通关练11 椭圆的离心率及其应用-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第一册)

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一、单选题
1．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（ ）
A．3B．7C．3或D．7或
【答案】C
【分析】根据给定的方程，按焦点位置分类求解作答.
【详解】椭圆的离心率，
当椭圆焦点在x轴上时，，即，，解得，
当椭圆焦点在y轴上时，，即，，解得，
所以的值可能是3或.
故选：C
2．（2022秋·广西桂林·高二校考期中）双曲线与椭圆焦点相同且离心率是椭圆离心率的倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的方程求出焦点坐标与离心率，设双曲线的标准方程为，可得，求解即可.
【详解】椭圆的焦点坐标为,离心率为.
设双曲线的标准方程为，
由题意可得，解得.
所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
3．（2021秋·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，左顶点为A，上顶点为B，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，可得，利用，即可求得答案.
【详解】由题意知椭圆的一个焦点为，左顶点为A，上顶点为B，
若，则 ，即，
设椭圆的离心率为,则，
故选：D
4．（2023秋·湖北·高二武汉市第二十三中学校联考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过点且斜率为的直线l与C在x轴上方的交点为A．若，则C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据的正切值，求出的余弦值，在用余弦定理求出用表示，再求解.
【详解】设则，
又，在中，由余弦定理得：
故选：A
5．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果.
【详解】设，，则，
在中，，
所以，
所以，
所以，
因为，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，所以，
所以，所以，又，
所以.
故选：C
6．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，离心率分别为，椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点､顶点､中心平分为若干条等长线段，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意确定椭圆顶点坐标、双曲线顶点坐标、焦点用表示，进而可求解.
【详解】不妨设焦点在轴上，
根据题意，若双曲线的实轴长为，则椭圆的实轴长为，
则有椭圆的左右顶点为，双曲线左右顶点为，
焦点为，
所以，所以，故A错误，B正确；
，故C错误；
，故D错误，
故选:B.
7．（2023秋·北京·高二校考期末）已知，分别椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，满足，线段交y轴于点Q，若，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意得垂直于轴，，为的中点，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合椭圆的方程可得，由勾股定理和离心率公式，计算可得答案．
【详解】由题意可得垂直于轴，，
因为为的中点，则为的中点，可得，
由可得，则，即有，
在直角三角形中，可得，
即有，可得，即，
由可得，，解得或(舍去)，
故选：D.
8．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）已知，分别是椭圆（）的左、右焦点，是椭圆上一点，且垂直于轴，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】在直角中，由得到的等量关系，结合计算即可得到离心率.
【详解】由已知，且垂直于轴
又在椭圆中通径的长度为，，
所以,
故,
即,
,又因为
解得
故选：
9．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（ ）
A．12B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】根据给定的离心率及三角形周长，求出椭圆方程，再设出直线MN的方程，与椭圆方程联立求解三角形面积即可.
【详解】依题意，周长，解得，
而椭圆的离心率，则其半焦距，因此，
椭圆C：，，显然直线不垂直于y轴，设其方程为，
由消去x得：，设，
则有，
，
令，函数在上单调递增，因此当时，取得最小值4，
即，的面积，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为12.
故选：A
10．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知A是椭圆：的上顶点，点，是上异于A的两点，是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的有且仅有1个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意联立方程求点的横坐标，由结合弦长公式整理可得关于的方程有且仅有一个解，分类讨论运算求解.
【详解】由题意可得：，
∵直线的斜率存在且不为0，设为，则直线，
联立方程，消去y得：，解得或（舍去），
即点B的横坐标为，
同理可得：点C的横坐标为，
由题意可得：，即，
整理得：，
由题意结合椭圆的对称性可得：关于的方程有且仅有一个解，则有：
当是方程的根，即，则，
若，则有且仅有一个解，即符合题意；
当不是方程的根，则在内无零点，
∵，则的对称轴，
∴，解得；
综上所述：，故椭圆离心率.
故选：B.
【点睛】易错点点睛：
在处理关于的方程有且仅有一个解的问题时，注意到该方程一定有一解，则需要讨论是否为的根.
11．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左，右焦点分别是，，点P是椭圆C上一点，点Q是线段靠近点的三等分点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作图，根据图中的几何关系求解.
【详解】由题意作图如下：
设 ， ，则有 ， ，
， ， ， ，得：…① ，
化简得： ，即 ，P点也在以 为圆心半径为c的圆上，
即圆与椭圆必定有不与右顶点重合的交点（与右顶点重合显然不满足题意），
圆 与x轴除原点外的另一个交点的坐标是 ，并且该交点必须在椭圆外， ，即 ，因为是椭圆，所以 ；
故选：A.
