2024年浙江省高考数学二轮专题训练：立体几何初步

这是一份2024年浙江省高考数学二轮专题训练：立体几何初步，共16页。试卷主要包含了真题展示，跟踪演练试题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·新高考Ⅰ卷）如图， 在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=2，AA1=4. 点 A2，B2，C2，D2 分别在棱 AA1，BB1，CC1，DD1 上， AA2=1， BB2=DD2=2，CC2=3.
（1）证明：B2C2//A2D2；
（2）点P在棱 BB1 上， 当二面角 P−A2C2−D2为150°时， 求B2P.
二、跟踪演练试题：
2．（2023高三上·韶关模拟）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=AC=AA1=3．
（1）证明：A1B⊥B1C；
（2）若点P在棱CC1上，C1P：PC=2：1，求平面ABC1与平面A1BP夹角的余弦值．
3．（2022高三上·福田模拟）如图，在三棱锥P−ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90∘，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求二面角B−AP−C的余弦值．
4．（2023·从化模拟）在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1B1B是菱形，AB⊥AC，平面AA1B1B⊥平面ABC，平面A1B1C1与平面AB1C的交线为l.
（1）证明：A1B⊥B1C；
（2）已知∠ABB1=60∘，AB=AC=2，l上是否存在点P，使A1B与平面ABP所成角的正弦值为1010？若存在，求B1P的长度；若不存在，说明理由.
5．（2023·黄埔）如图，在几何体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与平面ABCD互相垂直，且AB=BC=BF=1，AD=CD=3，EF=2．
（1）求证：BC⊥平面CDE；
（2）求二面角E−AC−D的平面角的余弦值．
6．（2023·广州模拟）已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是棱长为2的菱形，∠BAD=60°，PD=6，若∠PDC=∠PDB，且PD与平面ABCD所成的角为45°，E为AD的中点，点F在线段PA上，且PC//平面BEF.
（1）求AFAP；
（2）求平面PBE与平面BEF夹角的余弦值.
7．（2023·广州模拟）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB=BC=2，AD=PD=4，∠BAD=60∘，AB=BC=2，点E为PA的中点．
（1）求证：BE//平面PCD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求直线CD与平面PAC所成角的正弦值．
8．（2023·潮州模拟）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的直线CE与平面ACG所成角的正弦值.
9．（2023·惠州模拟）如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1=A1B1=1，AB=2，∠ABC=60∘，AA1⊥平面ABCD．
（1）若点M是AD的中点，求证：C1M∥平面AA1B1B；
（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角E−AD1−D的余弦值为13?若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．
10．（2023·广东模拟）如图，在三棱台ABC—A1B1C1中，BB1=B1C1=C1C=12BC=2，AB⊥BC，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C
（1）证明：AB⊥平面BB1C1C；
（2）若二面角B−C1C−A的大小是π6，求线段AB的长.
11．（2023·汕头模拟）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线l⊂平面A1B1C1D1，l∩A1C1=E，A1E=3EC1.
（1）设l∩B1C1=P，l∩C1D1=Q，试在所给图中作出直线l，使得l⊥CE，并说明理由；
（2）设点A与（1）中所作直线l确定平面α.
①求平面α与平面ABCD的夹角的余弦值；
②请在备用图中作出平面α截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面，并写出作法.
12．（2023·广东模拟）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，AB=1，BC=2，PD⊥CD．
（1）证明：AB⊥PB
（2）若平面PAB⊥平面PCD，且PA=102，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．
13．（2023·深圳模拟）在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=2π3，A1C1⊥A1B.
（1）证明：A1A=A1C；
（2）若A1A=2，BC1=14，求平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值.
14．（2023·佛山模拟）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，点E，F是PC，AD的中点．
（1）若要经过点E和棱AB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
（2）若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．
15．（2023·广州模拟）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，点D是BC的中点，点E在AA1上，AD//平面BC1E.
（1）求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；
（2）当三棱锥B1−BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值.
16．（2023·湛江模拟）如图1，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CD⊥DE，CD=DE，如图2，将△ABE沿BE折起，使得A至A1处，且A1B⊥DE．
（1）证明：DE⊥平面A1BE．
（2）求二面角C−A1E−D的余弦值．
17．（2023·梅州模拟）如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=12AA1=2，点M为A1B1的中点．
（1）在棱BB1上是否存在点Q，使得AQ⊥平面BC1M？若存在，求出B1QQB的值；若不存在，请说明理由：
（2）求点C到平面BC1M的距离．
18．（2023·茂名模拟）在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，O为AD的中点.
（1）求证：PO⊥BC；
（2）若AB//CD，AB=8，AD=DC=CB=4，PO=27，点E在棱PB上，直线AE与平面ABCD所成角为π6，求点E到平面PCD的距离.
19．（2023·深圳模拟）已知正三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为2，D为AB的中点.
（1）证明：CD⊥A1D；
（2）求二面角D−A1C−A的大小；
（3）求直线CA与平面A1CD所成角的正弦值.
20．（2023·广东模拟）如图所示的在多面体中，AB=AD，EB=EC，平面ABD⊥平面BCD，平面BCE⊥平面BCD，点F，G分别是CD，BD中点.
（1）证明：平面AFG//平面BCE；
（2）若BC⊥BD，BC=BD=2，AB=2，BE=5，求平面AFG和平面ACE夹角的余弦值.
21．（2023·江门模拟）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，O是AD的中点，点E在PC上，且AP//平面BOE.
（1）求PEEC的值；
（2）若OP⊥平面ABCD，OE⊥PC，AB=2，∠BAD=60∘，求直线OE与平面PBC所成角的正弦值.
22．（2023·湛江模拟）如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为平行四边形，且AD=2，PB⊥BC，∠ADC=45°．
（1）证明：点P在平面ABCD的正投影在直线AD上；
（2）求平面PBC与平面PDC夹角的余弦值．
23．（2023·汕头模拟）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，AD//BC，AF//BE，DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，AD=AB=2BC=2BE=2．
（1）已知点G为AF上一点，且AG=2，求证：BG与平面DCE不平行；
（2）已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为55，求该多面体ABCDEF的体积．
24．（2023·广州模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，AD=2CD=2BC=4，PB=23
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求平面PAB与平面ABCD交角的正弦值.
25．（2023·深圳模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥AB，且PD=PB，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=π3．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若PA⊥PC，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．
26．（2023·梅州模拟）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E为边AB的中点，过E作ED⊥AC于D.把△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置，连接A1C､A1B.
（1）F为边A1C的一点，若CF=2FA1，求证：BF//平面A1DE；
（2）当四面体C−EBA1的体积取得最大值时，求平面A1DE与平面A1BC的夹角的余弦值.
27．（2023·茂名模拟）如图所示，三棱锥P−ABC，BC为圆O的直径，A是弧BC上异于B、C的点.点D在直线AC上，OD∥平面PAB，E为PC的中点.
（1）求证：DE//平面PAB；
（2）若PA=PB=PD=AB=AD=4，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.
28．（2023·惠州模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为255，求点P到平面AEF的距离．
29．（2023·天河模拟）在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，PA=PD，AB=2，∠ABC=60°.
（1）证明：PB//平面EAC.
（2）若四棱锥P−ABCD的体积为463，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值.