2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题四　第3讲　空间向量与空间角44

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考点一 异面直线所成的角
核心提炼
设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，异面直线l与m的夹角为θ.
则(1)θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；
(2)cs θ＝|cs〈a，b〉|＝eq \f(|a·b|,|a||b|)
＝eq \f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\\al(2,1)＋b\\al(2,1)＋c\\al(2,1))\r(a\\al(2,2)＋b\\al(2,2)＋c\\al(2,2))).
例1 (1)如图，已知圆柱O1O2的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E为下底面圆周上一点，满足eq \x\t(BE)＝2eq \x\t(AE)，则异面直线AE与BO1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(5),10) C.eq \f(\r(3),10) D.eq \f(\r(2),10)
(2)(2023·吉安模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，G为线段B1D1上的动点，则异面直线AG与EF所成角的最大值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(5π,12)
规律方法 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
跟踪演练1 (1)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC＝AB＝2，BC＝2eq \r(2)，Q为A1B1的中点，E为AQ的中点，F为BC1的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为( )
A．－eq \f(\r(39),39) B.eq \f(\r(39),39) C．－eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3)
(2)(2023·石嘴山模拟)在正四面体ABCD中，M，N分别为AC，AD的中点，则异面直线BM，CN所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,6)
考点二 直线与平面所成的角
核心提炼
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，
则(1)θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；(2)sin θ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
例2 (2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝eq \r(3).
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成角的正弦值．
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易错提醒 (1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉＋θ＝eq \f(π,2)或〈a，n〉－θ＝eq \f(π,2)，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值．
(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心．
跟踪演练2 (2023·泉州模拟)如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2B1C1＝2，D是AC的中点，E是BC的中点．
(1)证明：AB1∥平面DEC1；
(2)已知AB⊥BC1，CC1⊥平面ABC.求直线BC1与平面DEC1所成角的正弦值的最大值．
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考点三 平面与平面的夹角
核心提炼
设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ，
则(1)θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；
(2)cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
例3 (2023·新高考全国Ⅰ)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
(1)证明：B2C2∥A2D2；
(2)点P在棱BB1上，当二面角P－A2C2－D2为150°时，求B2P.
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易错提醒 平面与平面夹角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，两向量夹角的取值范围是[0，π]，两平面的夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补．
跟踪演练3 (2023·新高考全国Ⅱ改编)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))，求平面ABD与平面ABF夹角的正弦值．
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