（全国通用）中考数学总复习 专题14 角、相交线与平行线（10个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份（全国通用）中考数学总复习 专题14 角、相交线与平行线（10个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析），共47页。

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc20679" 【考点1 角、钟面角、方向角】 PAGEREF _Tc20679 \h 1
\l "_Tc23113" 【考点2 对顶角、邻补角】 PAGEREF _Tc23113 \h 3
\l "_Tc31439" 【考点3 补角、余角】 PAGEREF _Tc31439 \h 3
\l "_Tc2634" 【考点4 同位角、内错角、同旁内角】 PAGEREF _Tc2634 \h 4
\l "_Tc20518" 【考点5 角的和差】 PAGEREF _Tc20518 \h 5
\l "_Tc2902" 【考点6 角的大小比较】 PAGEREF _Tc2902 \h 7
\l "_Tc13931" 【考点7 点到直线的距离】 PAGEREF _Tc13931 \h 8
\l "_Tc22129" 【考点8 相交线与平行线】 PAGEREF _Tc22129 \h 9
\l "_Tc11522" 【考点9 平行公理及其推论】 PAGEREF _Tc11522 \h 10
\l "_Tc30227" 【考点10 平行线的判定与性质】 PAGEREF _Tc30227 \h 12
【要点1 角的概念】
定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
【要点2 角的表示方法】
【要点3 钟表上有关夹角问题】
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【要点4 方向角】
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．
【考点1 角、钟面角、方向角】
【例1】（2022·河北·统考模拟预测）如图，同时能用三个字母和一个字母表示的角是（ ）
A．∠1B．∠2C．∠A和∠DD．∠A和∠C
【变式1-1】（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝_____°．
【变式1-2】（2022·辽宁抚顺·一模）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，则当时间为4：30时钟面角为___________°.
【变式1-3】（2022·浙江宁波·统考一模）6×6的方格图中，按要求作格点三角形ABC．
（1）在图1中，作等腰直角△ABC，使得∠BAC=45°；（画出一个即可）
（2）在图2中，作钝角△ABC，使得∠BAC=45°．
【考点2 对顶角、邻补角】
【例2】（2022·河北·模拟预测）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A．B．C．D．
【变式2-1】（2022·广东·统考中考模拟）∠α与∠β互为补角，同时又是对顶角，则它们两边所在的直线（ ）
A．互相垂直B．互相平行C．既不垂直也不平行D．不能确定
【变式2-2】（2022·上海·校联考模拟预测）已知，∠B与∠A互为邻补角，且∠B=2∠A，那么∠A为________度．
【变式2-3】（2022·陕西西安·西安市中铁中学校考三模）小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中∠C=∠F=90∘，∠A=45∘，∠D=30∘，则∠α+∠β等于（ ）
A．180∘B．210∘C．360∘D．270∘
【考点3 补角、余角】
【例3】（2022·陕西西安·统考三模）已知∠1=50°，则∠1的余角的补角的度数是（ ）
A．60°B．140°C．40°D．130°
【变式3-1】（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为______
【变式3-2】（2022·江苏泰州·统考二模）42°15'的余角是______．
【变式3-3】（2022·山东济南·统考一模）如图，CA⊥BE于点A，AD⊥BF于点D，则下列说法中正确的是（ ）
A．∠α的余角只有∠BB．∠α的补角是∠DAC
C．∠α与∠ACF互补D．∠α与∠ACF互余
【考点4 同位角、内错角、同旁内角】
【例4】（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，直线l1，l2被直线l3所截，则（ ）
A．∠1和∠2是同位角B．∠1和∠2是内错角
C．∠1和∠3是同位角D．∠1和∠3是内错角
【变式4-1】（2022·青海·统考中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【变式4-2】（2022·浙江杭州·模拟预测）下列图中∠1和∠2是同位角的是 （ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②
【变式4-3】（2022·福建三明·统考中考模拟）如图，图中的同位角的对数是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【要点5 角的和、差关系】
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
【要点6 角平分线】
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．
【考点5 角的和差】
【例5】（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，将一幅三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中．
（1）如图2，当OD平分∠AOB时，试问OC是否也平分∠AOE，请说明理由．
（2）当OC所在的直线平分∠AOB时，求∠AOD的度数；
（3）试探究∠BOC与∠AOD之间满足怎样的数量关系，并说明理由．
【变式5-1】（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=75°，∠1=25°，则∠2的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【变式5-2】（2022·湖南娄底·统考模拟预测）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小10°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40°B．减小10°C．减小20°D．不变
【变式5-3】（2022·湖北随州·统考模拟预测）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.
【发现猜想】（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为 ；.
【探索归纳】（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由.
