2022年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用） 专题16等腰三角形与直角三角形（共50题）【原卷版+解析】

这是一份2022年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用） 专题16等腰三角形与直角三角形（共50题）【原卷版+解析】，共78页。

1．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cmB．13cmC．8cm或13cmD．11cm或13cm
2．（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
3．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（ ）
A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）
5．（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（ ）
A．∠1＝∠2，∠1＜∠3B．∠1＝∠2，∠1＞∠3
C．∠1≠∠2，∠1＜∠3D．∠1≠∠2，∠1＞∠3
6．（2022•广元）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A．B．3C．2D．
7．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（ ）
A．超市B．医院C．体育场D．学校
8．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（ ）
A．B．C．2D．
9．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
10．（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9
11．（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
12．（2022•河北）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d＝，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
13．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
14．（2022•眉山）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．9B．12C．14D．16
15．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（ ）
A．2B．C．D．
16．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A．AB，BC，CAB．AB，BC，∠BC．AB，AC，∠BD．∠A，∠B，BC
18．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12B．9C．6D．3
19．（2022•宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（ ）
A．2B．3C．2D．4
20．（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD＝OEB．OE＝OFC．∠ODE＝∠OEDD．∠ODE＝∠OFE
21．（2022•达州）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝80°，则∠PNM等于（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
22．（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（ ）
A．B．C．4D．
24．（2022•遂宁）如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二．填空题（共15小题）
25．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ ．
26．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ．
27．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是 ．
28．（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为 ．
29．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 ．
30．（2022•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 cm．
31．（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝．现有周长为18的三角形的三边满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ．
32．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少 m（结果取整数，参考数据：≈1.7）．
33．（2022•山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为 ．
34．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 ．
35．（2022•孝感）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
36．（2022•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 ．
37．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．
38．（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝ 度．
39．（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为 ．
三．解答题（共11小题）
40．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
41．（2022•金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？
42．（2022•山西）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．
43．（2022•武汉）问题提出
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，点DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．
44．（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP＝NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
45．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求证：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求线段FC的长．
46．（2022•陕西）问题提出
（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 ．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．
47．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．
（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．
（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．
48．（2022•扬州）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DE⊥AD，交射线AB于点E．
（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；
①点E在线段AB的延长线上且BE＝BD；
②点E在线段AB上且EB＝ED．
（2）若AB＝6．
①当＝时，求AE的长；
②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值．