12．（2022秋·广西河池·高二校联考阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点，若满足的内切圆的周长等于的点有且只有2个，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件结合椭圆的对称性确定点的位置，根据内切圆的性质确定的关系，由此可求离心率.
【详解】因为满足的内切圆周长为的点有且只有2个，由椭圆的对称性质，是椭圆的短轴的端点，因为内切圆的周长为，所以的内切圆半径，因为
，所以，所以，
故选：D.
13．（2022秋·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）设椭圆左、右焦点分别，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由点在椭圆外部得不等关系，变形后得离心率的一个范围，利用椭圆定义变形后，结合题意得不等关系，从而得的一个范围，再结合可得结论．
【详解】∵点在椭圆的外部，则，可化为，
∴，即．
由椭圆的定义得，
，
，
又∵恒成立，
∴，解得，即，
又，综上可得，
即椭圆离心率的取值范围是．
故选：D．
14．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）记椭圆的左焦点和右焦点分别为，右顶点为，过且倾斜角为的直线上有一点，且在轴上的投影为.连接，的方向向量，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线的方向向量，分析出的值，证明出，最后借助的两种表达方式列方程求解.
【详解】由于，根据直线方向向量的性质可得，直线的斜率为，即倾斜角为，于是，即，故，由此得到，，，所以离心率.
故选：C
15．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）已知椭圆，点为直线与轴的交点，点是直线上异于的定点，是椭圆上一动点，且面积最大值是它的最小值的倍.当椭圆的四个顶点构成四边形面积最大值时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析可知直线与椭圆相离，将直线与椭圆的方程联立，由可得出，设点，其中，计算出点到直线的距离，分析可得，可得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出椭圆的四个顶点构成四边形面积最大值，利用等号成立的条件求出、的值，由此可求得椭圆的离心率的值.
【详解】若直线与椭圆有公共点时，的面积不存在最小值，不合乎题意，
故直线与椭圆相离，联立可得，
，可得，
设点，其中，
点到直线的距离为
，为锐角，且，
所以，，，
因为面积最大值是它的最小值的倍，则，可得，
所以，，由基本不等式可得，即，
当且仅当时，即当，时，等号成立，
所以，椭圆的四个顶点构成四边形面积为，
此时，，椭圆的离心率为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
二、多选题(共0分)
16．（2022秋·广西玉林·高二校考阶段练习）曲线与曲线，下列选项错误的是（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．离心率相等
【答案】ABD
【分析】根据曲线方程可确定两椭圆的长轴、短轴、焦距和离心率，由此可得结果.
【详解】曲线表示的椭圆焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为；
曲线表示的椭圆焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为；
两曲线的焦距相等，但长轴长、短轴长、离心率都不相等.
故选：ABD.
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且AB⊥BF，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由已知解得a、c的关系式，再依次代入各项计算判断其是否正确；
【详解】
由题意知，，，，则，，
∵ ，
∴，即：， ①
又∵ ，②
∴由①②得：，即：，
又∵ ，
∴，故D项正确；
∴，
∴，
∴，故A项正确；
∴，故B项正确；
∴，故C项错误；
故选：ABD.
18．（2022·全国·高二假期作业）已知椭圆与双曲线有相同的焦点的离心率分别为曲线与的一个公共点，则下列各项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则无最小值
D．若，则最小值为2
【答案】AC
【分析】计算得到，，A正确，B错误；确定，，根据函数的单调性得到C正确，D错误.，得到答案.
【详解】记焦距为，则，
由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，
结合选项，不妨设，，故.
若，则，故A正确，B错误.
若，则，
即
，
记，则在上单调递增，取值范围为，
无最小值，故C正确，D错误.
故选：AC
19．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知椭圆C：，焦点（-c，0），，下顶点为B.过点的直线l与曲线C在第四象限交于点M，且与圆相切，若，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C上存在点Q，使得；B．直线l的斜率为；
C．椭圆C与圆A外切；D．椭圆的离心率为.
【答案】BD
【分析】利用直线l与圆A相切求出直线斜率，再利用，解得离心率，找到之间的关系进而判断出BD正确.
【详解】设直线l的方程为，圆心到直线l的距离，解得，，所以选项B正确；
因为，所以，，
因为，，
所以，即，又
解得，
所以选项D正确；
由，则，，
所以，
则，即，
又，故选项A错误；
到椭圆左顶点的距离，
椭圆C与圆A相交，所以选项C错误；
故选：BD.