【问题解决】（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？
【要点7 角的比较与运算】
角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【考点6 角的大小比较】
【例6】（2022·江苏盐城·统考二模）如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE＝γ，则（ ）
A．β＜α＜γB．β≤γ＜αC．α＜γ＜βD．α＜β＜γ
【变式6-1】（2022·广西百色·统考一模）若∠P=25°12′,∠Q=25.12°,∠R=25.2°，则下列结论正确的是( )
A．∠P=∠QB．∠P=∠R
C．∠Q=∠RD．∠P=∠Q=∠R
【变式6-2】（2022·山东淄博·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，那么∠DAC与∠ACB的大小关系为：∠DAC_____∠ACB．
【变式6-3】（2022·陕西西安·校考一模）线段AB与射线AP有一公共端点A．
(1)用直尺和圆规作出AB的中点M；(不写作图方法)
(2)用直尺和圆规作出以点B为顶点的∠ABQ，使∠ABQ=∠PAB，且BQ与AP相交于点C.(不写作图方法)
(3)联结CM，用量角器测量∠AMC和∠BMC的度数，你认为∠AMC和∠BMC的大小关系如何？
【考点7 点到直线的距离】
【例7】（2022·北京·校考模拟预测）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC的距离的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-1】（2022·吉林松原·校考一模）小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为A，B，小明未站稳一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-2】（2022·北京·统考中考模拟）点A在直线m外，点B在直线m上，A、B两点的距离记作a，点A到直线m的距离记作b，则a与b的大小关系是 ( )
A．a>bB．a≤bC．a≥bD．a【变式7-3】（2022·辽宁沈阳·统考中考模拟）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，点P在四边形ABCD的边上，若点P到BD的距离为32，则点P的个数为____个．
【考点8 相交线与平行线】
【例8】（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，在同一平面内．经过直线l外一点O有四条直线①②③④，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式8-1】（2022·河北保定·统考二模）在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（ ）
A．平行、相交或垂直B．相交C．平行或相交D．平行
【变式8-2】（2022·福建厦门·统考一模）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ）
A．一定有一个锐角
B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角
D．一定有一个不是钝角
【变式8-3】（2022·河北·模拟预测）下面关于平行线的说法中，正确的个数是 （ ）
①在同一平面内，不相交的两条直线必平行
②在同一平面内，不相交的两条线段必平行
③在同一平面内，不平行的两条直线必相交
④在同一平面内，不平行的两条线段必相交
A．0B．2C．3D．4
【要点8 平行公理及其推论】
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【考点9 平行公理及其推论】
【例9】（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）已知直线AB∥CD．
(1)如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系．
(2)如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
(3)若点E的位置如图3所示，BF，DF仍分别平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．
【变式9-1】（2022·江苏盐城·校考一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
【变式9-2】（2022·江苏泰州·靖江市靖城中学校考一模）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．
【变式9-3】（2022·福建泉州·统考模拟预测）如图 1，已知 AB∥CD，BE 平分∠ABD，DE 平分∠BDC．（∠ABD 的度数大于 90° 小于 120°）
（1）求证：∠BED = 90°；
（2）若点 F 为射线 BE 上一点，∠EDF = α，∠ABF 的角平分线 BG 与∠CDF 的角平分线DG 交于点 G，试用含α的式子表示∠BGD 的大小；
（3）延长 BE 交 CD 于点 H，点 F 为线段 BH 上一动点，∠ABF 邻补角的角平分线与∠CDF邻补角的角平分线 DG 交于点 G，探究∠BGD 与∠BFD 之间的数量关系，请直接写出结论： ．（题中所有的角都是大于 0°小于 180°的角）
【要点9 平行线的判定与性质】
1.平行线的判定方法
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.
2.平行线的性质
① 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
② 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
③两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【考点10 平行线的判定与性质】
【例10】（2022秋·全国·八年级期末）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠MEB+∠NFD=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，T是GH上一点，使∠PHT=∠HPT，作PQ平分∠EPT，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【变式10-1】（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
【变式10-2】（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE,CE,OE，且BE=CE．
(1)如图1，求证：△BEO≌△CEO；
(2)如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．
【变式10-3】（2022·北京·统考中考真题）在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.
(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明． 表示方法
A
图例
记法
适用范围
用三个大写字母表示
B
O
AOB
或BOA
任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.
用一个大写字母表示
A
A
以这个点为顶点的角只有一个.
用数字表示
1
1
任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.
专题14 角、相交线与平行线（10个高频考点）（举一反三）

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\l "_Tc20679" 【考点1 角、钟面角、方向角】 PAGEREF _Tc20679 \h 1
\l "_Tc23113" 【考点2 对顶角、邻补角】 PAGEREF _Tc23113 \h 4
\l "_Tc31439" 【考点3 补角、余角】 PAGEREF _Tc31439 \h 6
\l "_Tc2634" 【考点4 同位角、内错角、同旁内角】 PAGEREF _Tc2634 \h 8
\l "_Tc20518" 【考点5 角的和差】 PAGEREF _Tc20518 \h 10
\l "_Tc2902" 【考点6 角的大小比较】 PAGEREF _Tc2902 \h 15
\l "_Tc13931" 【考点7 点到直线的距离】 PAGEREF _Tc13931 \h 18
\l "_Tc22129" 【考点8 相交线与平行线】 PAGEREF _Tc22129 \h 21
\l "_Tc11522" 【考点9 平行公理及其推论】 PAGEREF _Tc11522 \h 23
\l "_Tc30227" 【考点10 平行线的判定与性质】 PAGEREF _Tc30227 \h 30
【要点1 角的概念】
定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
【要点2 角的表示方法】
【要点3 钟表上有关夹角问题】
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【要点4 方向角】
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．
【考点1 角、钟面角、方向角】
【例1】（2022·河北·统考模拟预测）如图，同时能用三个字母和一个字母表示的角是（ ）
A．∠1B．∠2C．∠A和∠DD．∠A和∠C
【答案】D
【分析】根据角的表示方法以及具体要求回答即可．
【详解】解：∠A、∠C能够用一个字母表示，也能够用三个字母表示，以B为顶点的角有3个，不能用一个字母表示，点D为顶点的角有2个，不能用一个字母表示．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是角的表示方法，掌握角的表示方法是解题的关键．
【变式1-1】（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝_____°．
【答案】90
【分析】根据题意可得∠APC＝34°，∠BPC＝56°，然后进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：
∠APC＝34°，∠BPC＝56°，
∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90°，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2022·辽宁抚顺·一模）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，则当时间为4：30时钟面角为___________°.
