山东省东营市广饶县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省东营市广饶县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了数学试题答题卡共4页等内容，欢迎下载使用。

（总分：130分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，100分；本试题共8页．
2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1. 下列几何体中，主视图是三角形的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案.
【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意；
B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意；
故选：A.
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键.
2. 将抛物线y=2x2向左平移3个单位，在向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）
A. y=2(x-3)2-5B. y=2(x+3)2-5
C. y=2(x-3)2+5D. y=2(x+3)2+5
【答案】B
【解析】
【分析】先确定抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-3，-5），然后根据顶点式写出平移得到的抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向左平移3个单位，再向下平移5个单位所得对应点的坐标为（-3，-5），所以平移得到的抛物线的表达式为y=2（x+3）2-5．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3. 经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法表示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
【详解】解：解：画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中恰有一车直行，另一车左拐的结果数为，所以恰有一车直行，另一车左拐的概率为 ，
故选D．
4. 如图，在中，，，，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠B=，然后根据科学计算器的应用进一步计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：tan∠B=，
∴AC=BC∙tanB=8∙tan42°，
先输入8，然后×，tan符号，再输入角度42最后=得出结果．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正切三角函数的定义，及其用计算器求值，熟练掌握相关概念，和计算器使用方法和输入的顺序是解题关键．
5. 如图，AB是的直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，灵活运用以下定理是解题的关键：①直径所对的圆周角等于；②同弧或等弧所对的圆周角相等．由同弧或等弧所对的圆周角相等可求得，由直径所对的圆周角是直角即可求得结果．
【详解】解：连接，
∵AB是的直径，
∴，
又∵，
∴，
故选A．
6. 已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．
【详解】解：反比例函数中，，
反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
点、、都在反比例函数的图象上，
、在第三象限内，在第一象限内，
，，，
，
，
故选：C．
7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A. 214°B. 215°C. 216°D. 217°
【答案】C
【解析】
【分析】由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数．
【详解】解：由圆锥的高为4，底面直径为6，
可得母线长，
圆锥的底面周长为：，
设圆心角的度数为n，
则，
解得：，
故圆心角度数为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．
8. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质．
【详解】若，则反比例函数的图象分别在第二、四象限，一次函数的图像经过一、二、四象限；
若，则反比例函数的图象分别在第一、三象限，一次函数的图像经过一、三、四象限；
符合的为选项D，
故选D．
9. 如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过B作于点D，根据勾股定理得出的值，再利用面积公式求出的值，由可得角的正弦值．
【详解】解：如图，过B作于点D
根据勾股定理得：
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理与网格,三角形的面积等知识点，解题的关键在于构造直角三角形．
10. 如图二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象得出下列结论：①且；②；③关于x的方程的两根分别为和1；④若点均在二次函数图象上，则：⑤，其中正确的结论有( )个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与轴的交点可判断①；由抛物线过点，即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得由抛物线过点可判断⑤．
【详解】解：抛物线对称轴在轴的左侧，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，①正确；
抛物线经过，
，②正确．
抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
另一个交点为，
关于的一元二次方程的两根分别为和，③正确；
，抛物线开口向下，
，④错误．
抛物线与轴的一个交点坐标为，，
，
，
，
，⑤错误．
故正确的有：①②③，共个，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．
11. 若反比例函数的图象经过点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考核反比例函数的解析式，解题的关键是直接把点代入反比例函数的解析式，即可求出k的值．
【详解】解：把代入得：，
故答案为：．
12. 已知二次函数的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数顶点坐标的求法是解答本题的关键．关于二次函数的顶点式，顶点坐标为．根据二次函数的顶点式，即得顶点坐标．
【详解】二次函数的顶点坐标是．
故答案为：．
13. 如图，点A，B，C在半径为2的上，若，则弦______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，证明为等边三角形即可，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
【详解】解：∵，且，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：．
14. 如图，和两幢楼在同一水平面上．楼高30米．从楼的顶部A测得楼的底部C的俯角为，顶部D的仰角为，则楼的高度是______米．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．
【详解】解：如图，过点A作于点E，则四边形是矩形，

