黄金卷02-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）

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1、锻炼学生的心态。能够帮助同学们树立良好的心态，增加自己的自信心。
2、锻炼学生管理时间。通过模拟考试就会让同学们学会分配时间，学会取舍。
3、熟悉题型和考场。模拟考试是很接近高考的，让同学们提前感受到考场的气氛和布局。
高考的取胜除了平时必要的学习外，还要有一定的答题技巧和良好心态。此外，通过模拟考试还能增强学生们面对高考的信心，希望考生们能够重视模拟考试。
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．若曲线y=e2ax在点0,1处的切线与直线2x−y+1=0垂直，则a的值为（ ）
A．−14B．−12C．12D．1
【答案】A
【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值.
【详解】由题设，知(0,1)处的切线的斜率为k=−12，
又因为y'=2a⋅e2ax，
所以y'|x=0=2a=−12，解得a=−14.
故选：A.
2．甲､乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（ ）
A．36B．72C．144D．288
【答案】B
【分析】先求出第一排有2人来自甲校，1人来自乙校，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数. 同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数.然后根据分类加法计数原理，相加即可得出答案.
【详解】第一排有2人来自甲校，1人来自乙校：
第一步，从甲校选出2人，有C32=3种选择方式；
第二步，2人站在两边的站法种数有A22=2；
第三步，从乙校选出1人，有C31=3种选择方式；
第四步，第二排甲校剩余的1人站中间，乙校剩余的2人站在两边的站法种数有A22=2.
根据分步乘法计数原理可知，不同的站法种数有3×2×3×2=36.
同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数有36.
根据分类加法计数原理可知，不同的站法种数有36+36=72.
故选：B.
3．设1+x+(1+x)2+⋯+(1+x)7+(1+x)8=a0+a1x+⋯+a7x7+a8x8，则a2=（ ）
A．84B．56C．36D．28
【答案】A
【分析】根据给定的展开式特征，列出a2的表达式，再利用组合数性质计算作答.
【详解】依题意，a2=C22+C32+⋯+C82=C33+C32+⋯+C82=C43+C42+⋯+C82=⋯=C83+C82=C93=84.
故选：A
4．某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为ξ，当E(ξ)=10时，10名人员均为阴性的概率为（ ）
A．0.01B．0.02C．0.1D．0.2
【答案】C
【分析】依据题意写出随机变量ξ的的分布列，利用期望的公式即可求解.
【详解】设10人全部为阴性的概率为p，混有阳性的概率为1−p，
若全部为阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，
则随机变量ξ的分布列
Eξ=p+111−p=10 ，解得p=0.1，
故选：C.
5．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉D10,2后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变小B．决定系数R2变小
C．残差平方和变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
【答案】D
【分析】从图中分析得到去掉D10,2后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可．
【详解】从图中可以看出D10,2较其他点，偏离直线远，故去掉D10,2后，回归效果更好，
对于A，相关系数r越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉D10,2后，相关系数r变大，故A错误；
对于B，决定系数R2越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉D10,2后，决定系数R2变大，故B错误；
对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉D10,2后，残差平方和变小，故C错误；
对于D，若去掉D10,2后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确．
故选：D．
6．已知事件A,B满足PA=0.5，PB=0.2，则（ ）
A．若B⊆A，则PAB=0.5
B．若A与B互斥，则PA+B=0.7
C．若A与B相互独立，则PAB=0.9
D．若PB|A=0.2，则A与B不相互独立
【答案】B
【分析】根据事件的包含关系，互斥事件的概率加法，以及独立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，若B⊆A，则PAB=P(B)=0.2，所以A错误；
对于B，若A与B互斥，则PA+B=P(A)+P(B)=0.7，所以B正确；
对于C，若A与B相互独立，可得A与B相互独立，
所以PAB=P(A)⋅P(B)=(1−0.5)(1−0.2)=0.4，所以C错误；
对于D，由PB|A=0.2，可得PB|A=P(AB)P(A)=P(AB)0.5=0.2，
所以P(AB)=0.1，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以A与B相互独立，所以D错误.