【答案】45
【分析】根据分针每分钟转360°60=6°，时针每分钟转360°12×60=0.5°进行求解即可．
【详解】解：∵分针每分钟转360°60=6°，时针每分钟转360°12×60=0.5°，
∴当时间为4：30时钟面角为6°×30−0.5°×4×60+30=45°，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了钟面角的计算，熟知时针和分针每分钟走的度数是解题的关键．
【变式1-3】（2022·浙江宁波·统考一模）6×6的方格图中，按要求作格点三角形ABC．
（1）在图1中，作等腰直角△ABC，使得∠BAC=45°；（画出一个即可）
（2）在图2中，作钝角△ABC，使得∠BAC=45°．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据题意作出图形即可．
【详解】（1）如图1，所示，△ABC即为所求；
（2）如图2，所示，△ABC即为所求．
【点睛】本题考查了应用与设计的作图．关键是根据题意，由网格的特点确定三角形的第三个顶点C．
【考点2 对顶角、邻补角】
【例2】（2022·河北·模拟预测）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，进而得出答案．
【详解】利用对顶角的定义可得出：
符合条件的只有C，
故选C．
【点睛】本题考查了对顶角的概念，一定要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点．反向延长线等．
【变式2-1】（2022·广东·统考中考模拟）∠α与∠β互为补角，同时又是对顶角，则它们两边所在的直线（ ）
A．互相垂直B．互相平行C．既不垂直也不平行D．不能确定
【答案】A
【详解】∵∠α与∠β是对顶角，
∴∠α=∠β，
又∵∠α与∠β互补，
∴∠α+∠β=180°，
可求∠α=90°.
故选A.
【变式2-2】（2022·上海·校联考模拟预测）已知，∠B与∠A互为邻补角，且∠B=2∠A，那么∠A为________度．
【答案】60
【分析】设∠A=x，则∠B=2x，然后根据领补角的定义进行求解即可．
【详解】解：设∠A=x，则∠B=2x
根据题意得，x+2x=180°，
解得：x=60°，∴∠A=60°，
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查领补角的定义及一元一次方程的解法，熟练掌握领补角的定义及一元一次方程的解法是解题的关键．
【变式2-3】（2022·陕西西安·西安市中铁中学校考三模）小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中∠C=∠F=90∘，∠A=45∘，∠D=30∘，则∠α+∠β等于（ ）
A．180∘B．210∘C．360∘D．270∘
【答案】B
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠2+∠3=90°，再根据三角形外角的性质，对顶角相等可得∠α+∠β=∠2+∠D+∠3+∠F，即可求解．
【详解】解：如图，
∵∠C=∠F=90∘，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，对顶角相等是解题的关键．
【考点3 补角、余角】
【例3】（2022·陕西西安·统考三模）已知∠1=50°，则∠1的余角的补角的度数是（ ）
A．60°B．140°C．40°D．130°
【答案】B
【分析】先根据余角的定义求出∠1的余角，再根据补角的定义解答．
【详解】解：∵∠1=50°，
∴∠1的余角是40°，
∵40°的补角是180°－40°=140°，
∴∠1的余角的补角的度数是140°．
故选：B．
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，属于基础题型，熟练掌握二者的概念是解题关键．
【变式3-1】（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为______
【答案】135°##135度
【分析】根据三角板及其摆放位置可得∠BAO=180°=∠BAC+∠OAC,∠OAC=45°，求解即可．
【详解】∵∠BAO=180°=∠BAC+∠OAC,∠OAC=45°，
∴∠BAC=180°−45°=135°，
故答案为：135°．
【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式3-2】（2022·江苏泰州·统考二模）42°15'的余角是______．
【答案】47°45'
【分析】根据余角及补角的定义进行计算即可．
【详解】解：42°15'的余角是90°-42°15'=47°45'
故答案为：47°45'．
【点睛】本题考查的是余角及补角的定义，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
【变式3-3】（2022·山东济南·统考一模）如图，CA⊥BE于点A，AD⊥BF于点D，则下列说法中正确的是（ ）
A．∠α的余角只有∠BB．∠α的补角是∠DAC
C．∠α与∠ACF互补D．∠α与∠ACF互余
【答案】C
【分析】根据题意CA⊥BE于点A，AD⊥BF于点D，结合图形可得∠α的余角与补角，逐项分析判断即可求解．
【详解】∵CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，
∴∠B+∠α=∠DAC+∠α=90°，所以A不正确；
∴∠α+∠DAE=180°，所以B也不正确；
∵∠DAC +∠ACD=∠DAC+∠α=90°，
∴∠ACD=∠α，
∵∠ACD+∠ACF=180°，
∴∠ACF与α互补．
故C正确，D不正确．
故选C．
【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，掌握余角与补角的定义是解题的关键．
【考点4 同位角、内错角、同旁内角】
【例4】（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，直线l1，l2被直线l3所截，则（ ）
A．∠1和∠2是同位角B．∠1和∠2是内错角
C．∠1和∠3是同位角D．∠1和∠3是内错角
【答案】C
【分析】两条直线a、b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，被截两直线a、b的同一侧的角（都在左侧或者都在右侧），把这样的两个角称为同位角；根据定义分别判断即可．
【详解】解：∠1和∠2既不是同位角，也不是内错角，故选项A、B错误；
∠1和∠3是同位角，故选项C正确，选项D错误；
故答案为：C．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形是解题的关键．