∴米，
∴（米），
∵，
∴（米），
∴米，
故答案为：．
15. 已知点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝-（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanA的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN．由反比例函数系数k的几何意义得出，进而可根据相似三角形的性质和角的正切的定义得出结论．
【详解】如图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
由作图可知∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵OA⊥OB．
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠OAM=∠BON，
∴△AOM∽△OBN，
∵点A、B分别在反比例函数，的图象上，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求角的正切值．正确作出辅助线是解答此题的关键．
16. 用若干个同样大小的正方体搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少需要______个小正方体．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是从俯视图入手思考所需的立方体个数．
根据主视图和俯视图求解即可．
【详解】解：由题意可得，底层有7个，中间层至少有2个，第三列1个，所以至少有10个．
故答案为：10．
17. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长），则这个围栏的最大面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
墙长，
即
矩形围栏的面积为，
，，
∴图象开口向下，，
当时，矩形有最大面积，
故答案为：30．
18. 如图，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中的圆心为点A，半径为；的圆心为点B，半径为；的圆心为点C，半径为；的圆心为点D，半径为；…，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D循环，当时，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了弧长的计算，曲线是由一段段的弧组成的，半径每次比前一段弧半径加1，求出，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：由图可知，曲线是由一段段的弧组成的，
，，，，，
……
以此类推，半径每次比前一段弧半径加1，
，，
，
，
故答案为：．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19. （1）计算：；
（2）如图，在中，，，，求的长．

【答案】（1）2；（2）6
【解析】
【分析】本题考查含特殊角三角函数值的混合运算和解直角三角形：
（1）先代入特殊角三角函数值，再根据实数混合运算法则计算即可；
（2）根据余弦三角函数求出，再根据勾股定理求的长．
【详解】解：（1）
（2）中，，，，
，
．
20. 2023年，央视举办的《主持人大赛》受到广泛的关注．某中学学生会就对《主持人大赛》节目的喜爱程度在校内对部分学生进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”“比较喜欢”“感觉一般”“不太喜欢”四个等级，分别记作A，B，C，D．根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整，并标明数据；
（2）扇形统计图中被调查者“比较喜欢”等级所对应圆心角的度数为______；
（3）若选“不太喜欢”的人中有两名女生和两名男生，从选“不太喜欢”的人中挑选两名学生了解不太喜欢的原因，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图、利用树状图求概，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据等级的人数除以占的百分比求出调查的学生数，再求出等级以及等级的人数，再补全统计图即可；
（2）用乘以比较喜欢所占的百分比即可；
（3）利用树状图列出所有结果即可得到所求的概率．
【小问1详解】
解：本次被调查对象共有：（人，
被调查者“比较喜欢”B等级人数有：（人；
等级的人数有：（人，
补充完整如图所示；
【小问2详解】
解：由（1）可知等级B的人数为20人，
则扇形统计图中被调查者“比较喜欢”等级所对应圆心角的度数为
故答案为：；
【小问3详解】
解：两名女生记为、，两名男生记为、，用树状图表示从四名学生中任取两名学生的情况如图所示：
从四名学生中任取两名学生的情况共有12种结果，
而这两名学生恰好是一男一女的共有8种结果，
故所求的概率为．
21. 如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
【答案】（1）画图见解析；（2）DE=4
【解析】
【分析】（1）连接CB延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求．
（2）根据，可得 ，即可推出DO=4m．
【详解】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得，，
∴，
∴OD=4m，
∴灯泡的高为4m．
【点睛】本题考查中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．
22. 海岛A的周围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东，航行后到达点D处，在D处又测得海岛A位于北偏东．如果渔船不改变航向继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？
【答案】没有触礁的危险
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用.在一般三角形中，求三角形的高或边的问题可转化为解直角三角形的问题，解决方法便是作高线.此题中便是通过添加辅助线，通过求解的长使得问题简单化．
【详解】过点A作，垂足为D．
根据题意可知，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
∴．
由于，
所以渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
23. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论；
（2）如图：连接，有圆周角定理可得，再解直角三角形可得，进而得到，然后说明，最后根据弧长公式即可解答．
【小问1详解】
证明：如图：连接

