（全国通用）中考数学总复习 专题08 一元一次不等式（组）及其应用（10个高频考点）（强化训练）（原卷版+解析）

这是一份（全国通用）中考数学总复习 专题08 一元一次不等式（组）及其应用（10个高频考点）（强化训练）（原卷版+解析），共39页。

1．（2022·河北·模拟预测）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．“m不是负数”表示为m>0B．“m不大于5”表示为m<5
C．“n与4的差是正数”表示为n−4>0D．“n不等于4”表示为n>4
2．（2022·四川绵阳·三模）下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
A．x>−3x<2B．x+1>0y−2<0
C．3x−2>0x−2x+3>0D．3x−2>0x+1>y+1
3．（2022·河南·模拟预测）写出一个解集为x≥1的一元一次不等式:_____________.
4．（2022·甘肃·民勤县第六中学一模）当k=______时，不等式k−2xk2−3+2>0是关于x的一元一次不等式．
5．（2022·黑龙江绥化·一模）已知(k+3)xk−2+5【考点2 不等式的性质】
6．（2022·山东临沂·二模）不等式(3.14−π)x＜π−3.14的解集是_____________.
7．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知a8．（2022·河南南阳·三模）若x>y，则3−5x______3−5y（填“＞”或“＝”或“＜”）．
9．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）根据不等式的性质：若x−y＞0，则x＞y；若x−y＜0，则x＜y．利用上述方法证明：若n＜0，则n−1n>n−2n−1．
10．（2022·江苏苏州·模拟预测）如果关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<1．
（1）请用含b的式子表示a；
（2）求关于x的不等式ax>b的解集．
【考点3 不等式的解集】
11．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）已知x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2B．a≤1C．﹣2＜a≤1D．﹣2≤a≤1
12．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）下列说法错误的是（ ）
A．不等式x−3>2的解集是x>5
B．不等式x<3的整数解有无数个
C．不等式x+3<3的整数解是0
D．x=0是不等式2x<3的一个解
13．（2022·福建省福州屏东中学二模）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为x<2a−1，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a＞1C．a＜0D．a＞0
14．（2022·河北·青龙满族自治县教师发展中心三模）已知mm的解集是（ ）
A．x>mB．x15．（2022·江苏南京模拟预测）关于x的不等式x－a≥1.若x＝1是不等式的解，x＝－1不是不等式的解，则a的范围为（ ）
A．－2≤a≤0B．－2＜a＜0C．－2≤a＜0D．－2＜a≤0
【考点4 在数轴上表示不等式（组）的解集】
16．（2022·湖南·茶陵县教育教学研究室模拟预测）不等式组2x−1≤32x+3>1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
17．（2022·福建省泉州实验中学三模）下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）
A．x−1>0x+2≤0B．x−1≤0x+2<0C．x+1≥0x−2<0D．x+1>0x−2≤0
18．（2022·浙江·温州绣山中学二模）某不等式的解在数轴上表示如图，则该不等式的解是（ ）
A．x≤3B．x<3C．x≥3D．x>3
19．（2022·宁夏银川·一模）如图所示，直线l经过第二，三，四象限，l的解析式是y=m−2x+n，则m的取值范围则数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·河北保定·一模）不等式2x−1<4(x+1)的解集表示在如图所示的数轴上，则阴影部分盖住的数是（ ）
A．−1B．−2C．−1.5D．−2.5
【考点5 解一元一次不等式（组）】
21．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校二模）已知关于x的不等式xa<7的解也是不等式2x−7a5>a2−1的解，则常数a的取值范围是_____．
22．（2022·河南·一模）对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如：[1,2]=1，[3]=3，[−2.5]=−3，若[x+23]=−5，则整数x的取值是__________．
23．（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）解不等式组x−1≤1+2x①3(x+1)<4x+1②，请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得___________；
(2)解不等式②，得___________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为___________．
24．（2022·湖南常德·一模）解不等式组5x−3≥2x3x−12＜4，并把解集在数轴上表示出来．
25．（2022·宁夏·银川外国语实验学校一模）解不等式组3x+1<2x+2−13x≤53x+2，并在所给的数轴上表示其解集
【考点6 一元一次不等式（组）的整数解】
26．（2022·河南·模拟预测）关于x的不等式组x−a<07−2x≤1的整数解有4个，则a的取值范围是（ ）
A．6＜a＜7B．6＜a≤7C．6≤a≤7D．6≤a＜7
27．（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）如果关于x的不等式组3x−a>02x−b≤0的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对a,b共有（ ）个
A．1B．2C．4D．6
28．（2022·江苏·扬州市邗江区梅苑双语学校模拟预测）使得关于x的不等式组6x−a≥−10−1+12x<−18x+32有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程(a−5)x2+4x+1=0有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
A．35B．30C．26D．21
29．（2022·云南·昆明八中模拟预测）已知关于x的不等式组3x<4(x−3)+4x+24≤m恰有4个整数解，则m的取值范围为（ ）
A．7230．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处一模）解不等式组x+5<0,3x−12≥2x+1, 并写出它的最大整数解．
【考点7 含字母的一元一次不等式组的有（无）解问题】
31．（2022·云南昆明·一模）已知关于x的不等式组x−2>0−x+a≥0有以下说法：
①如果它的解集是2③如果它的整数解只有3，4，5，那么5≤a<6；④如果它有解，那么a≥3．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
32．（2022·云南红河·一模）已知△ABC三边长分别为3、a、7（a为整数），且关于x的不等式组14(2x+8)≥7x−a<2无解，则满足所有条件的a的和为（ ）
A．17B．26C．27D．30
33．（2022·重庆八中一模）已知关于x的分式方程m2−2x−42x−2=1的解为整数，且关于y的不等式{m+4y<33y+2≥−y+3，有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数m的和为（ ）
A．−20B．−16C．−12D．−10
35．（2022·江苏·南外雨花分校一模）关于x的不等式组x+32≥x+m3+4(x−1)>−9
(1)当m=1时，解该不等式组；
(2)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是______________________．
【考点8 不等式与方程的综合运用】
36．（2022·江苏盐城·二模）已知关于x、y的方程组2x+3y=123x+2y=5m+3（实数m是常数）．
(1)若x+y＝3，求实数m的值；
(2)若3＜x﹣y＜6，化简：|m﹣3|﹣|5m﹣12|．
37．（2022·浙江杭州·模拟预测）关于x,y的二元一次方程组ax+by=c（a,b,c是常数），b=a+1,c=b+1．
（1）当x=3y=1时，求c的值．
（2）当a=12时，求满足|x|<5,|y|<5的方程的整数解．
（3）若a是正整数，求证：仅当a=1时，该方程有正整数解．
38．（2022·山东聊城·二模）若数a使关于x的分式方程x+2x−1+a1−x=3的解为非负数，且使关于y的不等式组y−34−y+13≥−13122(y−a)＜0的解集为y≤0，求符合条件的所有整数a的积．
39．（2022·江苏南京·模拟预测）若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=3的解为正数，且使关于y的不等式组y+23−y2>12y−a≤0的解集为y<−2，求符合条件的所有整数a的和．
40．（2022·广西防城港·一模）对x，y定义一种新运算Τ，规定Τ(x,y)=ax+by2x+y(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例：Τ(0,1)=a×b+b×12×0+1=b.