49．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．
（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．
（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．
②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．
50．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）
专题16等腰三角形与直角三角形（共50题）
一．选择题（共24小题）
1．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cmB．13cmC．8cm或13cmD．11cm或13cm
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解析】当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，
当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．
则三角形的周长为11cm或13cm．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2．（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解析】如图，
∵AB＝BC，∠C＝25°，
∴∠C＝∠BAC＝25°，
∵l1∥l2，∠1＝60°，
∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，
∵∠BEA＝∠C+∠2，
∴∠2＝95°﹣25°＝70°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，解决问题的关键是注意运用两直线平行，同旁内角互补．
3．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．
【解析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，
根据题意得：x+x+2x+20＝180，
解得：x＝40，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．
4．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（ ）
A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）
【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．
【解析】设AB与x轴交于点C，
∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，
∴AC＝AB＝3，
由勾股定理得：OC＝＝＝4，
∴点A的坐标为（4，3），
故选：D．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
5．（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（ ）
A．∠1＝∠2，∠1＜∠3B．∠1＝∠2，∠1＞∠3
C．∠1≠∠2，∠1＜∠3D．∠1≠∠2，∠1＞∠3
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．
【解析】∵DE为AB的中垂线，
∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，
∴∠B＝∠BAE，
∴∠1＝∠2，
∵∠EAC＞90°，
∴∠3+∠C＜90°，
∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，
∴∠1＞∠3，
∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．
6．（2022•广元）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A．B．3C．2D．
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用相似三角形的性质求出AE即可．
【解析】在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵BD＝CB＝6，
∴AD＝AB＝BC＝4，
由作图可知EF垂直平分线段AD，
∴AF＝DF＝2，
∵∠A＝∠A，∠AFE＝∠ACB＝90°，
∴△AFE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（ ）
A．超市B．医院C．体育场D．学校
【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．
【解析】如右图所示，
点O到超市的距离为：＝，
点O到学校的距离为：＝，
点O到体育场的距离为：＝，
点O到医院的距离为：＝，
∵＜＝＜，
∴点O到超市的距离最近，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面直角坐标系．
8．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，设正方形JKLM边长为m，根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，得AF＝AB＝m，证明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL＝FM，设AL＝FM＝x，在Rt△AFL中，x2+（x+m）2＝（m）2，可解得x＝m，有AL＝FM＝m，FL＝2m，从而可得AP＝，FP＝m，BP＝，即知P为AB中点，CP＝AP＝BP＝，由△CPN∽△FPA，得CN＝m，PN＝m，即得AN＝m，而tan∠BAC＝＝＝，又△AEC∽△BCH，得＝，即＝，故CH＝2．
【解析】设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，如图：
设正方形JKLM边长为m，
∴正方形JKLM面积为m2，
∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，
∴正方形ABGF的面积为5m2，
∴AF＝AB＝m，
由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF＝GF，
∴△AFL≌△FGM（AAS），
∴AL＝FM，
设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，
在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2，
∴x2+（x+m）2＝（m）2，
解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），
∴AL＝FM＝m，FL＝2m，
∵tan∠AFL＝＝＝＝，
∴＝，
∴AP＝，
∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，
∴AP＝BP，即P为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CP＝AP＝BP＝，
∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP，
∴△CPN∽△FPA，
∴＝＝，即＝＝，
∴CN＝m，PN＝m，
∴AN＝AP+PN＝m，
∴tan∠BAC＝＝＝＝，
∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，
∴△AEC∽△BCH，
∴＝，
∵CE＝+，
∴＝，
∴CH＝2，
故选：C．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．
9．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
【分析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论．
【解析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，
∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，
∴S1+S0＝S2+S3，
∵S1+S2+S3＝2S0，
∴S1+S1+S0＝2，
∴S1＝S0，
∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴S0＝×62＝9，
∴S1＝，
