江苏省宿迁市沭阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份江苏省宿迁市沭阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 分值：150分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案填涂在答题纸上）
1. 下列函数中，二次函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义：形如的函数叫二次函数，据此判断即可．
【详解】解：A．符合二次函数的定义，本选项符合题意；
B．是一次函数，不符合题意；
C．是正比例函数，不符合题意；
D．是反比例函数，不符合题意．
故选：A．
2. 关于的方程有一个根为则另一个根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】解：设原方程的另一根为x，则：
，
∴x=4+1=5，
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
3. 已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么（ ）
A. ±3B. 3C. 4.5D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负．
【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：
比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则，
解得（线段是正数，负值舍去），
所以．
故选：B．
【点睛】此题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数是解题关键．
4. 在学校举办的合唱比赛中，八（3）班的演唱质量、精神风貌、配合默契得分分别为92分，80分，70分，若最终成绩由这三项得分依次按照 ，，的百分比确定，则八（3）班的最终成绩是 （ ）
A. 80.6分B. 81.8分C. 84.7分D. 96.8分
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查加权平均数，根据加权平均数的定义可得答案．解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【详解】解：八（3）班的最终成绩是(分)，
故选：B．
5. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
直接根据函数图象平移的法则解答即可．
【详解】解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为：，即．
故选：D．
6. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（ ）cm．
A. 1B. 22C. 55D. 1010
【答案】C
【解析】
【分析】利用黄金分割比值关系进行运算即可．
【详解】解：由黄金分割可得：
∴
整理得：
解得：，(舍去)
故答案为：
【点睛】本题主要考查了黄金分割的比值关系，熟悉掌握比值关系建立式子是解题的关键．
7. 如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由平行线的性质求出，再由圆内接四边形对角互补求出，则由圆周角定理可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
8. 如图，点P是边长为5的正方形内一点，且，，垂足为点B，请在射线上找一点M，使得以B、M、C为顶点的三角形与相似，则等于（ ）

A. 2或B. 2C. D. 2或
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质和垂线的定义，得出，再分两种情况讨论：①当时；②当时，利用对应边成比例分别求出的长即可．
【详解】解：四边形是边长为5的正方形，
，，
，
，
，，
，
①当时，此时，
，
，
②当时，此时，
，
，
综上可知，当或时，以B、M、C为顶点的三角形与相似，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
二、填空题（本大题共10小题．每小题3分，共30分．请将答案填在答题纸上）
9. 若，则_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．
【详解】解：∵
∴=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，此题比较简单，注意熟记比例变形．
10. 小区新增了一家快递店，第一天揽件300件，第三天揽件363件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，可列方程__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，第三天揽件数量=第一天揽件数量×列方程即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．
11. 已知一个圆锥的底面圆半径为，侧面展开图的半径长为，则这个圆锥的侧面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥计算：圆锥的底面圆半径为，母线长为，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的面积为．
【详解】解：圆锥的侧面积是，
故答案为：．
12. 已知，点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）分别是抛物线y＝5（x﹣2）2+k的三个点，则 y1、y2、y3的大小关系为_____．（用“＜”按从小到大的顺序排列）
【答案】y3＜y1＜y2
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可知x=3时的函数值与x=1时的函数值相等，从而可以判断 y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2+k，
∴该抛物线开口向上，有最小值，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，对称轴是直线x＝2，
∵点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）分别是抛物线y＝5（x﹣2）2+k的三个点，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为y3＜y1＜y2．
【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，可以判断 y1、y2、y3的大小关系，利用二次函数的性质解答．
13. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据几何概率的求解方法，求得阴影区域的面积与总面积的比值即可求解．
【详解】解：由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积，则小球停留在阴影区域的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，得到阴影区域面积是关键．
14. 如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是______（写出一个即可）
【答案】EF∥BC
【解析】
【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．
【详解】当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．
故答案为EF∥BC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
15. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．
【详解】解：，
，
设周长为，设周长为，
和是以点为位似中心位似图形，
．
．
和的周长之比为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．
16. 如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且的延长线交于点．若，则的度数等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图，在矩形中，分别为边上的点，将四边形沿翻折至四边形，点落在边上，且，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】设与交于点，由折叠可知 ，，再根据同角的余角相等以及等角的余角相等可得，再设，则，在 中，根据勾股定理列出方程，求出则 ，，