20．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知，为椭圆左、右顶点，为的右焦点，是的上顶点，，的垂直平分线交于，，若，，三点共线，则（ ）
A．
B．的离心率为
C．点到直线的距离为
D．直线，的斜率之积为
【答案】ABD
【分析】根据题意得的方程为，进而得，再整理得，进而求，离心率判断AB；求出直线的方程并结合点线距公式求解判断C；设，则，进而求解即可判断D.
【详解】解：由题知，，，，
所以，，的中点为，
所以，的垂直平分线的方程为，
因为，，三点共线，
所以，整理得，
所以，即
所以，，故A选项正确；
所以，即，解得或（舍）
所以，椭圆的离心率为，故B选项正确；
因为直线的方程为，即，
所以，点到直线的距离为，故C选项错误；
设，则，故，
由于，
所以，故D选项正确；
故选：ABD
三、填空题(共0分)
21．（2022秋·广西玉林·高二校考阶段练习）若椭圆的离心率为，则m的值为______．
【答案】或3
【分析】分情况讨论焦点在y轴和x轴，根据离心率公式求解.
【详解】当时，椭圆焦点在y轴上，
此时，，从而，解得；
当时，椭圆焦点在x轴上，
此时，，从而，解得．
故答案为：或3.
22．（2022秋·吉林·高三吉化第一高级中学校校考阶段练习）已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【分析】先结合椭圆的定义表示出，化简后结合的范围可求出的最值，然后列方程可表示出的关系，从而可求出椭圆的离心率.
【详解】因为，
所以，
所以当时，取得最大值，
因为，所以的最小值为，
因为的最大值是它的最小值的2倍，
所以，
所以，所以，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：.
23．（2020春·天津宁河·高二校考阶段练习）椭圆右焦点为，，是两个顶点，若点到直线的距离为，则椭圆的离心率为________.
【答案】
【分析】由题意可得直线的方程，利用点到直线的距离公式列出等式，化简可得，即，即可求得答案.
【详解】两个顶点为，，
∴直线的方程为 ，即，
∵椭圆右焦点为，F到直线的距离等于，
所以，即，
即，两边同除以，即，
解得或，
由于，故，
故答案为：
24．（2022秋·山西吕梁·高二校考阶段练习）已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率_____________.
【答案】
【分析】设，求出重心的坐标，利用中面积等积法可求出的关系，即可得椭圆离心率.
【详解】设为的重心，点坐标为，
∵，∴IG∥x轴或 IG两点重合， ∴I的纵坐标为，
在中，，
，
又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即知内切圆半径，
内心I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，
，
即，，
∴椭圆C的离心率
故答案为:
25．（2021秋·陕西渭南·高二统考期末）已知，为椭圆（）的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆离心率的取值范围为____________.
【答案】
【分析】根据条件，在 内运用余弦定理求解.
【详解】
设 ， ，由条件知： ，
…①
在 中，由余弦定理知： ，
由①得： ；
故答案为： .
26．（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）设椭圆与双曲线，若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则椭圆的离心率的范围是______.
【答案】
【分析】根据双曲线方程确定其渐近线方程，可得不等式，再由椭圆方程的关系确定离心率取值范围即可.
【详解】解：双曲线的渐近线方程为，由题意可得：，则，
设椭圆的半焦距为
又椭圆中，则，整理得，所以离心率，
又椭圆离心率，故椭圆的离心率的范围是.
故答案为：.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________.
【答案】
【分析】利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时四点分别变换为四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点，当为多少时，能使得过的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大.
【详解】作仿射变换，令，可得仿射坐标系，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆，点坐标分别为，过作两条平行的弦分别与圆交于四点.
由平行四边形性质易知，三角形的面积为四点所形成的平行四边形面积的，故只需令三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到即可.当时，三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到.
故此题离心率的取值范围为.
故答案为：.
28．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知椭圆的焦距为2，过椭圆的右焦点且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于，两点，若轴上的点满足且恒成立，则椭圆离心率的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据给定条件，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求出线段AB中点横坐标，即可列式求解作答.
【详解】依题意，点，设直线，，
由消去x得：，
则，线段AB的中点，
因为，则有，直线，
令得点，而，有，
又，即，因此，即，
依题意，恒成立，而恒有，因此，离心率，
所以椭圆离心率的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
29．（2023秋·湖北孝感·高二统考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解.