过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．
∵△PAB的面积是定值，
∴点P的运动轨迹是直线PM，
∵O是△ABC的中心，
∴CT⊥AB，CT⊥PM，
∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，
∴RT＝，
∴OT＝OR+TR＝，
∵OP≥OT，
∴OP的最小值为，
当点P在②区域时，同法可得OD的最小值为，
如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，
∵＜，
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△PAB的面积是定值．
10．（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9
【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．
【解析】∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE，
∵DE＝5，DF＝3，
∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；
∴CE＝＝4，
∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；
∵DE∥AB，∠DFB＝90°，
∴∠EDF＝∠DFB＝90°，
∴∠CDF+∠FDB＝90°，
∵∠CDF+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠FDB，
∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，
∴，
解得BF＝，故选项A错误；
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．
【解析】由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝12，
∴AB+AC＝19，
∴∵△ABD的周长是19，
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（2022•河北）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d＝，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
【分析】由题意知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，分这两种情况求解即可．
【解析】由题意知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，
①当CA⊥BA时，
∵∠B＝45°，BC＝2，
∴AC＝BC•sin45°＝2×＝，
即此时d＝，
②当CA＝BC时，
∵∠B＝45°，BC＝2，
∴此时AC＝2，
即d＞2，
综上，当d＝或d＞2时能作出唯一一个△ABC，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．
13．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
【分析】①正确．证明△BAD≌△DAE（SAS），可得结论；
②正确．证明A，D，C，E四点共圆，利用圆周角定理证明；
③正确．设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，求出AO，CJ，可得结论；
④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，设PD＝t，则BD＝AD＝t，构建方程求出t，可得结论．
【解析】如图1中，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△DAE（SAS），
∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠AEC+∠ADC＝180°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCE＝90°，
取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠DAC＝∠CED，故②正确，
设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，
过点C作CJ⊥DF于点J，
∵tan∠CDF＝＝＝2，
∴CJ＝m，
∵AO⊥DE，CJ⊥DE，
∴AO∥CJ，
∴＝＝＝，故③正确．
如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，
∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，
∴△BPN是等边三角形，
∴BP＝PN，
∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，
∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，
∴∠BPD＝∠CPD＝60°，
设PD＝t，则BD＝AD＝t，
∴2+t＝t，
∴t＝+1，
∴CE＝BD＝t＝3+，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
14．（2022•眉山）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．9B．12C．14D．16
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC的周长＝2△DEF的周长．
【解析】如图，点E，F分别为各边的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3，EF＝AB＝2，DF＝AC＝4，
∴△DEF的周长＝3+2+4＝9．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．
15．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（ ）
A．2B．C．D．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得tanα的值．
【解析】由已知可得，
大正方形的面积为1×4+1＝5，
设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
则a2+b2＝5，a﹣b＝1，
解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合题意，舍去），
∴tanα＝＝＝2，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．
16．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得AC＝＝BC＝AB，可得BD＝＝，OB＝＝，从而+＝m，即可解得m＝．
【解析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图：
∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，∠DOE＝90°，
∴四边形EODC是矩形，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵A（0，2），C（m，3），
∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，
∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1，
∴AC＝＝＝BC＝AB，
在Rt△BCD中，BD＝＝，
在Rt△AOB中，OB＝＝，
∵OB+BD＝OD＝m，
∴+＝m，
化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0，
解得m＝或m＝﹣（舍去），
∴m＝，
故选：C．
【点评】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．
17．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A．AB，BC，CAB．AB，BC，∠BC．AB，AC，∠BD．∠A，∠B，BC
【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解析】A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
18．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12B．9C．6D．3