已知Τ(1,−1)=−2，Τ(4,2)=1，
(1)求a，b的值；
(2)若关于m的不等式组{Τ(2m,5−4m)≤4,Τ(m,3−2m)>p恰好有3个整数解，求实数p的取值范围．
【考点9 由实际问她抽象出一元一次不等式（组）】
41．（2022·浙江杭州·模拟预测）小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于500cm2，则宽的长度xcm应满足的不等式组为（ ）
A．25x≥500x<25B．25x≥500x>25C．25x>500x<25D．25x<500x>25
42．（2022·天津市东丽中学模拟预测）某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？如果将该商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ）
A．120x≥80×5%B．120x﹣80≥80×5%
C．120×x10≥80×5%D．120×x10﹣80≥80×5%
43．（2022·山东省临邑县宿安中学模拟预测）北京2022冬奥会吉样物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，借价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（ ）
A．100x+8010−x>900B．100x+8010−x<900
C．100x+8010−x≥900D．100x+8010−x≤900
44．（2022·广东深圳·三模）每年的6月5日为世界环境日．中国生态环境部将“共建清洁美丽世界”作为今年环境日的主题，旨在促进全社会增强生态环境保护意识，投身生态文明建设．某校学生会积极响应国家号召，组织七年级和八年级共100名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1800个，至少需要多少名八年级学生参加活动？设参加活动的八年级学生x名，由题意得（ ）
A．15x＋20（100﹣x）≥1800B．15x＋20（100﹣x）＞1800
C．20x＋15（100﹣x）≥1800D．20x＋15（100﹣x）≤1800
45．（2022·福建三明·三模）某运输公司要将200吨的货物运往某地，准备用A，B两种型号的汽车共12辆参与运货．已知A型汽车每辆可装货物20吨，B型汽车每辆可装货物15吨．在每辆汽车不超载的情况下，要把这200吨货物一次性装运完成，至少要安排几辆A型汽车？设安排x辆A型货车参与运货，可得不等式为______．
【考点10 一元一次不等式（组）的应用】
46．（2022·广东·丰顺县东海中学一模）如图，要设计一个长为 15cm，宽为 10cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为 5：4，若要使所有彩条所占面积是 50cm2，应如何设计每个彩条的宽度？
47．（2022·黑龙江·虎林市实验中学二模）夏季即将来临，商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价．
(2)若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请求出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，若商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，求商场购进多少台甲种空调所获得的利润最大？最大利润是多少？
48．（2022·安徽六安·模拟预测）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，购进2千克甲水果和3千克乙水果共需23元，购进3千克甲水果和1千克乙水果共需17元，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和10元/千克．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的1.5倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
49．（2022·陕西西安·模拟预测）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米．
(1)如果要围成面积为63平方米的花圃，那么AB的长是多少米？
(2)能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由．
50．（2022·陕西·西北轻工业学院附中三模）小敏和小强到某厂参加社会实践，该厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸裁成盒身3个或者盒盖5个，且一个盒身和两个盒盖恰好能做成一个包装盒，设裁成盒身的白板纸有x张，回答下列问题．
(1)若有11张白板纸．
①请完成如表；
②求最多可做几个包装盒；
(2)若仓库中已有4个盒身，3个盒盖和23张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，可做多少个包装盒？
(3)若有n张白板纸（70≤n≤80），先把一张白板纸适当套裁出3个盒身和1个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，求n的值． x张白板纸裁成盒身
张白板纸裁成盒盖
盒身的个数
0
盒盖的个数
0
专题08 一元一次不等式（组）及其应用（10个高频考点）（强化训练）
【考点1 不等式的相关定义】
1．（2022·河北·模拟预测）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．“m不是负数”表示为m>0B．“m不大于5”表示为m<5
C．“n与4的差是正数”表示为n−4>0D．“n不等于4”表示为n>4
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式即可判断．
【详解】A、∵m不是负数，
∴m≥0，A选项错误；
B、∵m不大于5，
∴m≤5，B选项错误；
C、∵n与4的差是正数，
∴n−4＞0，C选项正确；
D、∵n不等于4，
∴n＜4或n＞4，D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了由题目信息抽象出一元一次不等式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
2．（2022·四川绵阳·三模）下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
A．x>−3x<2B．x+1>0y−2<0
C．3x−2>0x−2x+3>0D．3x−2>0x+1>y+1
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式组的定义：含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组，逐个判断即可．
【详解】解：A、是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键．
3．（2022·河南·模拟预测）写出一个解集为x≥1的一元一次不等式:_____________.