故选：B.
7．某人在n次射击中击中目标的次数为X，X∼Bn,p，其中n∈N∗,00，
故fx在x∈0,x0上单调递减，在x∈x0,+∞上单调递增，
所以fxmin=fx0=x0lnx0+x02−mx0+e2−x0≥0②，
由f'x0=0得lnx0+2x0+1−m−e2−x0=0①，
即m=lnx0+2x0+1−e2−x0，代入②得，x0lnx0+x02−lnx0+2x0+1−e2−x0x0+e2−x0≥0，
整理得x0+1e2−x0−x0≥0
∵x0+1>0，
∴e2−x0≥x0，
∴lnx0≤2−x0，
m=lnx0+2x0+1−e2−x0≤2−x0+2x0+1−x0=3，
故m的最大值为3.
故答案为：3
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：cm）与父亲身高x（单位：cm）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
(2)记ei=yi−yi=yi−bxi−a,(i=1,2,⋯,n)，其中yi为观测值，yi为预测值，ei为对应xi,yi的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.
参考数据及公式：i=15xi=880,i=15xi2=155450,i=15yi=885,i=15xiyi=156045
b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx.
【答案】(1)y=0.5x+89，x178时，儿子比父亲矮，
儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.
(2)0；任意具有线性相关关系的变量i=1nei=0，证明见解析
【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程，解不等式可得到结论；
（2）结合题中数据进行计算，可求得儿子身高的残差的和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明.
【详解】（1）由题意得x=160+170+175+185+1905=176,y=170+174+175+180+1865=177，b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2=156045−5×176×177155450−5×1762=156045−155760155450−154880=285570=0.5，a=y−bx=177−0.5×176=89，所以回归直线方程为y=0.5x+89，
令0.5x+89−x>0得x−a，就−10，函数sx单调递增，
所以函数sx在x=0时取得最小值1−a，
所以当a1时，1−a1，则u'a=ea−2>0，
故ua在1,+∞上为增函数，故ua>u(1)=e−2>0，
故sx有两个零点即方程fx=x有两个实数解.
（2）由题意可知，
不等式fx≥gx可化为，ex−a≥lnx+a,x>−a，
即当x≥1时，ex−lnx+a−a≥0恒成立，
所以−a−1，
令ℎx=ex−lnx+a−a,ℎ'x=ex−1x+a，
则ℎ'x在1,+∞上单调递增，而ℎ'1=e−11+a，
当ℎ1≥0即a≥−1+1e时，ℎ'x≥0,ℎx在1,+∞上单调递增，
故ℎxmin=ℎ1=e−ln(1+a)−a，
由题设可得e−ln(1+a)−a≥0a>−1e，
设va=e−ln(1+a)−a，则该函数在−1e,+∞上为减函数，
而ve−1=0，故−1e1+e>a，故−11
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据x≥2,02−k，
等价于x1+x3>1+k，构造函数从而证明qx3>q1+k−x1，即证e1−x1−1+lnx10；当x∈1,2,g'x0，则cx1+k−2k=1−k，
所以x1x3>2−k，所以原命题得证.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
21．5G网络是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.已知某精密设备制造企业加工5G零件，根据长期检测结果，得知该5G零件设备生产线的产品质量指标值服从正态分布Nμ,σ2.现从该企业生产的正品中随机抽取100件､测得产品质量指标值的样本数据统计如图.根据大量的产品检测数据，质量指标值样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值.已知质量指标值不低于70的样品数为25件.
附：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
(1)求x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若质量指标值在[54,84]内的产品称为优等品，求该企业生产的产品为优等品的概率；
(3)已知该企业的5G生产线的质量控制系统由n(n∈N,n≥3)个控制单元组成，每个控制单元正常工作的概率为p(00，即a>2时，由f'(x)>0，得0