∵，
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴。
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：如图：连接
∵是的直径，
∴,
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，．

（1）求反比例函数与一次函数的函数表达式；
（2）请结合图像直接写出不等式解集；
（3）若点P为x轴上一点，的面积为10，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=x+1；
（2）-3≤x＜0或x≥2；
（3）P的坐标是（-5，0）或（3，0）．
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数y=的图象经过B（2，3），利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得A的坐标，根据A、B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据A、B的坐标，结合图象即可求得；
（3）根据三角形面积求出DP的长，根据D的坐标即可得出P的坐标．
【小问1详解】
解：∵反比例函数y=的图象经过B（2，3），
∴m=2×3=6．
∴反比例函数的解析式为y=．
∵A（-3，n）在y=上，所以n==-2．
∴A的坐标是（-3，-2）．
把A（-3，-2）、B（2，3）代入y=kx+b．得：
，解得，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
【小问2详解】
解：由图象可知：不等式kx+b≥的解集是-3≤x＜0或x≥2；
【小问3详解】
解：设直线与x轴的交点为D，

∵把y=0代入y=x+1得：0=x+1，
x=-1，
∴D的坐标是（-1，0），
∵P为x轴上一点，且△ABP的面积为10，A（-3，-2），B（2，3），
∴DP×2+DP×3=10，
∴DP=4，
∴当P在负半轴上时，P的坐标是（-5，0）；
当P在正半轴上时，P的坐标是（3，0），
即P的坐标是（-5，0）或（3，0）．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力．
25. 某商场购进一批单价为80元的商品，如果按每件100元出售，一天可售出100件．经市场调查发现，这种商品的销售单价（不低于进价）每降低1元，其销售量可增加10件．设销售单价为x元，每天销售量为y个，每天可获销售利润w元．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数表达式（写出x的取值范围）；
（2）当销售单价是多少元时，商场经营该商品一天可获销售利润最大？最大利润是多少？
（3）当销售单价x取何值时，商场一天可获利润不少于2160元？
【答案】（1），
（2）销售单价为元时，每天可获得最大利润，最大利润为元
（3）销售单价不低于92元而不高于98元时，商场获利润不少于元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为二次函数求解，注意配方法求二次函数最值的应用．
（1）首先根据商品每件售价元时，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）得出的函数关系式，根据利润=销售量单价价成本列出函数关系式，利用配方法求出函数的最大值即可解题；
（3）根据题意作出图象，求出当时, 的取值范围即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，商品每件售价元时，
销售量为，
∵销售单价不低于进价，
∴，
【小问2详解】
，
，
∴开口向下，函数有最大值，
即当 时,有最大值，
故销售单价为元时，每天可获得最大利润，最大利润为元；
【小问3详解】
由（2）知:，
当 时,即
解得：，
即 时，，
答: 当销售单价不低于92元而不高于98元时，商场获利润不少于元．
26. 如图，抛物线的图象经过点，交轴于点(点在点左侧)，连接直线与轴交于点与上方的抛物线交于点与交于点．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）存在，当时，有最大值且最大值为，此时点的坐标为．
【解析】
【分析】（1）直接将代入求出a，即可确定抛物线解析式；然后令y=0求得x的值，再结合已知即可确定A、B的坐标；
（2）作轴，交于点，由平行线等分线段定理可得；再根据题意求出D点坐标和CD的长，可得；然后再根据B、C的坐标求出直线BC的解析式；再设，则，运用两点间距离公式求得EG，然后再代入，根据二次函数的性质即可说明
【详解】解：把代入，即，解得
∴抛物线解析式为
令
可得:
∴；
存在，
如图，由题意，点在轴的右侧，作轴，交于点

直线与轴交于点
∴，
设所在直线的解析式为，
将代入上述解析式得：
解得:
的解析式为
设
则，其中.
∴抛物线开口方向朝下
∴当时，有最大值，最大值为.
将t=2代入=-2+3+2=3
∴点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了求一次函数和二次函数解析式、平行线等分线段定理以及运用二次函数的性质求最值，掌握平行线等分线段定理是解答本题的关键．