【答案】x-1≥0(答案不唯一)
【分析】据一元一次不等式的求解逆用，把1进行移项就可以得到一个；也可以对原不等式进行其它变形，所以答案不唯一．
【详解】解：移项，得
x-1≥0，
故答案为：x-1≥0（答案不唯一）.
【点睛】本题考查不等式的求解的逆用；写出的不等式只需符合条件，越简单越好．
4．（2022·甘肃·民勤县第六中学一模）当k=______时，不等式k−2xk2−3+2>0是关于x的一元一次不等式．
【答案】－2
【分析】根据一元一次不等式的定义列式求解即可．
【详解】解：∵不等式k−2xk2−3+2>0是关于x的一元一次不等式，
∴k−2≠0，k2−3=1，
解得：k＝－2，
故答案为：－2．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义：用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式．
5．（2022·黑龙江绥化·一模）已知(k+3)xk−2+5【答案】k＝3，x<﹣1
【分析】先根据一元一次不等式的概念得出k的值，代入不等式，解之可得答案．
【详解】解：∵(k+3)xk−2+5∴k+3≠0且k−2=1，
解得k＝3，则不等式为6x＋5<3－4，
解得x<﹣1．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的步骤．
【考点2 不等式的性质】
6．（2022·山东临沂·二模）不等式(3.14−π)x＜π−3.14的解集是_____________.
【答案】x＞-1
【分析】根据不等式的基本性质，即可求解．
【详解】解：(3.14−π)x＜π−3.14，
x＞π−−π，即：x＞-1，
故答案是：x＞-1．
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，数量掌握“不等式两边同除一个负数，不等号要变向”，是解题的关键．
7．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知a【答案】a>1
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：∵a＜b，b＜2a﹣1，
∴a＜2a﹣1，
∴a＞1．
故填：a＞1．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于明确不等式的性质是不等式变形的主要依据．
8．（2022·河南南阳·三模）若x>y，则3−5x______3−5y（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，据此变形即可得．
【详解】解：∵x>y，
∴−5x<−5y，
∴3−5x<3−5y，
故答案为：<．
【点睛】题目主要考查不等式的性质，深刻理解不等式的性质进行变形是解题关键．
9．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）根据不等式的性质：若x−y＞0，则x＞y；若x−y＜0，则x＜y．利用上述方法证明：若n＜0，则n−1n>n−2n−1．
【答案】见解析
【分析】先求出n−1n−n−2n−1=1n(n−1)，根据n＜0，得出n−1＜0，从而得出nn−1＞0，即1n(n−1)＞0，从而证明结论．
【详解】证明：n−1n−n−2n−1
=(n−1)2−n(n−2)n(n−1)
=1n(n−1)
∵n＜0，
∴n−1＜0，
∴nn−1＞0，
∴n−1n>n−2n−1．
【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．
10．（2022·江苏苏州·模拟预测）如果关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<1．
（1）请用含b的式子表示a；
（2）求关于x的不等式ax>b的解集．
【答案】（1）a=2b；（2）x＜12.
【分析】（1）根据不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<1，先解不等式可得：x＜5b−a2a−b，从而可得：5b−a2a−b=1,变形后可得答案；
（2）先求解a＜0, 再解不等式，结合a=2b，从而可得答案.
【详解】解：（1）(2a−b)x+a−5b>0
移项得：(2a−b)x＞5b−a
∵ 关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<1．
∴x＜5b−a2a−b，
∴ 5b−a2a−b=1,
去分母得：5b−a=2a−b,
∴a=2b.
（2）由（1）得：2a−b＜0,a=2b,
∴2a−12a＜0,
∴a＜0,
∵ ax>b
不等式的两边都除以a得：x＜ba=b2b=12,
所以不等式的解集为：x＜12.
【点睛】本题考查的是解含字母系数的一元一次不等式，难点是没有注意字母系数的符号，从而在化系数为1时，出现错误.
【考点3 不等式的解集】
11．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）已知x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2B．a≤1C．﹣2＜a≤1D．﹣2≤a≤1
【答案】A
【分析】根据不等式解的定义列出不等式，求出解集即可确定出a的范围．
【详解】解：∵x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的解，
∴1−5a−3a+2≤0 且4−54a−3a+2>0 ，
即﹣4（﹣2a+2）≤0且﹣（a+2）＞0，
解得：a＜﹣2．
故选：A．
【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集是解题的关键．
12．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）下列说法错误的是（ ）
A．不等式x−3>2的解集是x>5
B．不等式x<3的整数解有无数个
C．不等式x+3<3的整数解是0
D．x=0是不等式2x<3的一个解
【答案】C
【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断．
【详解】解：A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．
13．（2022·福建省福州屏东中学二模）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为x<2a−1，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a＞1C．a＜0D．a＞0
【答案】A
【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为x<2a−1，，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键．
14．（2022·河北·青龙满族自治县教师发展中心三模）已知mm的解集是（ ）
A．x>mB．x【答案】C
【分析】根据不等式的解集的定义，由m、n的大小关系以及不等式组的式子，得到不等式组的解集．
【详解】解：∵mm，x大于小的数，大于大的数，
∴x的解集是m故选：C．
【点睛】本题考查不等式的解集，解题的关键是掌握求不等式解集的方法．
15．（2022·江苏南京模拟预测）关于x的不等式x－a≥1.若x＝1是不等式的解，x＝－1不是不等式的解，则a的范围为（ ）
A．－2≤a≤0B．－2＜a＜0C．－2≤a＜0D．－2＜a≤0
