江苏省南通市2024届高三第一次调研测试数学试题（学生及教师版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由集合的交集运算即可得到结果.
【详解】因为，
所以.
故选：C
2. 已知，则（ ）
A. 25B. 16C. 9D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再利用复数乘法运算计算即得.
详解】由，得，所以.
故选：A
3. 若向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由题意，则“”是“”的充要条件.
故选：C．
4. 设为等比数列，，则（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列通项和已知条件求出公比，然后代入即可.
【详解】设等比数列公比为，
，即，所以，所以，
由，
故选：B．
5. 从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（ ）
A. 每个面都是等边三角形
B. 每个面都是直角三角形
C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形
D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可.
【详解】如图，
每个面都是等边三角形，A不选；
每个面都是直角三角形，B不选；
三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D．
故选：D.
6. 已知直线与抛物线相切于M点，则M到C的焦点距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将直线与抛物线联立方程组，求出，得点坐标得解.
【详解】设抛物线的焦点为，联立，消可得，
因为直线与抛物线相切，则，
，，，
.
故选：B.
7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：设利用导数得到函数单调性，从而求解；
方法二：设特例法得解.
详解】方法一：∵，
∴,
设则在上单调递减，
所以，
， 即，故C正确．
方法二：设又，C正确．
故选：C
8. 某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知作图如图所示，设，利用三角函数表示各边长，借助三角函数性质计算可得结果.
【详解】如图所示，，
令，则，则，
，则
周长
，
故选：D．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用三角函数的定义表示出所求周长，再利用三角恒等变换即可得解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据：
则（ ）
A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差
B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值
C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数
D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差
【答案】BC
【解析】
【分析】由中位数、极差的概念即可判断AC，由平均数、方程计算公式即可验算BD.
【详解】甲的极差，乙的极差，A错．
甲的平均数，乙的平均数，B对．
甲的中位数90，乙的中位数90，C对．
甲的标准差，乙的标准差，D错.
故选：BC．
10. 设函数的定义域为R，为奇函数，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的对称性及奇偶性可得是周期为4的函数，然后结合条件即可求解.
【详解】由为奇函数，即函数的图象关于对称，
又，则的图象关于对称，
所以，
则，
为周期函数且周期为，B对．
所以，A对．
而，C错．
由上可知，，
所以，
则，D对．
故选：ABD．
11. 已知点在圆上，点，，则（ ）
A. 存在点，使得B.
C. 存在点，使得D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断A、B，设，若，推出恒成立，即可判断C、D.
【详解】圆即，圆心，半径，又，
所以，因为点在圆上，所以，
所以存在点，使得，故A对．
因为，所以点在圆外，又，点在圆内，
所以当与圆相切时，取最大值，
此时，所以，故B对．
对于D，设，若
，
又点在圆上，一定成立，故D对，C错.
故选：ABD．
12. 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．现有一个半径为R的球，被一个距离球心为d（）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为，则（ ）
A. B.
C. 当时，D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，，化简即可验算；对于B，化简即可验算；对于C，，将代入即可判断；对于D，求的最小值即可.
【详解】（同底等高），
，A对．
，B错．
对于C，，，C对．
对于D，时，，
，
在，，D对．
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是首先得到，然后通过换元求导得函数最小值即可验证，从而顺利得解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据定义域代入计算可得答案.
【详解】.
故答案为：.
14. 已知，则________， ________．
【答案】 ①. 8 ②. 16
【解析】
【分析】由二项展开式结合分配律可得第一空答案，由赋值法可得第二空答案.
【详解】，的系数为，
令，，即；，，
.
故答案为：8；16.
15. 已知函数，若的最小值为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得或，结合题意可得，然后代入求值即可.
【详解】，，
所以，或，
，
所以．
故答案为：.
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，设P，Q是E上位于x轴上方的两点，且直线．若
则E的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆定义用表示，再利用余弦定理可解.
【详解】设，则，又
由椭圆定义，得，
所以
又因为，所以，
所以．
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的一点，，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形三线合一得，由线面垂直的性质得，结合线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，然后利用向量夹角公式即得.
【小问1详解】
为底面圆周上一点，
，又，
又为中点，，
又底面，底面，
，
又底面，
平面．
【小问2详解】
底面，底面，
所以，
又因为，
所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
，
，
设平面的一个法向量，
由，，取，所以，
而平面的一个法向量，
设二面角平面角为，显然为锐角，
．
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求A和c；
（2）若点D在边上，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）由两角和正切得，进一步得，结合正弦定理即可求解.
（2）由结合余弦定理即可求解.
【小问1详解】
，
且，，
在中，．
【小问2详解】
设，
，
或14，
，，即．
19. 记正项数列的前n项和为，满足1，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设集合，求集合A．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）首先根据条件和等差数列的定义，得是以1为首项，以2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可得；
（2）由（1）得，，根据为正奇数，得到为正整数即可解出.
【小问1详解】
成等差数列，①，
②，
，
，
因为，所以，且，
所以是以1为首项，以2为公差的等差数列，
．
【小问2详解】
由（1）得，
为正奇数，又为正奇数，为正整数．
所以，或，
当时，时，，
．
20. 已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为．过点的直线l与C的右支交于M，N两点，设直线的斜率分别为．
（1）若，求；
（2）证明：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意，求得双曲线，设出直线的方程，联立方程组，由韦达定理可解；
（2）利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得，再结合（1）中结论即可得证.
【小问1详解】
由题意知，
双曲线：．
易知直线的斜率不为零，所以设直线的方程为，，，
，得，
则，
则，
，
．
【小问2详解】
因为，
为定值．
.
21. 某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖．
（1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；
（2）现有编号为1~n的n位顾客按编号顺序依次参加活动，记X是这n位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记．证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求一位顾客中奖的概率，然后求仅有最后一位顾客中奖的概率；
（2）欲求随机变量X的分布列，需先求随机变量X可取的数值，然后求得其相应的概率，根据数学期望的公式求得随机变量X的期望.
【小问1详解】
一位顾客中奖的概率为，
仅有最后一位顾客中奖的概率．
【小问2详解】
的所有可能取值为，
的分布列如下：
令①，
②，
①-②
．
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若a＞0，记为的零点，．
①证明：；
②探究与的大小关系．
【答案】（1）答案见解析
（2）①证明见解析；②．
【解析】
【分析】（1）求导讨论和两种情况，根据导数的正负得到单调区间.
（2）①证明：由在上单调递增，，，分别构造，，利用导数研究两个函数的单调性进而求得，，证得结果；②利用导数证明函数在上单调递增，，即证得
，由的单调性即可证得结果.
【小问1详解】
．
当时，单调递增；当时，令
在上单调递减；上单调递增．
【小问2详解】
①证明：在上单调递增，
要证：证
而
令，
，
在上单调递减，．
，
令，则
在上单调递增，．
．
②
上单调递增，
．
【点睛】思路点睛：本题利用函数的单调性将问题转化为，，分别构造，，利用导数研究两个函数的单调性通过求得，，得出.
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
X
0
1
2
n
P
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