03指数和指数函数-重庆市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份03指数和指数函数-重庆市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2024上·重庆·高一西南大学附中校考期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校联考期末）若分别为定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2022上·重庆·高一校联考期末）若定义在实数集上的函数满足：时，，且对任意，都有成立，则等于（ ）
A．B．
C．1D．
4．（2024上·重庆·高一重庆市第十一中学校校考期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（ ）（参考数据：）
A．B．
C．D．
7．（2024上·重庆江北·高一校考期末）若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）已知奇函数的定义域为R，对于任意的x，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数m构成的集合为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023上·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知函数且若，则实数a的值等于（ ）
A．2B．3C．D．4
11．（2022上·重庆·高一校联考期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024上·重庆·高一西南大学附中校考期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）已知，若，则实数的值为 ．
14．（2024上·重庆·高一重庆一中校考期末）函数的值域是 .
15．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 .
16．（2023上·重庆·高一校联考期末）函数，则 .
17．（2022上·重庆江北·高一重庆十八中校考期末）写出定义域为且同时满足下列三个条件的函数的表达式： .
（1）；（2）在上单调递增；（3）的值域为.
18．（2022上·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）已知函数的图象（且）恒过定点P，则点P的坐标是 ，函数的单调递增区间是 .
19．（2024上·重庆·高一重庆市第十一中学校校考期末）化简： .
20．（2023上·重庆九龙坡·高一统考期末）已知函数，该函数f(x)在R上的所有零点之和为 ；使得不等式成立的实数m的取值范围为 ．
三、解答题
21．（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）已知函数，的图像关于点中心对称.
(1)求实数的值：
(2)探究的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于的不等式.
22．（2024上·重庆·高一西南大学附中校考期末）已知函数为奇函数.
(1)求m的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围.
23．（2023上·重庆铜梁·高一校联考期末）已知
(1)判断函数的单调性，并用定义证明之．
(2)解关于t的不等式．
24．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：
双曲正弦函数，双曲余弦函数：
(1)请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）
① ②
(2)求函数在R上的值域.
参考答案：
1．C
【分析】由周期函数转换然后代入表达式求解即可.
【详解】由题意当时，，此时是以4为周期的周期函数，
所以.
故选：C.
2．D
【分析】由奇偶性的定义求得与的表达式，然后求函数值．
【详解】（1），则，
又分别为定义在上的奇函数和偶函数，
∴（2），
（1）（2）两式相加除以2得，相减除以2得，
∴，，∴，
故选：D．
3．D
【分析】由可得函数的周期为4，则，然后根据已知的解析式求解即可
【详解】因为对任意，都有成立，
所以的周期为4，
所以，
因为函数满足：时，，
所以，
故选：D
4．A
【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值，列出不等式，计算即可.
【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
5．B
【分析】根据指数型函数和分式型函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，函数单调递增，故有，
此时函数的值域为，
当时，函数单调递减，故有，
此时函数的值域为，
要想函数的值域为，
只需，
故选：B
6．D
【分析】根据时，代入函数关系式中，可得的值，进而代入求解即可.
【详解】由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天，
即，则，
所以质量为的锶89经过30天衰减后，
质量大约为．
故选：D．
7．A
【分析】由分段函数在上为增函数的性质列式可求得结果.
【详解】因为是在上的增函数，所以，
故选：A.
8．B
【分析】由已知得出函数的周期性，再结合奇函数的性质得出函数的值域，从而不等式恒成立转化为新不等式有解，再根据和分类讨论可得．
【详解】由函数是奇函数得函数的图象关于原点对称，
由任意的x，总有成立，即恒成立，于是得函数的周期是4.又当时，，而是奇函数，当时，，
又，，从而行，即时，，而函数的周期是4，于是得函数在R上的值域是，
因为对任意，存在，使得成立，从而得不等式在R上有解，当时，成立，
当时，在R上有解，必有，解得，则有.
综上得.
故选：B．
【点睛】结论点睛：不等式恒成立问题的转化：的定义域是，的定义域是，
（1）对任意的，存在，使得成立；
（2）对任意的，任意的，恒成立；
（3）存在，对任意的，使得成立；
9．C
【分析】由题可得，解之即得.