【答案】D
【分析】根据x=1是不等式x-a≥1的解，且x=-1不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【详解】解：∵x=1是不等式x-a≥1的解，
∴1-a≥1，
解得：a≤0，
∵x=-1不是这个不等式的解，
∴-1-a＜1，
解得：a＞-2，
∴-2＜a≤0，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．
【考点4 在数轴上表示不等式（组）的解集】
16．（2022·湖南·茶陵县教育教学研究室模拟预测）不等式组2x−1≤32x+3>1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：2x−1≤3①2x+3>1②
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x>−1
∴不等式组的解集为：−1＜x≤2，
故选C．
【点睛】考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（2022·福建省泉州实验中学三模）下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）
A．x−1>0x+2≤0B．x−1≤0x+2<0C．x+1≥0x−2<0D．x+1>0x−2≤0
【答案】D
【分析】由数轴可得不等式组解集，然后分别解不等式组判断即可．
【详解】解：由数轴得，不等式组解集为：−1A、x−1>0①x+2≤0②，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤－2，
故不等式组无解，不符合题意；
B、x−1≤0①x+2<0②，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜－2，
故不等式组解集为： x＜－2，不符合题意；
C、x+1≥0①x−2<0②，
解不等式①得：x≥－1，
解不等式②得：x＜2，
故不等式组解集为：－1≤x＜2，不符合题意；
D、x+1>0①x−2≤0②，
解不等式①得：x＞－1，
解不等式②得：x≤2，
故不等式组解集为：－1＜x≤2，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
18．（2022·浙江·温州绣山中学二模）某不等式的解在数轴上表示如图，则该不等式的解是（ ）
A．x≤3B．x<3C．x≥3D．x>3
【答案】A
【分析】根据数轴上表示出的解集，找出不等式的解集即可．
【详解】根据数轴得：x≤3，
则此不等式组的解集为x≤3，
故选A．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
19．（2022·宁夏银川·一模）如图所示，直线l经过第二，三，四象限，l的解析式是y=m−2x+n，则m的取值范围则数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到m-2＜0且n＜0，解得m＜2，然后根据数轴表示不等式的方法进行判断．
【详解】解：∵直线y=(m-2)x+n经过第二、三、四象限，
∴m-2＜0且n＜0，
∴m＜2．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
20．（2022·河北保定·一模）不等式2x−1<4(x+1)的解集表示在如图所示的数轴上，则阴影部分盖住的数是（ ）
A．−1B．−2C．−1.5D．−2.5
【答案】D
【分析】首先将该不等式的解集求出来，由此进一步判断即可.
【详解】原不等式去掉括号可得：2x−1<4x+4，
移项化简可得：−2x<5，
解得：x>−2.5，
∴阴影部分盖住的数是−2.5，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握相关方法是解题关键.
【考点5 解一元一次不等式（组）】
21．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校二模）已知关于x的不等式xa<7的解也是不等式2x−7a5>a2−1的解，则常数a的取值范围是_____．
【答案】−109≤a<0
【分析】先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出不等式求解即可．
【详解】解：关于x的不等式2x−7a5>a2−1，
解得：x>194a−52，
∵关于x的不等式xa<7的解也是不等式2x−7a5>a2−1的解，
∴ a＜0，
∴不等式xa<7的解集是x>7a，
∴ 7a≥194a−52，解得：a≥−109，
∵a＜0，
∴−109≤a<0，
故答案为：−109≤a<0．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是分别求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出关于a的不等式，注意在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向．
22．（2022·河南·一模）对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如：[1,2]=1，[3]=3，[−2.5]=−3，若[x+23]=−5，则整数x的取值是__________．
【答案】-17或-16或-15
【分析】根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【详解】∵[x]表示不大于x的最大整数，
∴-5≤x+23＜-5+1，
解得-17≤x＜-14．
∵x是整数，
∴x取-17，-16，-15.
故答案为：-17，-16，-15．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，关键是根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，求出不等式组的解集．
23．（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）解不等式组x−1≤1+2x①3(x+1)<4x+1②，请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得___________；
(2)解不等式②，得___________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为___________．
【答案】(1)x≥−2
(2)x>2
(3)见解析
(4)x>2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式①，x−2x≤1+1，
∴x≥−2，
故答案是：x≥−2．
（2）解：解不等式②，3x−4x<1−3，
∴x>2，
故答案是：x>2．
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示，
故答案如图所示．
（4）解：根据图示得，原不等式组的解集为x>2，
故答案是：x>2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24．（2022·湖南常德·一模）解不等式组5x−3≥2x3x−12＜4，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式的解集是1≤x＜3，在数轴上表示见解析.