【变式4-1】（2022·青海·统考中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
【变式4-2】（2022·浙江杭州·模拟预测）下列图中∠1和∠2是同位角的是 （ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②
【答案】D
【分析】根据同位角的定义，即两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．对每个图进行判断即可．
【详解】解：①图中∠1和∠2是同位角，符合题意；
②图中∠1和∠2是同位角，符合题意；
③图中∠1和∠2不是同位角，不符合题意；
④图中∠1和∠2不是同位角，不符合题意；
图中是同位角的是①②．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角的定义，掌握基本概念是解题的关键．
【变式4-3】（2022·福建三明·统考中考模拟）如图，图中的同位角的对数是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】D
【详解】试题分析：根据同位角的定义可以得出图中有12对同位角.
考点：同位角的定义
【要点5 角的和、差关系】
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
【要点6 角平分线】
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．
【考点5 角的和差】
【例5】（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，将一幅三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中．
（1）如图2，当OD平分∠AOB时，试问OC是否也平分∠AOE，请说明理由．
（2）当OC所在的直线平分∠AOB时，求∠AOD的度数；
（3）试探究∠BOC与∠AOD之间满足怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）OC平分∠AOE，理由见解析；（2）∠AOD=67.5°；（3）∠AOD+∠BOC=135°或∠BOC−∠AOD=135°或∠AOD+∠BOC=225°，理由见解析．
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠AOD的度数，从而可得∠AOC，再根据互补角的定义可得∠AOE的度数，由此即可得；
（2）先根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，再根据角的和差即可得；
（3）设旋转角的度数为α，分0<α≤45°、45°<α≤90°和90°<α≤180°三种情况，分别根据角的和差即可得．
【详解】（1）OC平分∠AOE，理由如下：
∵OD平分∠AOB，且∠AOB=45°，
∴∠AOD=12∠AOB=22.5°，
∵∠COD=90°，
∴∠AOC=∠COD−∠AOD=90°−22.5°=67.5°，
又∵∠AOB=45°，
∴∠AOE=180°−∠AOB=135°，
∴∠AOC=12∠AOE，
即OC平分∠AOE；
（2）当OC所在的直线平分∠AOB时，
由角平分线的定义得：∠AOC=12(360°−∠AOB)=157.5°，
则∠AOD=∠AOC−∠COD=157.5°−90°=67.5°；
（3）设旋转角的度数为α，则0<α≤180°，
由题意，分以下三种情况：
①当0<α≤45°时，∠AOD在∠AOB内部，
则∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠BOD+∠COD，
=∠AOB+∠COD，
=45°+90°，
=135°，
②当45°<α≤90°时，∠AOD在∠AOB外部，且∠BOC<180°，
则∠BOC−∠AOD=∠AOB+∠AOD+∠COD−∠AOD，
=∠AOB+∠COD，
=45°+90°，
=135°，
③当90°<α≤180°时，∠AOD+∠BOC+∠AOB+∠COD=360°，
则∠AOD+∠BOC=360°−∠AOB−∠COD，
=360°−45°−90°，
=225°，
综上，∠AOD+∠BOC=135°或∠BOC−∠AOD=135°或∠AOD+∠BOC=225°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差、互补角、旋转的定义，较难的是题（3），根据旋转角的取值范围，正确分三种情况讨论是解题关键．
【变式5-1】（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=75°，∠1=25°，则∠2的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【答案】D
【分析】根据对顶角相等可得∠BOD=75°，之后根据∠1=25°，即可求出∠2．
【详解】解：由题可知∠BOD=∠AOC=75°，
∵∠1=25°，
∴∠2=∠BOD−∠1=75°−25°=50°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键．
【变式5-2】（2022·湖南娄底·统考模拟预测）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小10°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40°B．减小10°C．减小20°D．不变
【答案】C
【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．
【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°−40°=50°．
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°，所以入射光线与反射光线的夹角是100°．
入射角减小10°，变为50°−10°=40°，所以反射角也变为40°，此时入射光线与法线的夹角为80°．
则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小20°．
故选：C．
【点睛】本题考查了有关角的计算，首先要熟记光的反射定律的内容，搞清反射角与入射角的关系，特别要掌握反射角与入射角的概念，它们都是反射光线和入射光线与法线的夹角．
【变式5-3】（2022·湖北随州·统考模拟预测）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.