在中，，因此，在中，，以此计算即可求解．
【详解】如图，设与交于点．
∵四边形为矩形， ，
∴，
∵将四边形沿翻折至四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
设，则，
在中，，
，
解得：，
∴，
在中，，，
∴，，
在 中，
，
，
在 中，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
18. 如图，抛物线交轴于两点（在的右侧），交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线解析式求出点A、B、C的坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以D为圆心，以为半径的圆弧上运动．当D，，B在同一直线上时，最小．过点D作，垂足为E，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出的长，从而得出结论．
【详解】
由得
时，，
解得，，
，，
，，
当时，，
，
，
，
∵点是线段的中点，
，
∵是由沿折叠所得，
，
∴在以D为圆心，以为半径的圆弧上运动，
当D，，B在同一直线上时，最小，
过点D作，垂足为E，
则，，
∴，
，
，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出A、B、C的坐标．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请将答案写在答题纸相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图或画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
19. 解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
（1）用配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：
，
∴或
解得：，；
【小问2详解】
解：
解得：，．
20. 如图，已知二次函数的图象经过点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）结合图象，解答问题：当时，的取值范围是______．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题关键是结合图像进行解题．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）观察函数图象，即可得出结论．
【小问1详解】
将，代入中得：
，解得：，
∴该二次函数的表达式为．
【小问2详解】
如图：抛物线开口向上，
当时，；
当时，；
∴观察图象得，当时，．
21. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝8，BD＝4，求CD的长．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】（1）根据两角对应相等证明△ABD∽△CBA；
（2）根据（1）的结论推出，把有关线段的值代入计算即可．
【小问1详解】
证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA；
【小问2详解】
解：设DC＝x，
∵△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
解得，x＝12；
即CD＝12．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键．
22. 如图，直立在处的标杆米，小爱站在处，其中眼睛，标杆顶，树顶在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点，，在同一条直线上）．已知米，米，米，求树高．

【答案】树高为米
【解析】
【分析】过点作于点，交于点，由题意可得，四边形为矩形，再根据求得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点．

由已知得，，．
，，
四边形、、为矩形，
（米），（米），（米），
（米）．
，，
，
，
，
，解得（米），
（米）．
答：树高为米．
【点睛】本题考查了、矩形的判定与性质、相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
23. 一个不透明的口袋中有个大小相同的小球，球面上分别写有数字，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．
（1）求第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是_________；
（2）请用树状图或列表法的一种，求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，中只有2是偶数，则求第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
依题意，列表如下，
共有9种等可能结果，其中摸出球上的数字的积为奇数有4种可能，
∴摸出球上的数字的积为奇数的概率为．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
24. 某校九年级学生在“学习二十大”的党史知识竞赛活动中，随机抽取80名学生的成绩如表：
（1）填空：______；80名学生的“答对数”的众数是______题，中位数是______题；
（2）若答对8题（含8题）以上被评为优秀“答题能手”，试估计全年级1200名学生中有多少是优秀“答题能手”？
【答案】（1）24；7；8；
（2）630人
【解析】
【分析】（1）根据表格数据及总人数为80即可求解a；根据众数和中位数的定义求解；
（2）求出样本中答对8题（含8题）以上人数所占比例，乘以全年级总人数即可．
【小问1详解】
解：由题意知，答对8题的人数为：，
∴；
由表格数据可知，答对7题的人数最多，因此众数是7题．
将80名学生的答对题数按从小到大排序，第40和41位都是8，因此中位数是8题．
即80名学生的“答对数”的众数是7题，中位数是8题；
故答案为：24；7；8；
【小问2详解】
解：由题意知，随机抽取的80名学生中答对8题（含8题）以上人数为：（名），
∴（名），
∴估计全年级1200名学生中有630名是优秀“答题能手”．
【点睛】本题考查求一组数据的中位数、众数，利用样本估计总体等，难度较小，解题的关键是掌握中位数、众数的定义，能够用样本估计总体．
25. 如图为的直径，为延长线上一点，为上一点，连结，作于点，交于点，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理可证得，根据平行线的性质和判定，由等腰三角形的性质得到，即可得到，根据切线的判定即可证得结论；
（2）过点作于点，证明四边形是矩形，根据，设，则，勾股定理求得，进而可得，证明，根据相似三角形的性质得出的长，进而根据，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的中与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26. 某公司销售一种商品，成本为20元/件，经过调查发现，商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表：
（1）求与的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润．
【答案】（1）
（2）该商品获得的最大日利润为元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法解一次函数的解析式，二次函数的实际应用，利用二次函数的图像性质求最值，解题的关键是理解题意找到题目中的数量关系，并熟练掌握待定系数法解一次函数和二次函数的图象与性质．
（1）利用待定系数法解题即可；
（2）根据利润单价成本销量，列出函数关系式，并根据题意求出的取值范围，然后根据二次函数的性质求出此区间的增减性，进而求出的最大值即可．
【小问1详解】
解：设函数的表达式为，将、代入得：
，解得，
∴y与x的关系式为；
【小问2详解】
解：公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则，
∵，
∴，
∵，故抛物线开口向下，
故当时，w随x的增大而增大，
∴当（元）时，w的最大值为（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为元．
27. 1.问题发现
图（1），在和中，，，，连接，交于点M.