【分析】先根据解不等式组的方法求出原不等式组的姐姐，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可解答本题．
【详解】解：5x−3≥2x3x−12＜4
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜3，
故原不等式的解集是1≤x＜3，在数轴上表示如下图所示，
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确解不等式组的方法，会在数轴上表示不等式组的解集．
25．（2022·宁夏·银川外国语实验学校一模）解不等式组3x+1<2x+2−13x≤53x+2，并在所给的数轴上表示其解集
【答案】−1≤x<3，数轴见解析
【分析】求出每个不等式的解集，得到不等式组的解集，在数轴上表示出来即可．
【详解】解：3x+1<2x+2①−13x≤53x+2②
解不等式①得，x<3，
解不等式②得，x≥−1，
表示在数轴上如下，
∴不等式组的解集是−1≤x<3．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
【考点6 一元一次不等式（组）的整数解】
26．（2022·河南·模拟预测）关于x的不等式组x−a<07−2x≤1的整数解有4个，则a的取值范围是（ ）
A．6＜a＜7B．6＜a≤7C．6≤a≤7D．6≤a＜7
【答案】B
【分析】首先解不等式组，利用a表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解即可求得a的范围．
【详解】解：x−a<0①7−2x≤1②
解①得x＜a，
解②得x≥3．
则不等式组的解集是3≤x＜a．
∵不等式组有4个整数解，
∴不等式组的整数解是3，4，5，6．
∴6＜a≤7．
故选B．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
27．（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）如果关于x的不等式组3x−a>02x−b≤0的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对a,b共有（ ）个
A．1B．2C．4D．6
【答案】D
【分析】先求出不等式组的解，得出关于a、b的不等式组，求出整数a、b的值，即可得出答案．
【详解】解：3x−a>0①2x−b≤0②，
解不等式①得：x>a3，
解不等式②得：x≤b2，
∴不等式组的解集为a3∵整数解仅有1，2，
∴0≤a3<1,2≤b2<3，
∴a=0，1，2，b=4，5，
∴整数a，b组成的有序数对a,b有（0，4），（0，5），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），共6个．
故选：D
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出a、b的值．
28．（2022·江苏·扬州市邗江区梅苑双语学校模拟预测）使得关于x的不等式组6x−a≥−10−1+12x<−18x+32有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程(a−5)x2+4x+1=0有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
A．35B．30C．26D．21
【答案】B
【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．
【详解】解：整理不等式组得：6x−a≥−10①−8+4x<−x+12②
由①得：x≥a−106，
由②得：x<4
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，
∴−1解得：4∵(a−5)x2+4x+1=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=16−4×(a−5)×1=36−4a≥0,
解得：a≤9，
∵方程(a−5)x2+4x+1=0是一元二次方程，
∴a≠5
∴4满足条件的整数有：6、7、8、9；
∴6+7+8+9=30，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，熟练掌握解不等式的性质和不等式解集的写法是解题发关键．
29．（2022·云南·昆明八中模拟预测）已知关于x的不等式组3x<4(x−3)+4x+24≤m恰有4个整数解，则m的取值范围为（ ）
A．72【答案】B
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围
【详解】解：解不等式组3x<4x−3+4①x+24≤m②，
由①得：x>8；
由②得：x≤4m−2，
∴不等式组的解集为8∵不等式组恰有4个整数解，即x=9，10，11，12，
∴12≤4m−2<13，解得72≤m<154．
故选：B．
【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定.求环等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，根据整数解的取值情况分情况讨论结果是解题的关键．
30．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处一模）解不等式组x+5<0,3x−12≥2x+1, 并写出它的最大整数解．
【答案】x<−5，−6
【分析】直接解不等式组求解，并在解集中取最大整数解即可．
【详解】解：x+5<0①3x−12≥2x+1②，
解不等式①得：x<−5，
解不等式②得：x≤−3，
∴不等式组的解集为：x<−5，
方程组的最大整数解为−6．
【点睛】本题考查不等式组的解法，寻找各不等式公共解集是解题的关键．
【考点7 含字母的一元一次不等式组的有（无）解问题】
31．（2022·云南昆明·一模）已知关于x的不等式组x−2>0−x+a≥0有以下说法：
①如果它的解集是2③如果它的整数解只有3，4，5，那么5≤a<6；④如果它有解，那么a≥3．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】解出不等式组中的每一个不等式，再逐项判断即可．
【详解】x−2>0①−x+a≥0②，
解不等式①，得：x>2，
解不等式②，得：x≤a．
∴如果它的解集是2当a=2时，则不等式②的解集为x≤2，
∴关于x的不等式组无解，故②正确；
∵关于x的不等式组的整数解只有3，4，5，
∴5≤a<6，故③正确；
∵关于x的不等式组有解，
∴a>2，故④错误；
综上可知，正确的有3个．
故选C．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数．掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
32．（2022·云南红河·一模）已知△ABC三边长分别为3、a、7（a为整数），且关于x的不等式组14(2x+8)≥7x−a<2无解，则满足所有条件的a的和为（ ）
A．17B．26C．27D．30
【答案】B
【分析】直接利用三角形三边关系得出a的取值范围，再解不等式组得出a的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：∵ΔABC三边长分别为3、a、7(a为整数），
∴7−3即4∵关于x的不等式组14(2x+8)⩾7x−a<2无解，
∴整理得x⩾10x<2+a无解，
则2+a⩽10，
解得：a⩽8，
故a=5，6，7，8，
则满足所有条件的a的和为：5+6+7+8=26．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及一元一次不等式组的解法，正确解不等式组是解题关键．
33．（2022·重庆八中一模）已知关于x的分式方程m2−2x−42x−2=1的解为整数，且关于y的不等式{m+4y<33y+2≥−y+3，有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数m的和为（ ）
A．−20B．−16C．−12D．−10
【答案】B
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出m的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有2个整数解确定m的值即可解答．