【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3，AD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出ED，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD＝BC＝3，AD⊥BC，
在Rt△EBD中，∠EBC＝45°，
∴ED＝BD＝3，
∴S△EBC＝BC•ED＝×6×3＝9，
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
19．（2022•宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（ ）
A．2B．3C．2D．4
【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
【解析】∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝AD＝4，
故选：D．
【点评】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长．
20．（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD＝OEB．OE＝OFC．∠ODE＝∠OEDD．∠ODE＝∠OFE
【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．
【解析】∵OB平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠FOE，
又OE＝OE，
若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，
而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，
增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，
增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用．
21．（2022•达州）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝80°，则∠PNM等于（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
【分析】根据平行线的性质得到∠DNM＝∠BME＝80°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND＝45°，即可得到结论．
【解析】∵AB∥CD，
∴∠DNM＝∠BME＝80°，
∵∠PND＝45°，
∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝80°﹣45°＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
22．（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．
【解析】将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，
∵圆柱的底面直径为AB，
∴点B是展开图的一边的中点，
∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，最短路径问题，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
23．（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（ ）
A．B．C．4D．
【分析】根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．
【解析】作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，
∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，
∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，
∴AB＝＝＝，
∵AB＝BC，
∴BC＝，
∵＝，
∴，
解得EG＝，
∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，
∴四边形EFBG是矩形，
∴EG＝BF＝，
∵BE＝2，BF＝，
∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，
∵∠EFC＝90°，
∴EC＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出EF和CF的长．
24．（2022•遂宁）如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设AN＝a，根据DE∥BC，证出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到DE＝a，列出△DEF面积S的函数表达式，根据配方法求最值即可．
【解析】如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设AN＝a，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝a，
∴△DEF面积S＝×DE×MN
＝×a•（6﹣a）
＝﹣a2+4a
＝﹣（a﹣3）2+6，
∴当a＝3时，S有最大值，最大值为6．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积，平行线的性质，列出△DEF面积S的函数表达式，根据配方法求最值是解题的关键．
二．填空题（共15小题）
25．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ 3 ．
【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．
【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵BC＝6，
∴CD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
26．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 6 ．
【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
【解析】∵等腰△ABC是“倍长三角形”，
∴AB＝2BC或BC＝2AB，
若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，
∴腰AB的长为6；
若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，
∵1.5+1.5＝3，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，腰AB的长是6，
故答案为：6．
【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边．
27．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是 40°或100° ．
【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．
【解析】当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；
当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；
综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．
故答案为：40°或100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．
28．（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为 30° ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．
【解析】∵AB＝AC且∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键．
29．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 （，﹣3） ．
【分析】根据正六边形的性质可得点A和点B关于原点对称，进而可以解决问题．
【解析】因为点A和点B关于原点对称，B点的坐标是（﹣，3），
所以A点的坐标是（，﹣3），
故答案为：（，﹣3）．
