33，2023-2024学年河南省南阳市高三上学期数学一轮模拟卷

这是一份33，2023-2024学年河南省南阳市高三上学期数学一轮模拟卷，共20页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，在中，已知，则等于，已知是虚数单位，复数满足，则，函数，设函数，则，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知，其中是虚数单位，则（ ）
A．1B．3C．D．
2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是
A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2) (4)D．(2)(3)
3．在中，已知，则等于
A．B．C．D．
4．已知是虚数单位，复数满足，则（ ）
A．的实部为3B．的虚部为1
C．D．在复平面对应的点在第二象限
5．已知随机变量满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
6．函数（且）的图象必经过点（ ）
A．B．
C．D．
7．设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．1B．C．2D．
8．设函数，则（ ）
A．在区间内有零点，在内无零点
B．在区间，内均有零点
C．在区间，内均无零点
D．在区间，内均有零点
二、多选题
9．某工厂通过改进生产工艺，最终使某产品每个月的合格率都达到99%.该工厂于2023年12月份接到某企业的生产订单，从2024年1月开始生产该产品，第一个月产量为1万件，以后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：）
A．从2024年1月份开始每个月的产量成等差数列
B．从2024年1月份开始每个月的产量成等比数列
C．2024年全年每个月生产的不合格产品数都不会超过300
D．2024年全年中可能存在某个月生产的不合格产品数超过300
10．下列说法正确的是（ ）
A．设随机变量的均值为，是不等于的常数，则相对于的偏离程度小于相对于的偏离程度
B．若一组数据，，…，的方差为0，则所有数据都相同
C．用决定系数比较两个回归模型的拟合效果时，越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好
D．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变
11．如图，在正四棱柱中，，，E，F分别是棱，的中点，过点E，F的平面分别与棱，交于点G，H，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积的最小值为1
B．平面与平面所成角的最大值为
C．四棱锥的体积为定值
D．点到平面的距离的最大值为
12．已知函数则下列说法正确的是（ ）
A．为增函数B．方程有两个实根
C．恒成立D．当时，
三、填空题
13．已知抛物线的焦点为，点在上，则 .
14．已知函数的图象经过坐标原点，且当趋向于正无穷大时，的图象无限接近于直线，但又不与该直线相交，则 .
15．已知随机变量，设函数，且满足，则 .
16．已知椭圆的离心率为，焦距为，，分别为其左、右焦点，是上位于第二象限内的点，过点作的切线交直线于点，则直线与直线的斜率之积为 .
四、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且．
(1)求内角A的大小；
(2)若，求面积的最大值．
18．已知数列满足，且．数列满足，的前n项和为．
(1)判断数列是否为等差数列，并求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
19．如图，在三棱柱中，，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
20．某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．
(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频率；
(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w至少定为多少？（精确到0.01）
(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值．
21．P为平面直角坐标系内一点，过P作x轴的垂线，垂足为M，交直线（）于Q，过P作y轴的垂线，垂足为N，交直线于R，若△OMQ，ONR的面积之和为．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若，，，，过点G的直线l交C于D，E两点，是否存在常数n，对任意直线l，使为定值？若存在，求出n的值及该定值，若不存在，请说明理由．
22．已知函数（），为的导数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：．
题号
一
二
三
四
总分
得分
参考答案：
1．B
【分析】根据复数的四则运算，结合复数相等，求得参数的值，可得答案.
【详解】由，，，，则，即，
故选：B.
2．D
【分析】仔细观察图象，寻找散点图间的相互关系，主要观察这些散点是否围绕一条曲线附近排列着，由此能够得到正确答案．
【详解】散点图（1）中，所有的散点都在曲线上，所以（1）具有函数关系；
散点图（2）中，所有的散点都分布在一条直线的附近，所以（2）具有相关关系；
散点图（3）中，所有的散点都分布在一条曲线的附近，所以（3）具有相关关系，
散点图（4）中，所有的散点杂乱无章，没有分布在一条曲线的附近，所以（4）没有相关关系．
故选D．
【点睛】本题考查散点图和相关关系，是基础题．
3．A
【分析】已知两边及其夹角，运用余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理得，故，
故选：A
4．C
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再一一判断即可.
【详解】因为，所以，
所以复数的实部为，虚部为，故A、B错误；
复数在复平面对应的点为，位于第一象限，故D错误；
，故C正确.
故选：C
5．B
【分析】利用均值和方差的性质求解.
【详解】因为，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
故选：B.
6．A
【分析】令，即可得解.
【详解】解：令，得，此时，
函数（且）的图象必经过点，
故选：A.
【点睛】本题考查指数型函数恒过定点问题，是基础题.
7．B
【解析】根据奇函数得到，，计算出，即可得到.
【详解】函数是定义在R上的奇函数，则
所以
故选：B
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，属于基础题.
8．D
【分析】利用导函数讨论函数的单调性，并根据零点的存在性定理判断即可.
【详解】函数的定义域为，
，
令，解得，
令，解得，
所以函数在单调递减，单调递增，
且，
所以函数在区间，内均有零点，
,则在区间无零点，
故选:D.
9．BC
【分析】由定义判断等比数列以及只需看最后一个月的不合格产品数是否会超过300即可得解.
【详解】由题意2024年第个月的产量为件，所以，
所以从2024年1月份开始每个月的产量成等比数列，故A错误B正确；
又函数是增函数，时，产量为件，
于是该月的不合格产品数为.
所以2024年全年每个月生产的不合格产品数都不会超过300.故C正确D错误.
故选：BC.
10．ABC
【分析】根据均值的性质以及方差的公式以及决定系数的含义可判断A，B，C；根据独立性检验的含义可判断D.