【发现猜想】（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为 ；.
【探索归纳】（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由.
【问题解决】（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？
【答案】（1）85°；（2）∠AOC＝m+n2；理由见解析；（3）经过137，178，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
【分析】（1）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，求出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质算出∠BOC的度数，再计算∠AOC即可解决问题.
（2）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，用m、n表示出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质用m、n的代数式表示出∠BOC，最后再表示出∠AOC即可解决问题.
（3）根据各角之间存在的数量关系，设经过x秒时，分别用x将∠DOA、∠COA、∠BOA表示出来，然后分四类情况讨论，根据角平分线的性质列出方程，解决即可.
【详解】（1）85°；
（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n
∴∠BOD＝n－m
∵OC为∠BOD的角平分线
∴∠BOC＝
∴∠AOC＝+m＝
（3）设经过的时间为x秒，
则∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；
①当在x＝之前，OC为OB，OD的角平分线；30－20x＝70－30x，x1＝4（舍）；
②当x在和2之间，OD为OC，OB的角平分线；－30+20x＝100－50x，x2＝；
③当x在2和之间，OB为OC，OD的角平分线；70－30x＝－100+50x，x3＝；
④当x在和4之间，OC为OB，OD的角平分线；－70+30x＝－30+20x，x4＝4.
答：经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握角平分线的性质，理清各个角之间存在的数量关系，根据数量关系列出方程.
【要点7 角的比较与运算】
角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【考点6 角的大小比较】
【例6】（2022·江苏盐城·统考二模）如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE＝γ，则（ ）
A．β＜α＜γB．β≤γ＜αC．α＜γ＜βD．α＜β＜γ
【答案】A
【分析】根据网格线得出∠FBG＜45°，进而判断出α＞90°；再由网格线得出∠DGF=45°，∠EGH=45°，进而求出γ=90°，最后由网格线得出∠MCH＜45°，∠BCF=45°，进而判出β＜90°，即可得出结论．
【详解】解：由图知，∠FBG＜45°，
∴α=∠ABF=180°-45°-∠FBG＞90°；
由图知，∠DGF=45°，∠EGH=45°，
∴γ=∠DGE=180°-∠DGF-∠EGH=180°-45°-45°=90°，
由图知，∠MCH＜45°，∠BCF=45°，
∴β=∠FCH=180°-∠BCF-∠MCH=180°-45°-∠MCH＜90°，
∴β＜γ＜α，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了角的比较，网格线的特点，平角的定义，掌握网格线的特点是解本题的关键．
【变式6-1】（2022·广西百色·统考一模）若∠P=25°12′,∠Q=25.12°,∠R=25.2°，则下列结论正确的是( )
A．∠P=∠QB．∠P=∠R
C．∠Q=∠RD．∠P=∠Q=∠R
【答案】B
【分析】根据小单位化大单位除以进率,可得答案.
【详解】解: ∠P=25°12′=25.2°,∠R=25.2°
所以B选项是正确的.
【点睛】本题考查角的大小比较．关键是将单位统一，即度、分、秒的换算.
【变式6-2】（2022·山东淄博·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，那么∠DAC与∠ACB的大小关系为：∠DAC_____∠ACB．
【答案】>
【分析】由平行线的性质可知∠CAE=∠ACF，由角的大小比较方法可知∠BCF<∠GCF=∠DAE，进而可得出结论．
【详解】解：如图，
∵AE//CF，
∴∠CAE=∠ACF，
∵∠BCF<∠GCF=∠DAE，
∵∠DAC=∠CAE+∠DAE，∠ACB=∠ACF+∠BCF，
∴∠DAC>∠ACB，
故答案为：>．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的大小比较方法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【变式6-3】（2022·陕西西安·校考一模）线段AB与射线AP有一公共端点A．
(1)用直尺和圆规作出AB的中点M；(不写作图方法)
(2)用直尺和圆规作出以点B为顶点的∠ABQ，使∠ABQ=∠PAB，且BQ与AP相交于点C.(不写作图方法)
(3)联结CM，用量角器测量∠AMC和∠BMC的度数，你认为∠AMC和∠BMC的大小关系如何？
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)相等
【分析】（1）分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径，在线段AB的上方和下方分别画弧，交于两点，连接这两点，与线段AB的交点就是中点M；
（2）根据作一个角等于已知角的方法，即可作出∠ABQ=∠PAB，找到点C的位置；
（3）用量角器测量∠AMC和∠BMC的度数，会发现两角的度数相等．
（1）
如图所示，点M即为所求；
（2）
如图所示：∠ABQ即为所求；
（3）
用量角器测量可知：∠AMC=90°，∠BMC=90°，
所以∠AMC和∠BMC的大小相等．
【点睛】本题考查了用圆规和直尺的基本尺规作图方法、角的大小比较，熟练掌握作图步骤和方法是解题关键．
【考点7 点到直线的距离】
【例7】（2022·北京·校考模拟预测）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC的距离的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【详解】解：A．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
B． AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；
C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，注意从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