①的值为______；②的度数为_______．
（2）类比探究
图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．
①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值．
【答案】（1）①1；②；（2），；（3）①长为；②M点到直线距离的最大值为
【解析】
【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解．
（2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数．
（3）深度理解题意，本质上问的就是当B，C，D，三点共线时，求的长，在利用，对应边成比例求的长，最值的求解，先找到点和点的轨迹，可以发现是在两个圆弧上运动，再利用最大时，则M点到直线距离的最大，直接求解即可．
【详解】（1）①∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②设与交于点F，
由①知，，
∴，
∵，
，
∴，
故答案为：；
（2）如下图，在和中，设与交于点；
∵∠，，
∴；
∵，
即，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，．
（3）①如下图所示，当直线经过点B且点C在线段上时；
在中，，；
过点O作的垂线，垂足为；
∴；
∵；
∴；
∴，；
在中，由勾股定理得；
；
∴；
∵；
∴；
即；
②如下图所示，∵，；
∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且；
要想求出点到直线的最大值，动点距离直线越远越好，
从下图可以看出，点的轨迹也是圆，点运动极限位置取决于的最大值；
∵，；
∴的最大值取得当且仅当时；
即在中；
；
∴；
过点作的垂线，垂足为；
∴；
即线段即为所求；
在中；
；
∵；
∴；
∵；
∴；
；
∴；
∴M点到直线距离的最大值为．
【点睛】本题主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性质综合，特殊直角三角形为背景的相似三角形的判定和性质综合，利用特殊角的三角函数解三角形，圆轨迹动态下求线段的最值，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等，数量掌握相似三角形的判定，特别是两边对应成比例，夹角相等类的，对于求点到直线最值类型要注意动点的轨迹寻找和影响最值的主要因素，进而综合判定求解是解题的关键．
28. 如图，抛物线经过两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）是抛物线在第一象限上的一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线上有一点（点不与点重合），使得点与点到直线的距离相等，请直接写出点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】(1)将代入解析式，即可得出解析式；
(2)首先判断出存在，设点的横坐标为，即可得到点的纵坐标为，再分情况讨论，当 时,当 时，得出 ，分别求出点的坐标即可；
(3)过点作直线交轴于点，交抛物线于点，根据两条平行线间的距离相等，可得点与到的距离相等，将向下平移的长，交轴于点，同理直线与抛物线的交点也是符合条件的点．
小问1详解】
将，代入解析式得
，解得 ，
∴此抛物线的解析式为；
【小问2详解】
存在．
如图，设点的横坐标为，
∵是抛物线在第一象限上一动点，
，
则点的纵坐标为，
当时，，，
又∵,
∴①当 时，，
即 ，
解得 (舍去),
∴；
②当 时，，
即
解得 (均不合题意，舍去)，
∴当时，，
综上所述，符合条件的点的坐标为；
【小问3详解】
设直线的解析式为,
∵直线过点，
，解得 ，
∴直线的解析式为 ，
过点作交轴于点，设直线的解析式为，
∵直线过点，
，
∴直线的解析式为，
，解得 (舍去) ，，
∴;
将直线向下平移的长度交轴于点，
则点的坐标为，
同理求得的解析式为，
联立，解得
；
∴点的坐标为或或
【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，要学会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形.会通过直线的平移解决两条平行线间的距离相等的问题
答对数（题）
6
7
8
9
人数
12
26
18
销售单价（元）
40
60
80
日销售量（件）
80
60
40