【点评】本题考查了正六边形的性质，中心对称图形，解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征．
30．（2022•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 （8+2） cm．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质，勾股定理和平移的性质，求得四边形AB'C'C的四边即可求得结论．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝4，
∴AC＝＝2．
∵把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，
∴B′C′＝BC＝2，AA′＝CC′＝1，A′B′＝AB＝4，
∴AB′＝AA′+A′B′＝5．
∴四边形AB'C'C的周长为AB′+B′C′+CC′+AC＝5+2+1+2＝（8+2）cm．
故答案为：（8+2）．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理和平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
31．（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝．现有周长为18的三角形的三边满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 3 ．
【分析】根据题意先求出a、b、c，再代入公式进行计算即可．
【解析】根据a：b：c＝4：3：2，设a＝4k，b＝3k，c＝2k，
则4k+3k+2k＝18，
解得：k＝2，
∴a＝4k＝4×2＝8，b＝3k＝3×2＝6，c＝2k＝2×2＝4，
∴S＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的运算，要注意运算顺序，解答的关键是对相应的运算法则的熟练掌握．
32．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少 370 m（结果取整数，参考数据：≈1.7）．
【分析】解法一：如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据四边形的内角和定理证明∠G＝90°，分别计算AD，CG，AG，BG的长，由线段的和与差可得AM和AN的长，最后由勾股定理可得MN的长，计算AM+AN﹣MN可得答案．
解法二：构建【阅读材料】的图形，根据结论可得MN的长，从而得结论．
【解析】解法一：如图，延长DC，AB交于点G，
∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，
∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，
∴∠G＝90°，
∴AD＝2DG，
Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，
∴BG＝BC＝50，CG＝50，
∴DG＝CD+CG＝100+50，
∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，
∵DM＝100，
∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，
∵BG＝50，BN＝50（﹣1），
∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，
Rt△ANH中，∵∠A＝30°，
∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，
由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），
∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．
答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．
解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，
∵CD＝DM，∠D＝60°，
∴△BCM是等边三角形，
∴∠DCM＝60°，
由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，
∴△CGN是等腰直角三角形，
∴∠GCN＝45°，
∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，
∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，
由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，
∵AM+AN﹣MN＝AD+AG﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．
答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．
故答案为：370．
【点评】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识与方法，解题的关键是作出所需要的辅助线，构造含30°的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算即可．
33．（2022•山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为 4 ．
【分析】连接AE，AF，EN，由正方形的性质可得AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，可证得△ABE≌△ADF（SAS），可得∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，从而可得∠EAF＝90°，根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点，由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），可得EN＝FN，设DN＝x，则EN＝FN＝x+5，CE＝x+3，由勾股定理解得x＝12，可得AB＝CD＝20，由勾股定理可得AE＝5，从而可得AM＝EM＝FM＝，由勾股定理可得MN＝，即可求解．
【解析】如图，连接AE，AF，EN，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，
∴∠EAF＝90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∵AN⊥EF，
∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，
∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），
∴EN＝FN，
设DN＝x，
∵BE＝DF＝5，CN＝8，
∴CD＝CN+DN＝x+8，
∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得：
CN2+CE2＝EN2，
即82+（x+3）2＝（x+5）2，
解得：x＝12，
∴AB＝CD＝x+8＝20，EN＝x+5＝17，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
AE＝＝＝5，
∴AM＝EM＝FM＝＝，
在Rt△EMN中，由勾股定理可得：
MN＝＝＝，
∴AN＝AM+MN＝+＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
34．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 80 ．
【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．
【解析】过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，
∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，
∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，
∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，
∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），
∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，
∴DM＝NF，
∴△DMI≌△FNI（AAS），
∴DI＝FI，MI＝NI，
