第5讲：中考复习抛物线与特殊三角形(讲义+课后巩固+课后测+答案）

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模块1：抛物线与等腰三角形
模块2：抛物线与直角三角形
模块3：抛物线与等腰直角三角形
【重要考点讲解】
模块1：抛物线与等腰三角形
【知识精讲】
【典例精讲】
例题1．（2022•贺州改编）如图，抛物线过点，，与轴交于点．点为抛物线对称轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标．
【解答】解：设，
，
，
，
；
例题2．（2022•百色改编）已知抛物线经过、、三点，为坐标原点，抛物线交正方形的边于点，点为射线上一动点，连接，交于点．是否存在点，使为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求的长．
（3）解：抛物线交正方形的边于点，
令，则，解得：，，
，
①如图，
当在线段的延长线上时，为锐角，
为钝角，
为等腰三角形，
，
，
，
，
，
由（2）得，
，
，
在中，
，
；
②如图，
当在线段上时，为钝角，
为等腰三角形，
，
，
，
由（2）得，
，
，
，
在中，
，
，
综上所述，的值为：或．
例题3．（2023•随州改编）如图，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点，为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，求的值．
【解答】解：点在直线上，且，
点的坐标为，
，，
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得；
②若，则，
即，
解得或（舍去）；
③若，则，
即，
解得或（舍去）．
综上，或或．
例题4．（2022•山西改编）综合与探究
如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为．过点作直线轴于点，作直线交于点．
（1）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（2）连接，过点作直线，交轴于点，连接．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：过作于，如图：
设，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，，
，
，即，
解得（舍去）或，
；
例题5．（2022•遂宁改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．为射线上的一点，是抛物线上的一点，、均在第一象限内，、位于直线的同侧，若到轴的距离为，面积为，当为等腰三角形时，求点的坐标．
【解答】解：到轴距离为，，连接．
，
又，
，
，到的距离相等，
，在的同侧，
，
设直线的解析式为，
则有，
，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
由，解得或，
，
点在射线上，
设，
过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点．
，，，
，，，
是等腰三角形，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
在第一象限，
，
的值为，，，
点的坐标为，或，或，．
模块2：抛物线与直角三角形
【知识精讲】
【典例精讲】
例题6．（2023•内江改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：存在．过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于点，连接，，设，则，，
由，可得，
，
，
直线 解析式为，
，且经过，
直线 解析式为，
当时，，
，
综上所述：存在，的坐标为或．
例题7．（2022•广安改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．点为该抛物线对称轴上的动点，使得为直角三角形，请求出点的坐标．
【解答】解：如图2中，设抛物线的对称轴交轴于点，过点作抛物线的对称轴于点．则．；
，，
，
当时，是等腰直角三角形，
，
，
当时，是等腰直角三角形，可得，
当时，设，设的中点为，连接，则，
，
，
解得或，
，，
例题8．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．点与点关于轴对称，连接．点是线段上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：由（2）知，，，
当时，轴，则；
当时，轴，则；
当时，设，则，
即，
解得，，
或．
综上，存在以，，三点为顶点的三角形是直角三角形．其点坐标为或或或．
例题9．（2022•滨州改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，连接、．若点为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点的坐标．
【解答】解：由（1）知，，，
，
设，
为直角三角形，
①当时，