【详解】解：∵m2−2x−42x−2=1，
m2−2x+42−2x=1，
∴m+4=2−2x，
∴x=−1−m2，
∵分式方程的解为整数
∴−1−m2为整数，且−1−m2≠1 ，
∴m≠−4，
{m+4y<3①3y+2≥−y+3②，
解不等式①得：y<3−m4，
解不等式②得：y≥14，
∵有解且至多有2个整数解，
∴14<3−m4≤3，
∴-9≤m<2
综上所述，符合条件的整数m的值为：-8，-6，-2，0
∴-8-6-2+0=-16
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式的整数解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
34．（2022·黑龙江佳木斯·三模）若关于x的不等式组2x−3<7x−m>0无解，则m的取值范围是____________．
【答案】m≥5
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：2x−3<7①x−m>0②
解不等式①得：x<5，
解不等式②得：x>m，
∵不等式组无解，
∴m≥5．
故答案为：m≥5
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
35．（2022·江苏·南外雨花分校一模）关于x的不等式组x+32≥x+m3+4(x−1)>−9
(1)当m=1时，解该不等式组；
(2)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是______________________．
【答案】(1)−2(2)2【分析】（1）将m=1代入不等式组，求出两个不等式的解集，再求交集即可；
（2）同（1）求出不等式组的解集为−2(1)
解：当m=1时，不等式组为x+32≥x+1①3+4(x−1)>−9②
解不等式①得，x≤1，
解不等式②得，x>−2，
故不等式组的解集为：−2(2)
解：x+32≥x+m①3+4(x−1)>−9②
解不等式①得，x≤3−2m，
解不等式②得，x>−2，
故不等式组的解集为：−2∵该不等式组有解，但无整数解，
∴−2<3−2m<−1，
解得，2故答案为：2【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是读懂题意，根据“该不等式组有解，但无整数解”得到关于m的不等式组．
【考点8 不等式与方程的综合运用】
36．（2022·江苏盐城·二模）已知关于x、y的方程组2x+3y=123x+2y=5m+3（实数m是常数）．
(1)若x+y＝3，求实数m的值；
(2)若3＜x﹣y＜6，化简：|m﹣3|﹣|5m﹣12|．
【答案】(1)m＝0
(2)15﹣6m
【分析】(1)两个方程相加得出x+y=m+3，根据x+y=3得出关于m的方程，解之可得答案；
(2)第2个方程减去第1个方程得出x−y=5m−9，根据3(1)
解：2x+3y=12①3x+2y=5m+3②，
①+②得：5x+5y＝5m+15，
∴x+y＝m+3，
又∵x+y＝3，
∴m+3＝3，
∴m＝0；
(2)
解：②﹣①得：x﹣y＝5m﹣9，
∵3＜x﹣y＜6，
∴3＜5m﹣9＜6，
∴125∴m﹣3＜0；5m﹣12＞0，
∴|m﹣3|﹣|5m﹣12|＝3﹣m﹣5m+12＝15﹣6m．
【点睛】本题考查的是利用一元一次方程的解及不等式组解集求参数，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
37．（2022·浙江杭州·模拟预测）关于x,y的二元一次方程组ax+by=c（a,b,c是常数），b=a+1,c=b+1．
（1）当x=3y=1时，求c的值．
（2）当a=12时，求满足|x|<5,|y|<5的方程的整数解．
（3）若a是正整数，求证：仅当a=1时，该方程有正整数解．
【答案】（1）c=73；（2）x=2y=1，x=−1y=2 x=−4y=3；（3）证明见解析．
【分析】（1）由题意，得b=a+1,c=a+2，解得代入已知式可得ax+(a+1)y=a+2，代入即可求得c=73；
（2）当a=12时，方程为12x+32y=52，即x+3y=5，根据方程和解的范围即可求得；
（3）由题意，得x+y+1a(y−2)=1，x、y均为正整数，则1a(y−2)<0，a是正整数，则y-2是负整数，从而求得y=1，把y=1代入①得，ax=1，即可求得a=1，此时方程的正整数解是x=1，y=1．
【详解】解：（1）∵b=a+1,c=a+1，
∴b=a+1,c=a+2，
∴ax+(a+1)y=a+2，
将x=3y=1代入上式得3a+(a+1)=a+2，
解得a=13，
∴c=a+2=13+2=73．
（2）当a=12时，c=52,b=32，
∴原方程为12x+32y=52，
即x+3y=5，
∴y=5−x3，
又∵|x|<5,|y|<5，
∴ x=2y=1，x=−1y=2，x=−4y=3．
（3）∵b=a+1,c=a+2，
∴ax+(a+1)y=a+2，
整理得ax+ay+y=a+2，
两边同时除以a得x+y+1ay=1+2a，
整理得x+y+1a(y−2)=1，
∵x，y是正整数，
∴x+y≥2，
∴1a(y−2)<0，
∵a≥1，
∴y−2<0即y<2，
∵y是正整数，
∴y=1，
代入方程得x+1−18=1，
则x=1a，
∵x是正整数，a是正整数，
∴a=1．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，绝对值的性质，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解答此题的关键．
38．（2022·山东聊城·二模）若数a使关于x的分式方程x+2x−1+a1−x=3的解为非负数，且使关于y的不等式组y−34−y+13≥−13122(y−a)＜0的解集为y≤0，求符合条件的所有整数a的积．
【答案】40
【分析】先用a表示方程的解，根据解是非负数，且x≠1，结合不等式组的解集确定a的范围，求得整数解计算即可．
【详解】∵x+2x−1+a1−x=3，
去分母，得
x+2-a=3x-3,
移项、合并同类项，得 2x=5-a，
系数化为1，得
x=5−a2，
∵数a使关于x的分式方程x+2x−1+a1−x=3的解为非负数，且x-1≠0，
∴5−a2≥0,5−a2≠1，
∴a≤5,a≠3，
∵y−34−y+13≥−1312①2(y−a)＜0②，
∴①的解集为y≤0，②的解集为y＜a，
∵y−34−y+13≥−13122(y−a)＜0的解集为y≤0，
∴a＞0，
∴符合条件的所有整数a为1,2,4,5，
∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5=40．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式组的解集，熟练掌握解分式方程，不等式组的解集是解题的关键．
39．（2022·江苏南京·模拟预测）若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=3的解为正数，且使关于y的不等式组y+23−y2>12y−a≤0的解集为y<−2，求符合条件的所有整数a的和．
【答案】5
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜-2，即可得出a≥-2，找出-2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．
【详解】由题意解分式方程为x=5−a3 a≠2
∴5−a3>0，
∴a<5且a≠2，
解不等式组y+23−y2>112(y−a)≤02，
解不等式①得：y<−2；
解不等式②得：y≤a．
∵不等式组的解集为y<−2，
∴a≥−2．
即−2≤a<5且a≠2，
∴整数a可取整数为−2，−1，0，1，3，4；
故整数a的和为−2+−1+0+1+3+4=5
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y＜-2，找出-2≤a＜6且a≠2是解题的关键．
40．（2022·广西防城港·一模）对x，y定义一种新运算Τ，规定Τ(x,y)=ax+by2x+y(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例：Τ(0,1)=a×b+b×12×0+1=b.
