2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题四　第1讲　空间几何体46

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[考情分析] 空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．
考点一 空间几何体的折展问题
核心提炼
空间几何体的侧面展开图
(1)圆柱的侧面展开图是矩形．
(2)圆锥的侧面展开图是扇形．
(3)圆台的侧面展开图是扇环．
例1 (1)(2023·郴州模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为10和5，侧面积为300π，AB为圆台的一条母线(点B在圆台的上底面圆周上)，M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面一周爬行到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为( )
A．30 B．40 C．50 D．60
(2)(2023·深圳模拟)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝eq \r(3)，AB＝1，AD＝1，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cs∠FCB等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(3,4)
规律方法 空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边．
跟踪演练1 (1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是( )
A．C∈GH
B．CD与EF是共面直线
C．AB∥EF
D．GH与EF是异面直线
(2)(2023·鞍山模拟)如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝8，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为( )
A．6eq \r(2) B．6eq \r(3) C．8eq \r(2) D．8eq \r(3)
考点二 表面积与体积
核心提炼
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．
2．空间几何体的体积公式
(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)．
(2)V锥＝eq \f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)．
(3)V台＝eq \f(1,3)(S上＋eq \r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下分别为上、下底面面积，h为高)．
(4)V球＝eq \f(4,3)πR3(R为球的半径)．
例2 (1)(2023·潍坊模拟)如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为eq \f(π,3)的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为eq \f(1,3)，则圆台的侧面积为( )
A.eq \f(8π,3) B.eq \f(\r(35)π,2) C.eq \f(16π,3) D．8π
(2)(2023·全国甲卷)在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq \r(6)，则该棱锥的体积为( )
A．1 B.eq \r(3) C．2 D．3
规律方法 空间几何体的表面积与体积的求法
(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．
(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体．
(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．
跟踪演练2 (1)(2023·贵阳统考)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，则四棱锥B－A1EFC1的体积为( )
A.eq \f(2,3) B．1 C.eq \f(4,3) D.eq \f(7,3)
(2)(多选)(2023·连云港调研)折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征(如图1)．图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且∠ABC＝eq \f(2π,3)，则该圆台( )
A．高为eq \f(2\r(2),3)
B．表面积为eq \f(34π,9)
C．体积为eq \f(52\r(2)π,81)
D．上底面面积∶下底面面积∶侧面积＝1∶9∶24
考点三 多面体与球
核心提炼
求空间多面体的外接球半径的常用方法
(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可．
例3 (1)(2023·聊城模拟)某正四棱台形状的模型，其上、下底面的面积分别为2 cm2，8 cm2，若该模型的体积为14 cm3，则该模型的外接球的表面积为( )
A．20π cm2 B．10π cm2
C．5π cm2 D.eq \f(5π,2) cm2
(2)(2023·全国甲卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________．
规律方法 (1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解．
(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径．
跟踪演练3 (1)若三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，三棱锥S－ABC的体积为eq \f(3\r(3),2)，则三棱锥S－ABC的外接球的体积为( )
A.eq \f(4π,3) B.eq \f(16π,3) C.eq \f(26π,3) D.eq \f(32π,3)
(2)(2023·潍坊模拟)在半径为1的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的母线长为________．