如图1，过点作轴于，则，
，
，
，
，
，
，
，
（不符合题意，舍去）或，
；
②当时，
过点作轴，
同①的方法得，；
③当时，如图2，
Ⅰ、当点在第四象限时，
过点作轴于，过点作，交的延长线于，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，，，
，
（舍去）或（点的横坐标，不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）或，
，，
Ⅱ、当点在第三象限时，，，
即满足条件的的坐标为或或，，或，．
模块3：抛物线与等腰直角三角形
【知识精讲】
【典例精讲】
例题10．（2022•东营改编）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标．
【解答】解：当时，，
点与点重合，
；
当时，，
如图1，当点在点上方时，过点作轴的垂线，过点作交于，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，
，
解得或，
，或，，
点在对称轴的左侧，
点坐标为，；
如图2，当点在点下方时，
同理可得，
，
解得（舍或，
，；
综上所述：点的坐标为，或，或．
例题11．（2022•吉林改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为．若此抛物线在点左侧部分（包括点的最低点的纵坐标为．
①求的值．
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．
【解答】解：①，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，抛物线顶点为最低点，
，
解得，
当时，点为最低点，
将代入得，
，
解得（舍，．
或．
②当时，点在轴上，，
抛物线顶点坐标为，
点坐标为或符合题意．
当时，如图，过点作轴平行线，交轴于点，作于点，
，
，
又，，
，
，即，
解得（舍，．
，，
，
点坐标为．
综上所述，点坐标为或或．
例题12．（2023•广元改编）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
【解答】解：点，，
抛物线的对称轴为直线，
设直线与轴交于点，过点作于点，
当在轴上方时，如图：
以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
，
，，
，
，，
设，则，，
，
点在抛物线上，
，
解得：（舍去）或，
；
当在轴下方时，如图：
同理可得，，，
设，则，
把代入得：
，
解得（舍去）或，
；
当点与点重合时，如图所示，
，是等腰直角三角形，且，
，
此时，
由对称性可得，点也满足条件，
综上所述，或或或；
例题13．（2021•随州改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点及其对应点的坐标．
【解答】解：设直线解析式为，直线解析式为，
，，
，
解得：，
直线解析式为，
，，
，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
①当是以为斜边的等腰直角三角形时，此时，，如图2，
轴，
，，
，
，
解得：（舍或或，
，，，；，，，；
②当是以为斜边的等腰直角三角形时，此时，，如图3，
轴，
，，
，
，
解得：（舍或或，
，；，；
③当是以为斜边的等腰直角三角形时，
此时，，如图4，
过点作于，则，
，
，，
，
，
，
，
解得：或1，
，；，；
综上所述，点及其对应点的坐标为：
，，，；，，，；，；，；，；，．
第5讲：抛物线与特殊三角形课后巩固
1．（2023•青海改编）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．
二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
【解答】解：设，
由得，
，
，
．
2．（2020•枣庄改编）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．过点作，垂足为点．试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：存在，理由：
由点、的坐标得，直线的表达式为：；
设点，则点，
点、的坐标分别为、，则，
①当时，过点作轴于点，连接，
则，即，
解得：（舍去负值），
故点，；
②当时，则，
在中，由勾股定理得：，解得：或0（舍去，
故点；
③当时，则，解得：（舍去）；
综上，点的坐标为或，．
3．（2021•宿迁）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．连接，，点在抛物线上运动．若点在第一象限，直线交于点，过点作轴的垂线交于点，当为等腰三角形时，求线段的长．
【解答】解：设与轴的交点为，，
则，，
若，则，
，
，
即，
解得舍去），此时．
若，过点作轴于点，
，
，，
，
又，
△，
，
在中，，，
，
，
将上式和抛物线解析式联立并解得舍去），
此时．
若，过点作交于点（见上图），
，
，
，
，
即平分，
，
，，
，
联立抛物线解析式，解得舍去）．
此时．
当时，；
当时，；
当时，；