【变式7-1】（2022·吉林松原·校考一模）小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为A，B，小明未站稳一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由于C点到踏板最近，则C点到踏板的垂线段的长为跳远成绩．
【详解】解：跳远成绩应该为身体与沙坑的接触点中到踏板的垂线段长的最小值．
由于C点到踏板最近，所以C点到踏板的垂线段的长为跳远成绩．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段最短，点到直线的距离，掌握垂线的定义以及垂线段最短是解题的关键．
【变式7-2】（2022·北京·统考中考模拟）点A在直线m外，点B在直线m上，A、B两点的距离记作a，点A到直线m的距离记作b，则a与b的大小关系是 ( )
A．a>bB．a≤bC．a≥bD．a【答案】C
【分析】分两种情况：①a和b构成一个直角三角形，且a是斜边，b是直角边，所以a＞b；②若B是垂足时，a=b．
【详解】如图，
a是斜边，b是直角边，
∴a＞b，
若点A、点B所在直线垂直直线m，则a=b，
故选C．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，明确点到直线的距离是这点到直线的垂线段的长度，属于基础题．
【变式7-3】（2022·辽宁沈阳·统考中考模拟）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，点P在四边形ABCD的边上，若点P到BD的距离为32，则点P的个数为____个．
【答案】2．
【分析】考查A点到BD的距离，设这个距离为x，可以通过解直角三角形求出x，若x＞32，则存在2个点满足，若x=32，则存在1个点满足，若x＜32，则没有点满足，同样的方法考查C点到BD的距离，最后合计满足点的个数，即可
【详解】过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，
∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠CDF＝90°﹣∠ADB＝45°，
∵sin∠ABD＝AEAB，
∴AE＝AB•sin∠ABD＝22•sin45°
＝22×22＝2＞32，
所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为32的点2个，
∵sin∠CDF＝CFCD，
∴CF＝CD•sin∠CDF＝2×22 ＝1＜32，
所以在边BC和CD上没有到BD的距离为32的点，
总之，P到BD的距离为32的点有2个．
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查解直角三机形，求A，C两点到BD的距离
【考点8 相交线与平行线】
【例8】（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，在同一平面内．经过直线l外一点O有四条直线①②③④，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到答案．
【详解】解：经过刻度尺平移测量，③符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线，利用了平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【变式8-1】（2022·河北保定·统考二模）在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（ ）
A．平行、相交或垂直B．相交C．平行或相交D．平行
【答案】C
【分析】根据在同一平面内，两条直线可能的位置关系求解即可，注意垂直是相交的特殊情况．
【详解】解：在同一平面内，两条直线可能的位置关系是平行或相交．
故选：C.
【点睛】本题考查了同一平面内，两条直线的位置关系，掌握同一平面内两条直线的位置关系是解题的关键．
【变式8-2】（2022·福建厦门·统考一模）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ）
A．一定有一个锐角
B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角
D．一定有一个不是钝角
【答案】D
【详解】试题解析：因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论：
①当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故A、B错误；
②当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C错误；
综上所述，D正确．
故选D．
【变式8-3】（2022·河北·模拟预测）下面关于平行线的说法中，正确的个数是 （ ）
①在同一平面内，不相交的两条直线必平行
②在同一平面内，不相交的两条线段必平行
③在同一平面内，不平行的两条直线必相交
④在同一平面内，不平行的两条线段必相交
A．0B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据平面内直线和线段的位置关系判断．
【详解】在同一平面内，不相交的两条直线必平行，不平行的两条直线必相交，
线段则不一定，故①③正确。
故选B
【点睛】本题主要考查在同一平面内两直线的位置关系，需要注意②和④说的是线段．
【要点8 平行公理及其推论】
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【考点9 平行公理及其推论】
【例9】（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）已知直线AB∥CD．
(1)如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系．
(2)如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
(3)若点E的位置如图3所示，BF，DF仍分别平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．
【答案】(1)∠ABE+∠CDE=∠BED；
(2)∠BFD=12∠BED，理由见解析；
(3)2∠BFD+∠BED=360°，理由见解析
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，进而即可得到结论；
（2）由角平分线的定义得∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE，结合第（1）题的结论，即可求证；
（3）过点E作EG//CD，由平行线的性质得∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，结合第（1）题的结论与角平分线的定义得∠BFD=12(∠ABE+∠CDE)，进而即可得到结论．
(1)
证明：∠ABE+∠CDE=∠BED，理由如下：
如图1，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，
∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，
即∠ABE+∠CDE=∠BED；
(2)
