浙江省台州市路桥区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份浙江省台州市路桥区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：120分 考试时间：120分钟）
温馨提示：本卷分试题卷和答题卷两部分，答案一律做在答题卷上，做在试题卷上无效．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此即可一一判定．
【详解】解：A、是一元一次方程，故该选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、一元二次方程，故该选项符合题意；
故选：D．
2. 下列事件为随机事件的是( )
A. 太阳从东边升起B. 抛掷一枚骰子，向上一面的点数为7
C. 经过红绿灯路口，遇到红灯D. 任意画一个三角形，它的内角和等于180°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了随机事件．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A、太阳从东边升起，是必然事件，故本选项不符合题意；
B、抛掷一枚骰子，向上一面的点数为7，属于不可能事件，故本选项不符合题意；
C、经过红绿灯路口，遇到红灯，属于随机事件，故本选项符合题意；
D、任意画一个三角形，它的内角和等于180°，属于必然事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
3. 抛物线的顶点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，正确确定抛物线的顶点是解此题的关键.先确定抛物线的顶点，再确定点的位置．
【详解】解：抛物线的顶点是，
故顶点在第三象限，
故选：C．
4. 如果反比例函数的图象经过点，那么下列各点在这个函数图象上的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的图象经过，可以得到k的值，从而可以判断各个选项是否符合题意．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∵，∴选项A符合题意；
∵，∴选项B不符合题意；
∵，∴选项C不符合题意；
∵，∴选项D不符合题意；
故选：A．
5. 若扇形的半径是10cm，圆心角为54°，则该扇形的弧长是( )
A. 2πcmB. 3πcmC. 6πcmD. 15πcm
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求弧长．根据公式，直接代入进行计算即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
故选：B．
6. 某学校图书馆2021年图书借阅总量是5000本，2023年图书借阅总量是7200本，设该图书馆的图书借阅总量的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据2023年图书借阅总量2021年图书借阅总量列出方程即可得．
【详解】解：由题意，可列方程为，
故选：D．
7. 如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与x轴的一个交点是，则不等式的解集是( )
A. 或B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．先根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点，再根据图象法求解即可．
【详解】解：∵二次函数对称轴为直线，其与x轴一交点为，
∴二次函数与x轴的另一个交点为，
∴由函数图象可知，当或时，，
∴不等式的解集是或，
故选：A．
8. 如图，在平行四边形中，点在上，与交于点，若，的面积为，则的面积是（ ）
A. 30B. 27C. 12D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形，相似三角形．解题关键是熟练掌握平行四边形的对边平行且相等的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形对边平行得到，根据，得到，推出，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴．
故选：B．
9. 如图，正方形的边长为，点在上，若以为直径的与相切，则的长为( )
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令切点，连接、相交于点，由切线的性质得，由正方形的性质得，从而得，，，于是，，在中利用勾股定理即可得解．
【详解】解：令切点，连接、相交于点，
∵与相切，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴即，
解得，
故选∶．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、切线的性质、垂线定义、平行线分线段成比例定理以、勾股定理及三角形的中位线性质，熟练掌握切线的性质、垂线定义以及平行线分线段成比例定理是解题的关键．
10. 如图，在等腰三角形中，，点D在上，连接，把绕点A逆时针旋转得到，使，连接，若，，则的长为( )
A. B. C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先证明，得到，推出，再证明，据此即可求解．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，即，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 在每一个象限内，反比例函数随x的增大而增大，则k的值可以是______．（填写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的增减性．根据反比例函数的性质，每一象限内，都随的增大而增大，则即可．
【详解】解：∵反比例函数，每一象限内，都随的增大而增大，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=42﹣4a=16﹣4a=0，
解得：a=4．
故答案为4．
13. “头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为________．（精确到0.01）
【答案】0.96
【解析】
【分析】运用频率估计概率即可．
【详解】观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥1000时，合格头盔的频率稳定在0.960附近，所以可取p=0.96作为该型号的合格率．
故答案为：0.96
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的相关知识是解题的关键．
14. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠ADE的度数为_____．
【答案】40°
【解析】
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAD＝∠CAE＝100°，∠B＝∠ADE，AB＝AD，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠B的度数，从而得到∠ADE的度数．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，点D在线段BC的延长线上
∴∠BAD＝∠CAE＝100°，∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣100°）＝40°，
∴∠ADE＝40°．
故答案为40°．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
15. 如图，正六边形内接于，点P在弦上，若的半径为2，则阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定．连接，，，证明四边形是矩形，推出阴影部分的面积为矩形的一半，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，，，

依题意可知，，，
∴四边形是平行四边形，
，，
，，
∴四边形是矩形，
∴阴影部分的面积为矩形的一半，
∴与经过点，
∴，，，
∴，，，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
16. 已知点和点都在抛物线上．
（1）若，则______；
（2）若，则k的取值范围是______．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．（1）先求得抛物线的对称轴为直线，由，得到，据此求解即可；（2）由，求得；由，得到，求得或，据此求解即可．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴点和点关于直线对称，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）当时，
∵，
∴，
解得；
∵，
∴，
整理得，即，
∴或，
解得或，
综上或．
故答案为：或．