【详解】∵在上单调递增，
∴，解得，
故实数的取值范围是
故选：C
10．B
【分析】利用分段函数求函数值即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
故选:B.
11．C
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可判断
【详解】，
，即
所以
故选：C
12．D
【分析】将函数变形为，设，从而得出为奇函数，进而得到，由可得，然后分析出的单调性，得出答案.
【详解】，设，
因为，所以为奇函数，
则．即
又，在R上均为减函数，所以在R上为减函数，
由得，即
所以，解得或．
故选：D．
13．
【分析】结合分段函数性质与指数幂运算即可得.
【详解】因为，
所以，
故.
故答案为：.
14．
【分析】利用二次函数性质、指数函数性质求出值域即得.
【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减，
因此，
所以函数的值域是.
故答案为：
15．（或者，答案不唯一）
【分析】根据抽象函数关系，结合指数幂运算及指数函数性质判断函数即可.
【详解】由，知满足条件，
又时，，可得，故满足这两个条件的一个函数为.
故答案为：（或者，答案不唯一）.
16．
【分析】根据分段函数的取值代入对应的解析式计算即可求解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，
故答案为：.
17．（答案不唯一）
【分析】根据所要求的条件，含绝对值的指数函数可满足要求.
【详解】函数满足条件，
首先，
又，满足（1），
当时，为增函数，满足（2），
当时，，
又，所以的值域为，满足（3）.
故答案为：
18．
【分析】令，求得，即可得到函数的图象恒过定点；令，求得函数的定义域为，利用二次函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，函数（且），
令，即，可得，即函数的图象恒过定点，
令，即，解得，
即函数的定义域为，
又由函数的图象开口向下，对称轴的方程为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数的递增区间为.
故答案为：；.
19．
【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果.
【详解】
.
故答案为：
20． －6
【分析】先设，则，根据关于对称，且只有两个零点，则零点之和为-6；根据的单调性和对称性化简，然后解出不等式即可
【详解】设函数，则偶函数
则有：在上单调递减；在上单调递增
，，故
可得在上有一个零点；在上有一个零点，且两个零点关于原点对称
故有两个零点，而且关于对称，则两个零点之和为：
不等式等价为：
即有：
解得：
故答案为：-6；
21．(1)
(2)增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数的平移性质，结合函数的对称性进行求解即可；
（2）根据函数的单调性定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可；
（3）根据函数的对称性和单调性进行求解即可.
【详解】（1）因为函数，的图像关于点中心对称，
所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称，
即函数的图像关于点中心对称，
因此函数是奇函数，
于是有，即，
因为，
所以是奇函数，因此符合题意；
（2）因为，所以，
设是任意两个实数，且，
，
因为，所以，因此，
所以函数是增函数；
（3）因为函数，的图像关于点中心对称，
所以，即，
所以由，
因为函数是增函数，
所以，或，
解得，或，
因此原不等式的解集为.
22．(1)；
(2)单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据整理可得；
（2）利用定义法，结合指数函数单调性证明即可；
（3）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，然后参变分离，利用基本不等式求解可得.
【详解】（1）因为函数为奇函数，
所以，即，
整理得，故.
（2）设，且，
则，
因为，单调递增，所以，
所以，，
所以，即，
所以函数在R上单调递增.
（3）因为函数为奇函数，
所以，
又因为在R上单调递增，
所以，即在区间上恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即a的取值范围为.
23．(1)函数在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可知，对函数进行分离常数可判断其单调性并用单调性的定义证明即可；
（2）根据函数的奇偶性和单调性即可对不等式进行求解．
【详解】（1）由题意，函数在上是增函数，
所以函数在上是增函数．
证明如下：在上任取且，
所以
由可知，所以，，，
所以，即．
即在上单调递增．
（2）易知，所以函数为奇函数；
由（1）知，函数是上的增函数，
由可得，
所以，即，解得，
即关于t的不等式的解集为
24．(1)选择见解析，证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意直接求出、的值，即可证明；
（2）由（1），，令，利用换元法可得，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）若选择①：由题意，，
则；
若选择②：
；
（2）法一：由（1）知，，
则，
令，则，当且仅当时取等，
令，
又函数在上单调递增，故，
故的值域为，即的值域为；
法二：，令，
，
令，则，
所以在上单调递增，故，故的值域为，
即的值域为.