已知Τ(1,−1)=−2，Τ(4,2)=1，
(1)求a，b的值；
(2)若关于m的不等式组{Τ(2m,5−4m)≤4,Τ(m,3−2m)>p恰好有3个整数解，求实数p的取值范围．
【答案】（1）a，b的值分别为1，3；（2）−2≤p<−13．
【分析】（1）已知T的两对值，分别代入T中计算，求出a与b的值即可；
（2）根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可．
【详解】（1）由Τ(1,−1)=−2，Τ(4,2)=1，
得a×1+b×(−1)2×1−1=−2，a×4+b×22×4+2=1，
整理得：{a−b=−24a+2b=10，
解得{a=1b=3，
即a，b的值分别为1，3；
（2）由（1）得Τ(x,y)=x+3y2x+y，
则不等式组{Τ(2m,5−4m)≤4,Τ(m,3−2m)>p
化为{−10m≤5,−5m>3p−9,
解得−12≤m<9−3p5.
∵不等式组{Τ(2m,5−4m)≤4,Τ(m,3−2m)>p恰好有3个整数解，
∴2<9−3p5≤3，
解得−2≤p<−13．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及不等式组的应用，理解题目中新定义的运算是解题关键．
【考点9 由实际问她抽象出一元一次不等式（组）】
41．（2022·浙江杭州·模拟预测）小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于500cm2，则宽的长度xcm应满足的不等式组为（ ）
A．25x≥500x<25B．25x≥500x>25C．25x>500x<25D．25x<500x>25
【答案】A
【分析】根据长方形的宽小于长和长方形的面积不小于500cm2列出不等式即可．
【详解】解：由题意可知
25x≥500x<25
故选A．
【点睛】此题考查的是根据题意，列不等式组，掌握长方形的宽小于长和长方形的面积公式是解决此题的关键．
42．（2022·天津市东丽中学模拟预测）某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？如果将该商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ）
A．120x≥80×5%B．120x﹣80≥80×5%
C．120×x10≥80×5%D．120×x10﹣80≥80×5%
【答案】D
【分析】根据题意找到不等关系再代入对应的数据即可.
【详解】设该商品打x折销售，根据题意可得：
120×x10−80≥80×5%
故选：D．
【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是找到题目中的不等关系，再代入数据即可.
43．（2022·山东省临邑县宿安中学模拟预测）北京2022冬奥会吉样物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，借价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（ ）
A．100x+8010−x>900B．100x+8010−x<900
C．100x+8010−x≥900D．100x+8010−x≤900
【答案】D
【分析】设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融10−x件，再根据总共花费不超过900元，列出不等式即可．
【详解】解：设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融10−x件，
由题意得100x+8010−x≤900，
故选D．
【点睛】本题主要考查了列不等式，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．
44．（2022·广东深圳·三模）每年的6月5日为世界环境日．中国生态环境部将“共建清洁美丽世界”作为今年环境日的主题，旨在促进全社会增强生态环境保护意识，投身生态文明建设．某校学生会积极响应国家号召，组织七年级和八年级共100名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1800个，至少需要多少名八年级学生参加活动？设参加活动的八年级学生x名，由题意得（ ）
A．15x＋20（100﹣x）≥1800B．15x＋20（100﹣x）＞1800
C．20x＋15（100﹣x）≥1800D．20x＋15（100﹣x）≤1800
【答案】C
【分析】设参加活动的八年级学生x名，，则参加活动的七年级学生为（100-x）名，由收集塑料瓶总数不少于1800个建立不等式即可．
【详解】设参加活动的八年级学生x名，则七年级参加活动的人数为（100-x）名，由题意得,
20x＋15（100﹣x）≥1800
故选C．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时由收集塑料瓶总数不少于1800个建立不等式是解题的关键．
45．（2022·福建三明·三模）某运输公司要将200吨的货物运往某地，准备用A，B两种型号的汽车共12辆参与运货．已知A型汽车每辆可装货物20吨，B型汽车每辆可装货物15吨．在每辆汽车不超载的情况下，要把这200吨货物一次性装运完成，至少要安排几辆A型汽车？设安排x辆A型货车参与运货，可得不等式为______．
【答案】20x+1512−x≥200
【分析】设安排x辆A型货车参与运货，根据把这200吨货物一次性装运完成，可列出不等式．
【详解】解：设安排x辆A型货车参与运货，
由题意可得：20x+1512−x≥200，
故答案为：20x+1512−x≥200．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到不等关系．
【考点10 一元一次不等式（组）的应用】
46．（2022·广东·丰顺县东海中学一模）如图，要设计一个长为 15cm，宽为 10cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为 5：4，若要使所有彩条所占面积是 50cm2，应如何设计每个彩条的宽度？
【答案】设计每个横彩条的宽度为 54cm，每个竖彩条的宽度为 1cm
【分析】设每个横彩条的宽度为 5x cm，则每个竖彩条的宽度为 4x cm，根据所有彩条所占面积是50cm2，列一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设每个横彩条的宽度为 5x cm，则每个竖彩条的宽度为 4x cm．
依题意，得15−2×5x10−2×4x=15×10−50．
解得x1=52，x2=14．
由题意，得 15−2×5x>0，10−2×4x>0，
解得 x<54．
∴x=14．
∴5x=5×14=54cm，4x=4×14=1cm．
答：设计每个横彩条的宽度为 54cm，每个竖彩条的宽度为 1cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立正确的等量关系是解题的关键．
47．（2022·黑龙江·虎林市实验中学二模）夏季即将来临，商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价．
(2)若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请求出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，若商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，求商场购进多少台甲种空调所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)甲、乙两种空调每台进价分别为2000元，1500元
(2)y=200x+6000
(3)商场购进12台甲种空调所获得的利润最大，最大利润是8400元