∵∠DCF＝90°，
∴DI＝FI＝CI＝5，
在Rt△DMI中，由勾股定理可得：
MI＝＝＝3，
∴NI＝MI＝3，
∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，
∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，
∵四边形ABHL为正方形，
∴AL＝AB＝10，
∵四边形AJKL为矩形，
∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，
故答案为：80．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，利用全等三角形的性质进行求解．
35．（2022•孝感）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 m2+1 （结果用含m的式子表示）．
【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解析】∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，
解得a＝m2+1，
综上所述，其弦是m2+1，
故答案为：m2+1．
【点评】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
36．（2022•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 10 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．
【解析】∵E，F分别为BC，CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB，
∴AB＝2EF＝20，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AB＝20，
∴CD＝AB＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形的中位线定理，求得AB的长是解本题的关键．
37．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ∠B＝60° ．
【分析】根据等边三角形的判定定理填空即可．
【解析】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，
故答案为：∠B＝60°．
【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角形的关系．
38．（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝ 15 度．
【分析】根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度数．
【解析】∵OM⊥AB，ON⊥BC，
∴∠OMB＝∠ONB＝90°，
在Rt△OMB和Rt△ONB中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），
∴∠OBM＝∠OBN，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法（HL）是解题的关键．
39．（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为 7 ．
【分析】设MN交BC于D，连接EC，由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，即得BE＝CE＝4，有∠ECB＝∠B＝45°，从而∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，由勾股定理得AE＝3，故AB＝AE+BE＝7．
【解析】设MN交BC于D，连接EC，如图：
由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE＝4，
∴∠ECB＝∠B＝45°，
∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，
在Rt△ACE中，
AE＝＝＝3，
∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查尺规作图中的计算问题，解题的关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方法，得到MN是线段BC的垂直平分线．
三．解答题（共11小题）
40．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
41．（2022•金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？
【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
（2）根据正方形的面积＝边长的平方列出代数式，把a＝3代入求值即可．
【解析】（1）∵直角三角形较短的直角边＝×2a＝a，
较长的直角边＝2a+3，
∴小正方形的边长＝2a+3﹣a＝a+3；
（2）小正方形的面积＝（a+3）2，
当a＝3时，面积＝（3+3）2＝36．
【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边求出小正方形的边长是解题的关键．
42．（2022•山西）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得MD∥AC，可证∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，即可求解；
（2）由勾股定理可求BC的长，由中点的性质可得CG的长，由锐角三角函数可求解；
（3）通过证明点A，点M，点D，点N四点共圆，可得∠ADN＝∠AMN＝45°，由直角三角形的性质可求HN的长，即可求解．
【解析】（1）四边形AMDN是矩形，理由如下：
∵点D是BC的中点，点M是AB的中点，
∴MD∥AC，
∴∠A+∠AMD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，
∴四边形AMDN是矩形；
（2）如图2，过点N作NG⊥CD于G，
∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝10，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝5，
∵∠MDN＝90°＝∠A，
∴∠B+∠C＝90°，∠BDM+∠1＝90°，
∴∠1＝∠C，
∴DN＝CN，
又∵NG⊥CD，
∴DG＝CG＝，
∵csC＝，
∴，
∴CN＝；
（3）如图③，连接MN，AD，过点N作HN⊥AD于H，
∵AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴∠AMN＝∠ANM＝45°，
∵∠BAC+∠EDF＝90°，
∴点A，点M，点D，点N四点共圆，
∴∠ADN＝∠AMN＝45°，
∵NH⊥AD，
∴∠ADN＝∠DNH＝45°，
∴DH＝HN，
∵BD＝CD＝5，∠BAC＝90°，
∴AD＝CD＝5，
∴∠C＝∠DAC，
∴tanC＝tan∠DAC＝＝，
∴AH＝HN，
∵AH+HD＝AD＝5，
∴DH＝HN＝，AH＝，
∴AN＝＝＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
43．（2022•武汉）问题提出
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，点DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．
【分析】问题探究
（1）取AB的中点G，连接DG，利用等边三角形的性质可得点F为AG的中点，从而得出答案；
（2）取BC的中点H，连接DH，利用ASA证明△DBH≌△DEC，得BH＝EC，则，再根据DH∥AB，得△EDH∽△EFB，从而得出答案；
问题拓展
取BC的中点H，连接DH，由（2）同理可证明△DGH≌△DEC，得GH＝CE，得，再根据DH∥AB，得△EDH∽△EFB，同理可得答案．
【解析】（1）如图，取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝CD，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AF＝AG，
∵AG＝AB，
∴AF＝AB，
∴；
（2）取BC的中点H，连接DH，
∵点D为AC的中点，
∴DH∥AB，DH＝AB，
∵AB＝AC，
∴DH＝DC，
∴∠DHC＝∠DCH，
∵BD＝DE，
∴∠DBH＝∠DEC，
∴∠BDH＝∠EDC，
∴△DBH≌△DEC（ASA），
∴BH＝EC，
∴，
∵DH∥AB，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∴，