证明：∠BFD=12∠BED．理由如下：
∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF=12∠ABE+12∠CDE=12(∠ABE+∠CDE)，
由（1）得，∠BFD=∠ABF+∠CDF=12(∠ABE+∠CDE)，
又∵∠BED=∠ABE+∠CDE，
∴∠BFD=12∠BED；
(3)
证明：2∠BFD+∠BED=360°，理由如下：
如图3，过点E作EG//CD，
∵AB//CD，EG//CD，
∴AB//CD//EG，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，
由（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，
又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE，
∴∠BFD=12(∠ABE+∠CDE)，
∴2∠BFD+∠BED=360°．
【点睛】本题主要考查平行公理的推理，平行线的性质定理与角平分线的定义，添加辅助线，掌握平行线的性质定理是解题的关键．
【变式9-1】（2022·江苏盐城·校考一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
【答案】D
【分析】先根据平行公理的推论可得AB//EF//CD，再根据平行线的性质可得∠CEF=∠2=30°,∠AEF=∠1，然后根据∠CEF+∠AEF=45°即可得．
【详解】如图，过点E作AB//EF
由题意得：AB//CD,∠2=30°,∠AEC=45°
∴AB//EF//CD
∴∠CEF=∠2=30°,∠AEF=∠1
又∵∠CEF+∠AEF=∠AEC=45°
∴30°+∠1=45°
解得∠1=15°
故选：D．
【点睛】本题考查了平行公理的推论、平行线的性质等知识点，熟记平行线的性质是解题关键．
【变式9-2】（2022·江苏泰州·靖江市靖城中学校考一模）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．
【答案】y=90°-x+z．
【分析】作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．
【详解】解：作CG//AB，DH//EF，
∵AB//EF，
∴AB//CG//HD//EF，
∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z
∵∠BCD＝90°
∴∠1+∠2=90°，
∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，
∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，
∴∠y=∠z+90°-∠x．
即y=90°-x+z．
【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．
【变式9-3】（2022·福建泉州·统考模拟预测）如图 1，已知 AB∥CD，BE 平分∠ABD，DE 平分∠BDC．（∠ABD 的度数大于 90° 小于 120°）
（1）求证：∠BED = 90°；
（2）若点 F 为射线 BE 上一点，∠EDF = α，∠ABF 的角平分线 BG 与∠CDF 的角平分线DG 交于点 G，试用含α的式子表示∠BGD 的大小；
（3）延长 BE 交 CD 于点 H，点 F 为线段 BH 上一动点，∠ABF 邻补角的角平分线与∠CDF邻补角的角平分线 DG 交于点 G，探究∠BGD 与∠BFD 之间的数量关系，请直接写出结论： ．（题中所有的角都是大于 0°小于 180°的角）
【答案】（1）见解析；（2）∠BGD=90°−α2；（3）∠BFD+2∠BGD=360°
【分析】（1）由AB∥CD可得∠ABD+∠BDC=180°，由角平分线的定义和等量代换可得∠EBD+∠EDB=90°，进一步即可根据三角形的内角和定理证得结论；
（2）当点G在AB、CD之间时，如图2，由（1）的结论和角平分线的定义可推出2∠1+2∠CDG=90°－α，过点G作GH∥AB，由平行线的性质可得∠BGD=∠1+∠CDG，进一步即可推出结论；当点G在AB、CD下方时，如图3，同样的方法解答即可；
（3）如图4，过点F、G分别作FN∥AB、GM∥AB，则AB∥GM∥FN∥CD，由平行线的性质和角平分线的定义可得∠BFD=∠3+∠5，∠BGD=∠4+∠6，然后利用角的和差整理变形即得结论．
【详解】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∵BE 平分∠ABD，DE 平分∠BDC，
∴∠EBD=12∠ABD,∠EDB=12∠BDC，
∴∠EBD+∠EDB=12∠ABD+∠BDC=90°，
∴∠BED = 90°；
（2）当点G在AB、CD之间时，如图2，∵∠EBD+∠EDB=90°，∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠ABE+∠EDC=90°，即∠ABE+α+∠FDC=90°，
∵BG 平分∠ABE，DG 平分∠CDF，
∴∠ABE=2∠1，∠CDF=2∠CDG，
∴2∠1+2∠CDG=90°－α，
过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠HGD=∠CDG，
∴∠BGD=∠2+∠HGD=∠1+∠CDG=90°−α2；
当点G在AB、CD下方时，如图3，
同理可得：∠ABE+∠EDC=90°，即∠ABE+α－∠FDC=90°，
∵BG 平分∠ABE，DG 平分∠CDF，
∴∠ABE=2∠1，∠CDF=2∠CDG，
∴2∠1－2∠CDG=90°－α，
过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠HGD=∠CDG，
∴∠BGD=∠2－∠HGD=∠1－∠CDG=90°−α2；
综上，∠BGD=90°−α2；
（3）如图4，过点F、G分别作FN∥AB、GM∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥GM∥FN∥CD，
∴∠3=∠BFN，∠5=∠DFN，∠4=∠BGM，∠6=∠DGM，
∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠3+∠5，∠BGD=∠BGM+∠DGM=∠4+∠6，
∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，
∴∠4=12∠FBP=12180°−∠3,∠6=12∠FDQ=12180°−∠5，
∴∠BFD+∠BGD=∠3+∠5+∠4+∠6
=∠3+∠5+12180°−∠3+12180°−∠5
=180°+12∠3+∠5
= 180°+12∠BFD，
整理得：∠BFD+2∠BGD=360°．
故答案为：∠BFD+2∠BGD=360°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、平行公理的推论、角平分线的定义和三角形的内角和等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【要点9 平行线的判定与性质】
1.平行线的判定方法
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.
