四可判断C选项；取可判断D选项.
【详解】A：是第三象限角，故A正确；
B：若圆心角为的扇形的弧长为，则半径，则该扇形的面积为，故B错误；
C：若角的终边上有一点，则，故C正确；
D：若角为锐角，设，则角，为直角，故D错误；
故选：AC
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域和值域均为
B. 为偶函数
C. 的单调递减区间为
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据分段函数的性质逐项分析即可.
【详解】对A，当时，，
当时，；
当时，，
则的定义域和值域均为，故A正确；
对B，，，
则，则不是偶函数，故B错误；
对C，由A知当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递减，
且既适合时的解析式，也适合时的解析式，
则的单调递减区间为；
对D，当时，令，则此时无解；
当时，，则即为，解得或（舍去），
则其解集为，故D正确；
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三､填空题（本题共4小题）
13. 集合{a,b,c}的子集共有______个
【答案】8
【解析】
【分析】用列举法写出集合的子集，即可得．
【详解】集合的子集有{a }，{ b }，{ c}，{a,b }，{ b,c}，{a,c}，{a,b,c}，，共8个．
故答案为：8．
14. 已知角的终边经过点则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦函数值的定义求解即可.
【详解】依题意，.
故答案为：
15. 不等式的解集为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的单调性、一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】依题意，，即，
由于在上单调递增，所以，
，
解得或，所以不等式的解集为.
故答案为：
16. 函数的部分图象如图所示，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象结合正弦函数的图象及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.
【详解】由函数的图象可知，，则，解得，
把代入，则，，解得，，
而，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
四､解答题（解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.）
17. 已知全集，集合.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用并集概念计算即可;
（2）利用交集和补集的概念计算即可.
小问1详解】
已知集合，
所以.
【小问2详解】
由已知得，又全集，
所以.
18. 计算下列各式.
（1）
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由指数幂的运算性质化简即可得出答案；
（2）由对数的运算性质化简即可得出答案.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
19. 已知函数.
（1）判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）判断函数的奇偶性，并证明.
【答案】（1）增函数，证明见解析
（2）奇函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数的单调性定义判断证明即可；
（2）利用奇函数的定义判断证明即可.
【小问1详解】
函数是增函数，证明如下：
任取R，不妨设，
，
因为，所以，又，，
所以，即，
所以函数是R上的增函数.
【小问2详解】
函数为奇函数，证明如下：
由已知可得，且定义域为R关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数.
20. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正切和角公式求出答案；
（2）利用二倍角公式得到齐次式，再化弦为切，代入求值即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
21. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）当时，求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，求出最小正周期；（2）在第一问的基础上求解单调递减区间；（3）整体法求解函数值域，从而证明出不等式.
【小问1详解】
，
则函数的最小正周期；
【小问2详解】
令，，
解得：，
故函数的单调递减区间是；
【小问3详解】
证明：时，，
所以，即
22. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.

（1）将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围；
（2）当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值.
【答案】（1），
（2）当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为.
【解析】
【分析】（1）表达出单个矩形栏目的长度，进而求出y关于x的表达式，x的取值范围；
（2）由基本不等式求出总面积最小值.
【小问1详解】
单个矩形栏目的长度为，
，
【小问2详解】
由基本不等式得
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为.