49，甘肃省部分学校2024届高三下学期2月开学考试数学试题

这是一份49，甘肃省部分学校2024届高三下学期2月开学考试数学试题，共15页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，函数的单调递减区间是，已知数列满足，则，已知函数等内容，欢迎下载使用。

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合或，则（ ）
A. B.
C.或 D.或
2.（ ）
A. B. C. D.
3.已知单位向量满足，则夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知复数满足；则（ ）
A. B. C.8 D.20
5.若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A. B. C. D.
7.函数的单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知数列满足，则（ ）
A.是等差数列
B.的前项和为
C.是单调递增数列
D.数列的最小项为4
10.已知函数（，其中表示不大于的最大整数），则（ ）
A.是奇函数 B.是周期函数
C.在上单调递增 D.的值域为
11.已知正四面体的棱长为4，点是棱上的动点（不包括端点），过点作平面平行于，与棱交于，则（ ）
A.该正四面体可以放在半径为的球内
B.该正四面体的外接球与以点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为
C.四边形为矩形
D.四棱锥体积的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.2023年度，网络评选出河南最值得去的5大景点：洛阳龙门石窟，郑州嵩山少林寺，开封清明上河园，洛阳老君山，洛阳白云山，小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩，则他们都去洛阳游玩，且不去同一景点的概率为__________.
13.已知分别是双曲线的左､右焦点，过点且垂直轴的直线与交于两点，且，若圆与的一条渐近线交于两点，则__________.
14.若圆锥的母线长为3，则圆锥体积的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知在中，角所对的边分别为.
（1）若，证明：是等腰三角形；
（2）若，求的值.
16.（本小题满分15分）
2022年日本17岁男性的平均身高为，同样的数据1994年是，近30年日本的平均身高不仅没有增长，反而降低了.反观中国近30年，男性平均身高增长了约.某课题组从中国随机抽取了400名成年男性，记录他们的身高，将数据分成八组：，；同时从日本随机抽取了200名成年男性，记录他们的身高，将数据分成五组：，整理得到如下频率分布直方图：
（1）由频率分布直方图估计样本中日本成年男性身高的分位数；
（2）为了了解身高与蛋白质摄入量之间是否有关联，课题组调查样本中的600人得到如下列联表：
结合频率分布直方图补充上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，推断成年男性身高与蛋白质摄入量之间是否有关联？
附：.
17.（本小题满分15分）
如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.
（1）请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明）
（2）求点到平面的距离.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，点在上，的长轴长为.
（1）求的方程；
（2）已知原点为，点在上，的中点为，过点的直线与交于点，且线段恰好被点平分，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）若有2个极值点，求证：.
高三数学参考答案､提示及评分细则
1.A 因为或，所以.故选A.
2.C .故选C.
3.B 两边平方得，解得，又为单位向量，所以夹角的余弦值为.故选B.
4.B ，得，所以.故选B.
5.D 联立与的方程并消去，得.因为与只有1个公共点，所以，结合，解得，则，所以到的距离.故选D.
6.C 展开式中的第项为，所以前三项系数依次为，依题意，有，即，整理，得，解得（舍去）或.由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，即.故选C.
7.D .由，解得，，所以的单调递减区间是.故选D.
8.A 因为是定义域为的偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增；，即；令，当时，，则单调递增，所以，即，所以.而在上单调递增，故有，即.故选A.
9.BC 由，得，因为，所以，从而，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，即.所以，所以，所以A错误，B正确；由，易知是单调递增数列，C正确；当时，，当时，错误.故选BC.
10.BD 由题意，表示不大于的最大整数，则，所以，则函数是以3为周期的函数，当时，；当时，，则又是以3为周期的函数，则的值域为和D均正确；，所以，故不是奇函数，A错误；当时，，故在上无单调性，C错误.故选BD.
11.AC 对于，易算出该正四面体外接球的半径，所以该正四面体可以放入半径为的球内，故正确；
对于，由可知四面体外接球的半径，如图，在中，，所以；在中，，易知两个球面的交线为圆，其周长为，故B错误；
对于C，取的中点，连接.易证平面，所以；又平面，平面平面，所以，同理，所以，同理，所以四边形为平行四边形；又是与所成的角，所以，于是四边形为矩形，则C正确；
对于D，设，易证，所以，可得，同理可得.取中点，连接，交平面于点.由上面的论证可知平面.因为平面与都平行，所以可得，又易知，所以，即到平面的距离为，所以.
.令，因为，所以，所以，故D错误.故选AC.
12. 小张和小李从5个景点中各自选择1个，共有种可能，5个景点中有3个在洛阳，则他们都选择去洛阳游玩，且不去同一景点的情况有种，故所求概率.
13. 设，解得，解得，所以渐近线方程为，由对称性，不妨取进行计算，弦长.
14. 设底面半径为，则圆锥的高，体积.令，则，当时，单调递增，当时，单
调递减；所以当，即时，取最大值，此时.
15.（1）证明：由，及正弦定理，得
，
即，
即.
因为，所以，
即.
因为，
所以或.
因为，所以，又，所以.
故是等腰三角形.
（2）解：因为，即，则.
由（1）可得.
因为，
所以.
由正弦定理，得.
因为，所以.
结合，解得.
16.解：（1）由频率分布直方图可知，解得.
因为，
所以分位数位于，设为，
则有，解得.
故日本成年男性身高的分位数为.
（2）由频率分布直方图知，样本中身高低于的中国成年男性人数是208（人），
样本中身高低于的日本成年男性人数是（人），
故样本中身高低于的共有348人，可得下表：
零假设：成年男性身高与蛋白质摄入量之间无关联，则由列联表数据可得：
，
依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为成年男性身高与蛋白质摄入量之间有关联.
17.解：（1）连接并延长交延长线于点，连接并延长交于点，交延长线于点，连接交于点，
则截面即为所求.
（2）如图，以为原点，棱所在直线分别为轴建立空间直角坐标系Dxyz.
因为正方体的棱长为2，所以.
.
设平面的法向量为，
则即
取，得平面的法向量为.
设点到平面的距离为，则，
故点到平面的距离为.
18.解：（1）因为的长轴长为，所以，
由得，
把代入的方程得，即，
解得，所以，解得，
所以的方程为.
（2）法一：设，
由题意可知，点既是的中点，又是的中点，
所以即
因为点在上，所以，
整理得，
因为在上，所以.
将两边平方，得，
又，展开，得，
所以，
所以，
又
.
所以为定值.
法二（通性通法）：当轴且在轴右侧时，显然，
则
同理，当轴且在轴左侧时，.
当与轴不垂直时，设直线的方程为.
由得，
则，化简，得.
设，则.
设，则，
所以，代入，得，
化简，得，适合.
.
综上，为定值.
19.（1）解：法一：因为，
所以，
若，则在上单调递增；
若，令，则，
时单调递减；时单调递增，
所以是的极小值点，所以，
所以当，即时，在上单调递增.
综上，的取值范围是.
法二：因为在上单调递增，
所以时，即，
设，则，
所以时单调递减，时单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是.
（2）证明：由（1）知是方程的两个不同正根，所以，
经验证，分别是的极小值点，极大值点，
，
下面证明.
由，得，
两边取对数，得，即，
则，
设，则，则要证，即证，
即证.
设，则，
所以在上单调递增，从而，
于是成立，
故.身高
蛋白质摄入量
合计
丰富
不丰富
低于
108
不低于
100
合计
600
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
身高
蛋白质摄入量
合计
丰富
不丰富
低于
108
240
348
不低于
152
100
252
合计
260
340
600