【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点，
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义可得，
，所以，，
，在△中，，
由余弦定理得，
化简得，即．
所以，从而，
当且仅当，且，即，时等号成立．
故答案为：
30．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】根据给定条件，结合椭圆、双曲线定义，利用半焦距c及双曲线实半轴长表示椭圆的长半轴长，再利用离心率的意义列式，借助均值不等式求解作答.
【详解】令，椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为，
因为线段的垂直平分线过，则有，
依题意，，，于是得，而，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
31．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，C的下顶点为A，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长为______.
【答案】
【分析】利用可得椭圆的方程为，为正三角形，通过几何关系可得到直线的方程为，与椭圆进行联立可得到，，结合弦长公式和椭圆的定义即可求解
【详解】因为椭圆的离心率，所以，，所以椭圆的方程为，即，
在中，，，所以为正三角形，
过且垂直于的直线与C交于D，E两点，所以DE为线段的垂直平分线，直线DE的斜率为，所以直线的方程为，
设，，由，得，
所以，，
所以，解得，所以，
因为为线段的垂直平分线，所以，，
所以的周长为.
故答案为：
四、解答题
32．（2023秋·天津红桥·高二统考期末）设椭圆的离心率，过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，当时，求的值.(为坐标原点)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率、椭圆的关系和椭圆所过点可构造方程组求得，由此可得椭圆方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，根据垂直关系可得，利用向量数量积坐标运算和韦达定理结论可构造方程求得结果.
【详解】（1）离心率，，，
椭圆方程为，又椭圆过点，，解得：，
，，椭圆的方程为：.
（2）由得：，
则，解得：；
设，，，，
，，
解得：，均满足，.
33．（2023秋·天津南开·高三校考期末）已知椭圆C：的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若A、B两点在椭圆C上，坐标原点为O，且满足，
（i）求的取值范围；
（ii）求的面积.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）
【分析】（1）利用菱形的面积和椭圆的性质列方程组即可得出；
（2）（i）设直线的方程为，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公式、数量积运算即可得出；
（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可得出.
【详解】（1）由已知可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）设直线的方程为，设，
联立，得，
，即，
，.
，.
,
，即，
，
，，
，
又直线的斜率不存在时,
的取值范围是.
（ii）设原点到直线的距离为，
则
，
由化简可得.
的面积为.
34．（2023秋·天津河西·高三北京师范大学天津附属中学校考期末）已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．
【答案】(1)
(2)直线恒过定点，证明见解析
【分析】（1）根据椭圆定义、离心率和椭圆关系可直接求得椭圆方程；
（2）当斜率存在时，设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据垂直关系可得，代入韦达定理的结论可整理求得或，验证可知不合题意；当时，由直线过定点求法可知恒过；当斜率不存在时，若，可求得恒成立；综合两种情况可得结论.
【详解】（1）由椭圆定义知：，解得：，
又离心率，，，
椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）知：；
当直线斜率存在时，设，，，
由得：，
则，解得：，
，，
，，
即，
，
即，
整理可得：，或；
当时，直线恒过点，不合题意；
当时，直线，恒过定点；
当直线斜率不存在且恒过时，即，
由得：，，满足题意；
综上所述：直线恒过定点.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
35．（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为且离心率为，椭圆的长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以线段为直径作圆，若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点试判断是否为定值，并说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据椭圆的几何关系，定义，离心率代入即可求解；（2）点到直线的距离公式，轨迹方程，和椭圆的定义即可求解.
【详解】（1）由题意可知：，
解得，
则椭圆的标准方程为.
（2）
由（1）可知，
则，
设点则圆的半径为，
则直线直线方程为，
设的方程为
则
可得，
联立,
所以点的轨迹方程为,
则为定值.
36．（2022秋·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为为上一点，点在椭圆上，且．
(1)若椭圆的离心率为，短轴长为，求椭圆的方程；
(2)若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）先判断出圆的直径，求得点的横坐标，根据点，均在轴上方列不等式，化简求得离心率的取值范围.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题意，可得，
解得，，，
∴椭圆的方程为.
（2）方法一：设，，的中点为，
，
∵，
则的外接圆即为以为直径的圆的方程为：
，
整理得：，
由题意，焦点，原点均在该圆上，
∴，
消去可得，
∴，
∵点，均在轴上方，
∴
即，
∴，
∵，
∴，
方法二：∵，，，四点共圆且，
∴为圆的直径
∴圆心必为中点，
又圆心在弦的中垂线上，
∴圆心的横坐标为，
∴点的横坐标为，
∵点，均在轴上方，
∴
即，
∴，
∵，
∴，
故的范围为．