2.平行线的性质
① 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
② 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
③两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【考点10 平行线的判定与性质】
【例10】（2022秋·全国·八年级期末）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠MEB+∠NFD=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，T是GH上一点，使∠PHT=∠HPT，作PQ平分∠EPT，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)见解析
(3)不发生变化，一直是45°
【分析】（1）根据对顶角相等和等量代换，得出∠AEF+∠CFE =180°，进而根据平行线的判定得出结论；
（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出∠EPF =90°，则EG⊥PF．又GH⊥EG，得出PF∥GH；
（3）根据平行线的性质和等量代换可知∠FPH=∠HPT，再根据角平分线的性质得出∠QPT=12∠EPT，进而得出∠HPQ=12（∠EPT−∠FPT）=12∠EPF，求得∠HPQ的度数．
【详解】（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵∠MEB+∠NFD=180°．
又∠MEB=∠AEF，∠NFD=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE =180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP = 12（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF =90°，
即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
∵PF∥GH，
∴∠FPH=∠PHT，
∵∠PHT=∠HPT，
∴∠FPH=∠HPT，
∵PQ平分∠EPT，
∴∠QPT=12∠EPT，
∵∠HPQ=∠QPT-∠HPT，
∴∠HPQ=12（∠EPT−∠FPT）=12∠EPF，
∵∠EPF=90°，
∴∠HPQ=45°，
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键．
【变式10-1】（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
【答案】C
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF故选：C．
【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【变式10-2】（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE,CE,OE，且BE=CE．
(1)如图1，求证：△BEO≌△CEO；
(2)如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．
【答案】(1)见解析
(2)△DEG、△DEH、△BFO、△CHO
【分析】（1）利用SSS证明两个三角形全等即可;
（2）先证明Rt△ABE≌Rt△DCE得到AE=DE，则S△AOE=S△DOE，根据三线合一定理证明∴OE⊥AD， 推出AB∥OE，得到S△AOE=SBOE，即可证明S△BFO=S△AEF由△BEO≌△CEO，得到∠OBF=∠OCH，S△BOE=S△COE，证明△BOF≌△COH，即可证明S△BFO=S△CHO=S△AEF，则S△OEF=S△OEH，即可推出S△DEH=S△AEF，最后证明△AEF≌△DEG，即可得到S△AEF=S△DEG；
（1）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OB=OC，
∵BE=CE，OE=OE，
∴△BEO≌△CEO（SSS）；
（2）
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，
又∵BE=CE，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）
∴AE=DE，
∴S△AOE=S△DOE，
∵OA=OD，AE=DE，
∴OE⊥AD，
∴AB∥OE，
∴S△AOE=SBOE，
∴S△AOE−S△EOF=S△BOE−S△EOF，
∴S△BFO=S△AEF；
∵△BEO≌△CEO，
∴∠OBF=∠OCH，S△BOE=S△COE，
又∵∠BOF=∠COH，OB=OC，
∴△BOF≌△COH（ASA），
∴S△BFO=S△CHO=S△AEF，
∴S△BOE−S△BOF=S△COE−S△COH，
∴S△OEF=S△OEH，
∴S△AOE−S△OEF=S△DOE−S△OEH，
∴S△DEH=S△AEF；
∵AC∥DG，
∴∠AFE=∠DGE，∠EAF=∠EDG，
又∵AE=DE，
∴△AEF≌△DEGAAS，
∴S△AEF=S△DEG；
综上所述，△DEG、△DEH、△BFO、△CHO这4个三角形的面积与△AEF的面积相等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，矩形的性质，平行线的性质与判定等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式10-3】（2022·北京·统考中考真题）在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.
(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)CD=CH；证明见解析
【分析】（1）先利用已知条件证明△FCE≅△BCDSAS，得出∠CFE=∠CBD，推出EF∥BD，再由AF⊥EF即可证明BD⊥AF；
（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证△MEC≅△BDCSAS，推出ME=BD，通过等量代换得到AM2=AE2+ME2，利用平行线的性质得出∠BHE=∠AEM=90°，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD=CH．
【详解】（1）证明：在△FCE和△BCD中，
CE=CD∠FCE=∠BCDCF=CB，
∴ △FCE≅△BCDSAS，
∴ ∠CFE=∠CBD，
∴ EF∥BD，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF．
（2）解：补全后的图形如图所示，CD=CH，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵∠ACB=90∘，CM＝CB，
∴ AC垂直平分BM，
∴AB=AM，
在△MEC和△BDC中，
CM=CB∠MCE=∠BCDCE=CD，
∴ △MEC≅△BDCSAS，
∴ ME=BD，∠CME=∠CBD，
∵AB2=AE2+BD2，
∴ AM2=AE2+ME2，
∴ ∠AEM=90°，
∵∠CME=∠CBD，
∴BH∥EM，
∴ ∠BHE=∠AEM=90°，即∠DHE=90°，
∵CE=CD=12DE，
∴ CH=12DE，
∴ CD=CH．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明∠DHE=90°是解题的关键． 表示方法
A
图例
记法
适用范围
用三个大写字母表示
B
O
AOB
或BOA
任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.
用一个大写字母表示
A
A
以这个点为顶点的角只有一个.
用数字表示
1
1
任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.