三、解答题（本题共8小题，其中第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）
17. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）根据因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
或，
∴，；
【小问2详解】
解：，
∴或，
∴，．
18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点，的坐标分别是．
（1）作出关于原点对称的，其中点的对称点为点；
（2）直接写出点，的坐标．
【答案】（1）作图见解析；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查基本作图中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质是解答的关键．
（）根据网格结构找出点、的对应点、的位置，然后顺次连接即可；
（）根据所作图形得出点，坐标．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
；
【小问2详解】
解：由图可得，．
19. 电动汽车有零排放、低噪音及用车成本低等优点．在某次环保宣传活动中，主办单位计划在A，B，C，D，E五辆电动汽车中随机选出部分车辆作为宣传车．
（1）若只选出一辆电动汽车作为宣传车，则选到电动汽车C的概率是______；
（2）若先在电动汽车A，B，C中选出一辆，再在电动汽车D，E中选出另一辆，将这两辆汽车作为宣传车，请用列表或画树状图的方法，求选到电动汽车B，D的概率．
【答案】（1）
（2）选到电动汽车B，D的概率为．
【解析】
【分析】本题考查了概率求法；
（1）直接根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可求得选到电动汽车B，D的概率．
【小问1详解】
解：在五辆电动汽车中，选到电动汽车C的概率为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的情况，其中选到电动汽车B，D的只有1种情况，
∴选到电动汽车B，D的概率为．
20. 电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．下表是它们的部分对应值：
（1）在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个函数能反映波长与频率的变化规律？并求出与的函数解析式；
（2）当电磁波的频率不超过时，波长至少是多少米？
【答案】（1）；
（2）波长至少是米．
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值，反比例函数的性质等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
（）根据可判断反比例函数能反映波长与频率的变化规律，设解析式为，用待定系数法求解即可；
（）解方程，由反比例函数的性质即可得解．
【小问1详解】
解：∵，
∴反比例函数能反映波长与频率的变化规律，
设波长关于频率的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵当电磁波的频率为时，
∴，
解得：，
由反比例函数的性质知，当电磁波的频率不超过时，，
答：波长至少是米．
21. 如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转得到，点C的对应点D落在上，连接．
（1）若，求的长；
（2）若D为的中点，求证：是等边三角形．
【答案】（1）；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定．
（1）由勾股定理求得，由旋转的性质得，，求得，再根据勾股定理即可求解；
（2）由旋转的性质推出是线段的垂直平分线，得到，即可证明是等边三角形．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由旋转的性质得，，
∵D为的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
22. 根据以下素材，探索解决问题．
【答案】任务1：见解析；任务：还需要测出的长，；任务：．
【解析】
【分析】任务，根据两角相等的两个三角形相似可证明；
任务，还需要测出的长，令，证明，得即，从而即可得解；
任务，过作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，进而得，，，证，得即，求解即可得解．
【详解】任务：证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
任务：还需要测出的长，令，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴；
任务：过作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
23. 为了方便游客，某湿地公园开设了A，B两个观光车租赁点，每个租赁点均有观光车50辆，两个租赁点一天租出观光车数量都为x辆．A租赁点每辆观光车的日租金p（元）与x的函数关系式为，且当元时，观光车可全部租出；B租赁点每辆观光车的日租金固定为350元，A，B两个租赁点一天的租金收入分别为（元），（元）．
（1）求b的值，并分别写出，与x之间的函数解析式；
（2）设A租赁点一天的租金收入比B租赁点多w元，求w的最大值；
（3）为了让利租客，A租赁点决定，每租出一辆观光车返还给租客元现金红包，这样A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元，求a的值．
【答案】（1），；
（2）当时，有最大值，最大值为；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）当元时，观光车可全部租出，即，代入求解可求得；再根据租金收入=每辆观光车的日租金一天租出的观光车数量列式即可求解；
（2）根据题意得，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意得，再利用二次函数的性质得到，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
当元时，观光车可全部租出，即，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：根据题意得，
∵，且，
∴当时，有最大值，最大值为；
【小问3详解】
解：设A租赁点一天的租金收入比B租赁点一天的租金收入多元，
A租赁点一天的租金收入，
B租赁点一天的租金收入，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
∵A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元，
∴，即，
解得（舍去）或．
24. 如图，点在上，，垂足为点，连接，．
（1）如图1，若，则______；
（2）如图2，作，垂足为点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，交于点．
①求证：；
②若，，求半径的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理，，再由直角三角形两锐角互余，即得答案；
（2）根据“角角边”，证明，即得答案；
（3）①连结，先证明，进一步证明，得到，然后根据垂径定理，证明，即得证明结果；
②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得，进一步得到，然后根据相似三角形的性质得，设，再根据勾股定理列方程并求解，即得答案．
【小问1详解】
，
，
，
；
故答案为：．
【小问2详解】
，，
，
，，
，
．
【小问3详解】
①连结，
由（2）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②，，
，
，
，
由①得，
，
设，则，，
，
，
解得，
，
即半径的长为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键．抽查的头盔数n
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的头盔数m
95
194
289
479
769
960
2880
合格头盔频率
0.950
0.945
0.962
0.958
0.961
0.960
0960
频率f（MHz）
10
15
20
25
波长（m）
30
20
15
12
测量旗杆的高度
素材1
可以利用影子测量旗杆的高度．如右图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．
说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛离地面的距离．
素材2
可以利用镜子测量旗杆的高度．如右图，小陈同学从镜子中刚好可以看见旗杆的顶端，测得．
素材3
可以利用标杆测量旗杆的高度．如右图，点，，在同一直线上，标杆，测得，．
问题解决
任务1
分析测量原理
利用素材1说明的理由．
任务2
完善测量数据
在素材中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为，请你用含的式子表示出旗杆的高度．
任务3
推理计算高度
利用素材3求出旗杆的高度．