【详解】对于A，由均值的性质可知，
由于是不等于的常数，故可得，
即相对于的偏离程度小于相对于的偏离程度，A正确；
对于B，根据方差公式，
可知若一组数据，，…，的方差为0，则，B正确；
对于C，由决定系数的定义可知，C正确，
对于D，的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，D错误，
故选：ABC
11．ACD
【分析】连接，，四边形为菱形，，求出可判断A；平面与平面所成的角即与所成的角，最大角为，求出可判断B；根据可判断C；根据，设点到平面的距离为，，只需考虑的情况，求出可判断D.
【详解】连接，，
因为平面，平面，
平面，所以，
因为平面，平面，
平面，所以，
所以四边形为平行四边形，
因为，平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
又，所以平面，平面，所以，
所以边形为菱形，故，
因为，所以最小为1，故A正确；
平面与平面所成的角即与所成的角，最大角为，
而，所以，故B错误；
，
故C正确；
，
设点到平面的距离为，，
只需考虑的情况，
因为，
又，
故，
因为，所以当时，有，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.
12．BC
【分析】画出图象，结合函数的性质、方程的根与函数的零点进行求解.
【详解】当时，，则，
当，，,,
可以画出的大致图象如图，则在定义域内不是增函数，故A错误；
利用函数图象可得与有两个交点，故B正确；
在图象中作出，利用函数图象可得在整个定义域内恒成立，故C正确；
由的零点可知，当,,故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：本题的关键是作出函数图象，根据函数图象解决此类周期函数，再作出直线和即可分析出CD选项.
13．2
【分析】先根据点在抛物线上求出,再根据定义求出焦半径即可.
【详解】由题可知，.所以.
故答案为：2.
14．
【分析】根据指数函数的图像性质可解.
【详解】当趋向于正无穷大时，的图象无限接近于直线，
但又不与该直线相交，可知或，
又图象经过坐标原点，则不满足条件，所以，
所以.
故答案为：
15．2
【分析】由正态分布的定义与函数的性质即可得解.
【详解】，，
又，，
，有与关于对称，
则.
故答案为：2.
16．
【分析】根据题意求出椭圆方程，求出过点的椭圆的切线方程，求出点坐标，由斜率公式代入运算得解.
【详解】，，，，
所以椭圆的方程为，，，
设，过点的椭圆的切线方程为，
联立，消去整理得，，
由运算整理得，所以过点的椭圆的切线方程为，
于是，，，.
故答案为：.
17．(1)
(2)．
【分析】（1）把向量的数量积用坐标表示后利用正弦定理化边为角，利用三角函数性质可得；
（2）用余弦定理后利用基本不等式得出的最大值，从而可得面积最大值．
【详解】（1）∵，，且，
∴，
∴由正弦定理得．
∵，∴，
∴，．
∵，∴．
（2）∵，
∴由余弦定理得，即．
∵，∴，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴，
∴面积有最大值，最大值为．
18．(1)是，；
(2)证明见解析﹒
【分析】(1)通过恒等变形得，从而得，即可判断为等差数列，可求的通项公式，再由得的通项公式；
(2)先由(1)得，再利用放缩法和裂项相消法证明．
【详解】（1）因为，
所以，
则．
所以，
又，所以，
故数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
得．
（2）由(1)可得，所以．
当时，．
当时，．
所以
．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先由解三角形知识得，同理，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角的余弦公式结合平方关系即可得解.
【详解】（1）如图，连接，在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以，
同理，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
（2）由平面几何知识可知，，
以C为坐标原点，以，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得．
又平面的法向量为，
∴，
所以二面角的正弦值为．
20．(1)，，，0.25
(2)2.83
(3)分布列见解析，2.1
【分析】（1）前四组频数成等差数列，所以对应的频率除以组距也成等差数列，设，，，然后根据频率之和等于1可求得；
（2）根据百分位的定义可得；
（3）首先求出X的可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率，列出分布列求出均值.
【详解】（1）∵前四组频数成等差数列，所以对应的频率除以组距也成等差数列
∴设，，，
∴，
解得，
∴，，．
居民月用水量在2～2.5内的频率为．
（2）由题图及（1）可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为，
∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，
应规定
（3）将频率视为概率，设A（单位：立方米）代表居民月用水量，
可知，
由题意，知，
，
，
，
．
∴X的分布列为
∵，
∴．
21．(1)
(2)存在常数，对任意直线l，使（为定值）
【分析】（1）分析题意求出轨迹即可.
（2）分斜率是否存在的两种情况讨论即可.
【详解】（1）
设，则，，
由题意可得，，即，
故点P的轨迹C的方程为；
（2）由（1）可知C：
假设存在常数n，使（常数），
设直线l：，代入C，整理得，
设，
则，
所以
整理化简得：对恒成立．
故，
∴，
∴或（舍去）
当直线l为x轴时
综上，存在常数，对任意直线l，使（为定值）
22．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出，然后分和结合导函数求单调区间；
（2）当时，根据函数的正负证明，当时，转化为证，构造函数求导分析单调性与最值即可.
【详解】（1）由，得
依题意知：，所以 ，
所以
①时，恒成立，在上单调递减；
②时，由，得，得，
在上单调递减，上单调递增．
（2）依题意，要证：，
①当时，，故原不等式成立，
②当时，要证：，
即要证：，
令，（）
则，令，
则，
先证：，即要证：，
令，则，
∵，所以，所以在单调递增，
所以，即，
当时，，，
，
所以在单调递减，
所以
所以在单调递减，
所以
即，得证
【点睛】关键点点睛：本题证明不等式的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，令，利用导数可求得单调性，由此可得函数最值，从而得到结论.
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343