∴；
问题拓展
取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵＝，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DH＝AB，
∴，
∴．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．
44．（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP＝NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；
（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．
【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：
在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵MQ∥BC，
∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，
∴△AMQ是等边三角形，
∴AM＝QM，
∵AM＝CN，
∴QM＝CN，
在△QMP和△CNP中，
，
∴△QMP≌△CNP（AAS），
∴MP＝NP；
（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH＝HQ，
∵△QMP≌△CNP，
∴QP＝CP，
∴PH＝HQ+QP＝AC，
∵AB＝a，AB＝AC，
∴PH＝a．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
45．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求证：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求线段FC的长．
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC＝MA＝MB，根据外角的性质可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；
（2）根据CE＝CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，
∴MC＝MA＝MB，
∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，
∵∠A＝50°，
∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，
∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，
∵∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，
∴∠MEC＝∠EMC，
∴CE＝CM；
（2）解：∵AB＝4，
∴CE＝CM＝AB＝2，
∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，
∴FC＝CE•cs30°＝．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
46．（2022•陕西）问题提出
（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 75° ．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠BAC＝60°，根据等腰三角形的三线合一得到∠PAC＝30°，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案；
（2）连接PB，证明四边形PBCA为菱形，求出PB，解直角三角形求出BE、PE、OE，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PF，根据等边三角形的性质得到∠PAF＝60°，进而求出∠BAP＝15°，根据要求判断即可．
【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的中线，
∴∠PAC＝∠BAC＝30°，
∵AP＝AC，
∴∠APC＝×（180°﹣30°）＝75°，
故答案为：75°；
（2）如图2，连接PB，
∵AP∥BC，AP＝BC，
∴四边形PBCA为平行四边形，
∵CA＝CB，
∴平行四边形PBCA为菱形，
∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°，
∴BE＝PB•cs∠PBC＝3，BE＝PB•sin∠PBC＝3，
∵CA＝CB，∠C＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴OE＝BE•tan∠ABC＝，
∴S四边形OECA＝S△ABC﹣S△OBE
＝×6×3﹣×3×
＝；
（3）符合要求，
理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，
∵CA＝CD，∠DAC＝45°，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形FDCA为正方形，
∵PE是CD的垂直平分线，
∴PE是AF的垂直平分线，
∴PF＝PA，
∵AP＝AC，
∴PF＝PA＝AF，
∴△PAF为等边三角形，
∴∠PAF＝60°，
∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°，
∴裁得的△ABP型部件符合要求．
【点评】本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，得出△PAF为等边三角形是解题的关键．
47．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．
（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．
（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．
【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根据AE平分∠BAC，P与E重合，即得∠ACD＝∠ADC＝65°，从而α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；
（2）分两种情况：①当点P在线段BE上时，可得∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，根据∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，即可得2α﹣β＝50°；②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD可得90°﹣α＝40°+α+β，2α+β＝50°．
【解析】（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝50°，
∵AE平分∠BAC，P与E重合，
∴D在AB边上，AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，
∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；
答：α的度数为25°；
（2）①当点P在线段BE上时，如图：
∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC＝AD，
∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，
∴（90°﹣α）+β＝40°+α，
∴2α﹣β＝50°，
②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：
∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC＝AD，
∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，
∴90°﹣α＝40°+α+β，
∴2α+β＝50°；
综上所述，当点P在线段BE上时，2α﹣β＝50°；当点P在线段CE上时，2α+β＝50°．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形内角和定理．
48．（2022•扬州）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DE⊥AD，交射线AB于点E．
（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；
①点E在线段AB的延长线上且BE＝BD；