4．（2022•柳州改编）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
如图，点是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与轴交于点，在对称轴上找一点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点的坐标．
【解答】解：过点作对称轴于，过点作轴于，
，
由翻折得，，
，．
，
，
对称轴于，
轴，
，
，
，
，
，，
抛物线的解析式为：，
对称轴为，，
，，
，，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
设，
，
，
，
分两种情况：
①当时，，
，解得，
点的坐标为；
②当时，，
，解得，
点的坐标为．
综上，所有符合条件的点的坐标为，．
5．（2020•广元改编）如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点．点为抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，求点到抛物线的对称轴的距离．
【解答】解：抛物线表达式为：，
是以为直角边的直角三角形，
设点，，，
，，，
当点为直角顶点时，
，
解得：或5（舍，
当点为直角顶点时，
，
解得：或，
而抛物线对称轴为直线，
则，，，
综上：点到抛物线对称轴的距离为：或或．
6．（2023•连云港改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，，且平行于轴，与抛物线交于、两点在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．
（1）当时，求点的坐标；
（2）连接、、，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；
【解答】解：（1），
抛物线的顶点坐标，
，点和点关于直线对称，
点的坐标为；
（2）抛物线的顶点与的顶点关于直线对称，
，抛物线，
当时，，
①当时，如图1，过作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
直线轴，
，
，，
，
，
，
点在的图象上，
，
或，
当时，得，，此时，点和点重合，舍去，当时，符合题意；
将代入得，
②当，如图2，过作交的延长线于，
同理，，
，
，
，
，
，
当在的图象上，
，
解得或，
，
，此时，，符合题意；
将代入得，，
③易知，当，此种情况不存在；
综上所述，所对应的函数表达式为或；
7．（2023•娄底改编）如图，抛物线过点、点，交轴于点．点，是抛物线上的动点．过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：存在，理由如下：
由题意可知，，若是等腰直角三角形，则，
由①可得，，
轴，
，，
，
，
解得（舍或或或（舍，
当是等腰直角三角形时，点的坐标为，，．
8．（2022•枣庄改编）如图，已知抛物线经过点，，点是抛物线上的一个动点． 如图，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：设，分四种情况：
①当在对称轴的左边，且在轴下方时，如图，过作轴，交轴于，交于，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
则，
解得：（舍或，
的坐标为，；
②当在对称轴的左边，且在轴上方时，
同理得：，
解得：（舍或，
的坐标为，；
③当在对称轴的右边，且在轴下方时，
如图，过作轴于，过作于，
同理得，
，
则，
解得：或（舍；
的坐标为，；
④当在对称轴的右边，且在轴上方时，如图，
同理得，
解得：或（舍，
的坐标为：，；
综上所述，点的坐标是：，或，或，或，．
方法二：作直线，
是点绕点顺时针旋转并且缩小倍得到，
易知直线即为对称轴上的点绕点顺时针旋转，且到点距离缩小倍的轨迹，
联立直线和抛物线解析式得，
解得，，
同理可得或；
综上所述，点的坐标是：，或，或，或，．
预备知识
，两点间的距离公式．
等腰三角形
题目描述：已知两个定点，再找一个点，使得三点构成等腰三角形．
方法1：两圆一线①分别以两个定点为圆心，以两定点距离为半径作圆去找另一个点；②作两定点所连线段的中垂线，从而找另外一个点．
如图：为平面两个定点，在上找到点，使得是等腰三角形．
则即为所求．
方法2：①等腰三角形的定义；②分类讨论
如图，已知两定点，，找到点，使得是等腰三角形
ⅰ．利用两点间的距离公式计算、、长度；
ⅱ．分类讨论：①；②；③．
直角三角形
题目描述：已知两个定点，再找一个点，使得三点构成直角三角形．
方法1：两线一圆①分别过两个定点作两定点所在直线的垂线，从而去找另外一个点；②以两定点所连线段为直径作圆，从而去找另外一点．
如图：为平面两个定点，在上找到点，使得是直角三角形，
则即为所求．
方法2：①分类讨论；②勾股逆定理
如图，已知两定点，，找到点，使得是直角三角形．
ⅰ．利用两点间的距离公式计算、、
ⅱ．分类讨论：①；②；③．
方法3：构造相似
如图：为平面两个定点，在上找到点，使得是以为直角顶点直角三角形．
过分别作于，于，当时，
．
等腰直角三角形
题目描述：已知一个或两个定点，再找两个点或或一个点，使得三点构成等腰直角三角形．
方法：构造三垂直模型