2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题三　规范答题3　数　列47

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(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
[切入点：把a1，d代入计算]
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
[关键点：由{bn}等差可得b1，b2，b3等差，由等差数列的
性质把S99－T99换成a50与b50的关系式]
解 (1)∵3a2＝3a1＋a3，
eq \x(∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，)❶(1分)
∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，an＝a1＋(n－1)d＝nd，
eq \x(又T3＝b1＋b2＋b3＝\f(2,d)＋\f(6,2d)＋\f(12,3d)＝\f(9,d)，)❷(3分)
∴S3＋T3＝6d＋eq \f(9,d)＝21，即2d2－7d＋3＝0，
解得d＝3或d＝eq \f(1,2)(舍去)，(4分)
∴an＝nd＝3n.(5分)
(2)eq \x(\a\vs4\al\c1(∵{bn}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，, 即\f(12,a2)＝\f(2,a1)＋\f(12,a3)，))❸
∴6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)－\f(1,a3)))＝eq \f(6d,a2a3)＝eq \f(1,a1)，即aeq \\al(2,1)－3a1d＋2d2＝0，
解得a1＝d或a1＝2d，(7分)
∵d>1，∴an>0，
又S99－T99＝99，
eq \x(\a\vs4\al\c1(由等差数列的性质知，,99a50－99b50＝99，,即a50－b50＝1，))❹(9分)
∴a50－eq \f(2 550,a50)＝1，即aeq \\al(2,50)－a50－2 550＝0，
解得a50＝51或a50＝－50(舍去)．(10分)
eq \x(\a\vs4\al\c1(当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，, 解得d＝1，与d>1矛盾，无解；))❺(11分)
eq \x(\a\vs4\al\c1(当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，, 解得d＝\f(51,50).))❻
综上，d＝eq \f(51,50).(12分)
①②处代入a1，d计算
③处由{bn}为等差数列得b1，b2，b3的关系，找a1，d的关系
④处由等差数列的性质把等差数列的前n项和换成通项
⑤⑥处分类讨论求d