②点E在线段AB上且EB＝ED．
（2）若AB＝6．
①当＝时，求AE的长；
②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值．
【分析】（1）①由DE⊥AD，BE＝BD，∠EAD＝∠BDA，有AB＝BD，即可得BE＝BD＝AB，AE＝2BE；
②由∠BAC＝90°，∠C＝60°，EB＝ED，可得∠EDB＝∠B＝30°，即得∠AED＝∠EDB+∠B＝60°，根据DE⊥AD，可得AE＝2ED，故AE＝2EB；
（2）①过D作DF⊥AB于F，证明△AFD∽△ADE，由＝，可得＝，设DF＝m，则AF＝2m，在Rt△BDF中，BF＝DF＝3m，而AB＝6，可得m＝，有AF＝，DF＝，AD＝＝，又＝，即可得AE＝；
②作AE的中点G，连接DG，根据∠ADE＝90°，DG是斜边上的中线，得AE＝2DG，即知当AE最小时，DG最小，此时DG⊥BC，可证AG＝EG＝BE，从而得线段AE长度的最小值为4．
【解析】（1）①AE＝2BE，理由如下：
∵DE⊥AD，
∴∠AED+∠EAD＝90°＝∠ADE＝∠BDE+∠BDA，
∵BE＝BD，
∴∠AED＝∠BDE，
∴∠EAD＝∠BDA，
∴AB＝BD，
∴BE＝BD＝AB，
∴AE＝2BE；
②AE＝2EB，理由如下：
如图：
∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，
∴∠B＝30°，
∵EB＝ED，
∴∠EDB＝∠B＝30°，
∴∠AED＝∠EDB+∠B＝60°，
∵DE⊥AD，
∴∠EDA＝90°，∠EAD＝30°，
∴AE＝2ED，
∴AE＝2EB；
（2）①过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠FAD＝∠DAE，∠AFD＝90°＝∠ADE，
∴△AFD∽△ADE，
∴＝，即＝，
∵＝，
∴＝，
设DF＝m，则AF＝2m，
在Rt△BDF中，BF＝DF＝3m，
∵AB＝6，
∴BF+AF＝6，即3m+2m＝6，
∴m＝，
∴AF＝，DF＝，
∴AD＝＝，
∵△AFD∽△ADE，
∴＝，即＝，
∴AE＝；
②作AE的中点G，连接DG，如图：
∵∠ADE＝90°，DG是斜边上的中线，
∴AE＝2DG，DG＝AG＝EG，
当AE最小时，DG最小，此时DG⊥BC，
∵∠B＝30°，
∴BG＝2DG，
∴AE＝2DG＝BG，
∴BE＝AG，
∴AG＝EG＝BE，
∴此时AE＝AB＝4，
答：线段AE长度的最小值为4，
法2：
过A做AG⊥BC于G，过E做EH⊥BC于H，如图：
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDH＝90°﹣∠ADG＝∠DAG，
∵∠EHD＝∠AGD＝90°，
∴＝，
∴AG•EH＝DH•DG，
∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AG＝AB＝3，EH＝BE＝（6﹣AE），
∴DH•DG＝3EH，
∴AE2＝AD2+DE2＝AG2+DG2+DH2+EH2＝9+DG2+DH2+EH2，
∵DG2+DH2≥2DH•DG，
∴AE2≥9+2DH•DG+EH2，即AE2≥9+6EH+EH2，
∴AE2≥（3+EH）2，
∵AE＞0，EH＞0，
∴AE≥3+EH，
∵EH＝（6﹣AE），
∴AE≥3+（6﹣AE），
∴AE≥4．
答：线段AE长度的最小值为4，
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及相似三角形性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，含30°的直角三角形三边关系等知识，解题的关键时作辅助线，构造直角三角形解决问题．
49．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．
（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．
（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．
②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，再利用AC＝AP，即可得出结论；
（2）①由题意可得：∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，再求解∠ACP＝∠APC＝67.5°，∠CPB＝112.5°，证明∠DPE＝∠CPB＝112.5°，从而可得答案；
②先证明△ADP∽△ACB，可得∠APD＝45°，DP∥CB，再证明MP＝MD＝MC＝MN，∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，从而可得出结论．
【解析】（1）赞同，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，
∴cs45°＝，
∵AC＝AP，
∴，
∴点P为线段AB的“趣点”．
（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°，
∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，
∴＝67.5°，
∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
∵△DPE∽△CPB，D，A重合，
∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°，
∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°；
②点N是线段ME的趣点，理由如下：
当点D为线段AC的趣点时（CD＜AD），
∴，
∵AC＝AP，
∴，
∵，∠A＝∠A，
∴△ADP∽△ACB，
∴∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴∠APD＝45°，DP∥CB，
∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE，
∴DM＝PM，
∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴MD＝MC，
同理可得MC＝MN，
∴MP＝MD＝MC＝MN，
∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°，∠E＝∠B＝45°，
∴∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，
∴＝，
∴点N是线段ME的“趣点”．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角形函数的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质，理解新定义的含义，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键．
50．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．
【分析】（1）易证△ABD和△ACE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出BD，DE和CE的长即可．
（2）（Ⅰ）易证∠ABD＝∠CAE，由AAS即可得出△ABD≌△CAE，进而解答即可；
（Ⅱ）易证∠ABD＝∠CAE，由AAS即可得出△ABD≌△CAE，进而解答即可；
（3）根据题意可证明△ABD∽△FBA，由此可得出BF的长，根据S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF，可得出结论．
【解析】（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵l∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∠CAE＝∠ACB＝45°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∵AB＝AC＝，
∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，
∴DE＝2；
（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．
（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE
∵∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴△ABD∽△FBA，
∴AB：FB＝BD：AB，
∵CE＝3，DE＝1，
∴AE＝BD＝4，
∴AB＝5．
∴BF＝．
∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，三角形的面积；证明三角形全等是解题的关键．