【分析】（1）设乙种空调每台进价为x元，则甲种空调每台进价为x+500元，根据用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据甲种空调x台，得到乙中空调20−x台，由售价﹣进价＝利润表示出y与x的函数解析式即可；
（3）设购买甲种空调x台，则购买乙种空调20−x台，根据商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，求出x的范围，求出最大利润．
【详解】（1）解：设乙种空调每台进价为x元，则甲种空调每台进价为x+500元，
根据题意得：4000x+500=3000x，
去分母得：40000x=30000x+15000000，
解得：x=1500，
经检验x=1500是分式方程的解，且x+500=2000，
则甲、乙两种空调每台进价分别为2000元，1500元；
（2）解：根据题意得：y=2500−2000x+1800−150020−x=200x+6000；
（3）解：设购买甲种空调x台，则购买乙种空调20−x台，
根据题意得：2000x+150020−x≤36000，且x≥10，
解得：10≤x≤12，
因为y=200x+6000，y随x的增大而增大，
所以当x=12时，利润最大，最大利润为8400元，
答：商场购进12台甲种空调所获得的利润最大，最大利润是8400元．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
48．（2022·安徽六安·模拟预测）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，购进2千克甲水果和3千克乙水果共需23元，购进3千克甲水果和1千克乙水果共需17元，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和10元/千克．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的1.5倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元
(2)购进甲种水果120千克，乙种水果80千克才能获得最大利润，最大利润为640元．
【分析】（1）设甲种水果的进价为x元，乙种水果的进价为y元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2) 根据总利润＝每件利润×销售量，设购进甲种水果m千克，则乙种水果200−m千克，利润为w元，根据题意列出关系式求解即可．
【详解】（1）设甲种水果的进价为x元，甲种水果的进价为y元，根据题意得：
2x+3y=233x+y=17，解得x=4y=5，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元．
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果200−m千克，利润为w元，
由题意得：
w=6−4m+10−5200−m=−3m+1000，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的1.5倍，
∴m≥1.5200−m，
解得m≥120，
∵−3<0，则w随m的增大而减小，
∴当m=120时，w最大，最大值=−360+1000=640，则200−m=80，
答：购进甲种水果120千克，乙种水果80千克才能获得最大利润，最大利润为640元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组及对应的关系式．
49．（2022·陕西西安·模拟预测）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米．
(1)如果要围成面积为63平方米的花圃，那么AB的长是多少米？
(2)能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由．
【答案】(1)7米
(2)不能，理由见解析
【分析】(1)首先根据题意列出不等式组，可求得x的取值范围，再根据各边长度间的关系可得出BC=AD=(30−3x)米，再利用矩形的面积计算公式及围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之并取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)首先根据围成花圃的面积为78平方米，即可得出关于x的一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式，即可判定能否围成面积为78平方米的花圃．
【详解】（1）解：∵AB=x米
∴BC=AD=(30−3x)米，
∵30−3x>030−3x≤10
∴203≤x<10，
根据题意得：x30−3x=63，
解得x1=7，x2=3(不符合题意，舍去)，
答：如果要围成面积为63平方米的花圃，那么AB的长是7米；
（2）解：不能围成面积为78平方米的花圃；
理由如下：
根据题意得：x30−3x=78，
整理得：x2−10x+26=0，
∵Δ=−102−4×1×26=−4<0，
∴该方程没有实数根，
故不能围成面积为78平方米的花圃．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，灵活运用一元二次方程根的判别式．
50．（2022·陕西·西北轻工业学院附中三模）小敏和小强到某厂参加社会实践，该厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸裁成盒身3个或者盒盖5个，且一个盒身和两个盒盖恰好能做成一个包装盒，设裁成盒身的白板纸有x张，回答下列问题．
(1)若有11张白板纸．
①请完成如表；
②求最多可做几个包装盒；
(2)若仓库中已有4个盒身，3个盒盖和23张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，可做多少个包装盒？
(3)若有n张白板纸（70≤n≤80），先把一张白板纸适当套裁出3个盒身和1个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，求n的值．
【答案】(1)①3x，11-x，511-x；②15
(2)34个
(3)79
【分析】（1）①根据题意可填表即可；②由题意可得3x×2=511−x，求出做盒身的白纸板的数量，最后求出盒子的个数即可；
（2）设裁成盒身用y张白纸板，则裁盒盖的白纸板有23−y张，列出方程2×3y+2×4=3+523−y求解即可；
（3）设用z张白纸板裁盒身，则裁盒盖的白纸板有（n−z−1） 张，列方程为3×2+2×3z=5（n−z−1）+1，求出n与z的关系式为5n＝11z+10，再由70≤n≤80可得350≤11z+10≤400，即34011≤z≤39011，进而求出n的值．
【详解】（1）解：①完成下表为：
故答案为：3x，511−x；
②由题意可得：3x×2=511−x，解得x=5，
∴有5张白板纸做盒身，
∴最多可以做15个包装盒；
答：最多可做15个包装盒
（2）解：设裁成盒身用y张白板纸，则裁盒盖的白板纸有23−y张，
由题意可得2×3y+2×4=3+523−y，解得y=10，
∴10张白板纸能做30个盒身，
∴可以做34个包装盒；
（3）解：设用z张白板纸裁盒身，则裁盒盖的白板纸有（n−z−1）张，
由题意可得，3×2+2×3z=5（n−z−1）+1
∴5n＝11z+10，
∵70≤n≤80，
∴350≤11z+10≤400，
∴34011≤z≤39011，即31≤z≤35，
∵5n＝11z+10
∴n的值为79．
【点睛】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、找准等量关系、列出代数式和方程是解题的关键． x张白板纸裁成盒身
张白板纸裁成盒盖
盒身的个数
0
盒盖的个数
0
x张白板纸裁成盒身
张白板纸裁成盒盖
盒身的个数
3x
0
盒盖的个数
0
5(11-x)