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23 解直角三角形模型之新定义模型-2024年中考数学几何模型归纳讲练（全国通用）
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这是一份23 解直角三角形模型之新定义模型-2024年中考数学几何模型归纳讲练（全国通用），文件包含23解直角三角形模型之新定义模型教师版docx、23解直角三角形模型之新定义模型学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
【知识储备】
模型1、新定义模型
此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。
若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；
1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。
图1 图2
2）余弦定理：如图2， ．
3）正弦面积公式：如图2，.
4）同角三角函数的基本关系式:，。
5）和（差）、二倍角角公式：
; .
; .
.
例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB； 在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
(1)证明：如图2，过点作于点，在中，，
在中，，，；
(2)解：如图3，过点作于点，，，，
在中，
又，即，，．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
例2．（2022·湖南湘西·统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccsA；b2＝a2＋c2﹣2accsB；c2＝a2＋b2﹣2abcsC
现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____．
【答案】
【分析】从阅读可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2ABACcsA，将数值代入求得结果．
【详解】解：由题意可得，
BC2＝AB2＋AC2﹣2AB•AC•csA＝32＋42﹣2×3×4cs60°＝13，∴BC＝，故答案为：．
【点睛】本题考查阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用．
例3．（2022·山东青岛·校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．
问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究．
探究一：如图1，在中，，，，，求的面积．
在中，， ．．
探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含、、代数式表示），写出探究过程．
探究三：如图3，中，，，，求的面积（用、、表示）写出探究过程．
问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）．
问题应用：如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用、、表示）写出解题过程．
问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、、、、、表示），其中，，，，，．
【答案】，见解析；，见解析；一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半；；
【分析】探究二：如图2中，作于．求出高，即可解决问题；
探究三：如图3中，作于．求出高，即可解决问题；
问题解决：（）是a、b两边的夹角）；
问题应用：如图4中，作AH⊥CB于H．求出高，即可解决问题；
问题拓广：如图5，连接，由探究三的结论可得出答案．
【详解】解：探究二：如图2中，作于．
，，，，
在中，，，，．
探究三：如图3中，作于．
在中，，．
问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半．
故答案为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半．
问题应用：如图4中，作于．
在中，，．
问题拓广：连接，由探究三的结论可得：．
．．
【点睛】本题考查四边形综合题、三角形的面积、平行四边形的面积，锐角三角函数知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
例4．（2023春·四川泸州·八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式：
（海伦公式）； （秦九韶公式）．
(1)一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积；
(2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，，，，求的面积和边上得高的长．
【答案】(1)(2)的面积为84；边上得高的长为12
【分析】（1）利用两个公式分别代入即可；
（2）设，则，利用勾股定理得，，即，求解得，即，再利用勾股定理求解，然后利用三角形面积公式求出其面积即可．
【详解】（1）解：，
由海伦公式可得；
由秦九昭公式可得．
（2）解：设，则，，，，
，解得；∴
∴．∴．
【点睛】此题考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积公式和勾股定理是解题的关键．
例5．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ，cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cs60°+cs30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cs90°＝0，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．
【详解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cs45°+cs60°sin45°= =，故此选项正确；
②tan105°=tan（60°+45°）== ==-2-，故此选项正确；
③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cs45°-cs60°sin45°==，故此选项正确；
④cs90°=cs（45°+45°）=cs45°cs45°-sin45°sin45°==0，故此选项正确；
故正确的有4个．故选D．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键．
例6．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．
(1)已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算；
(2)求风叶的长度．
【答案】(1)(2)风叶的长度为米
【分析】（1）根据题中公式计算即可；（2）过点A作，连接，，先根据题意求出，再根据等腰对等边证明，结合第一问的结论用三角函数即可求，再证明四边形是矩形，即可求出．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴；
（2）解：过点A作，连接，，如图所示，
由题意得：米，，∴米，，
∵三片风叶两两所成的角为，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴米，
∵，，∴，由（1）得：，
∴米，∴米，
∵，，，∴四边形是矩形，∴米，
∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，∴，
∴米，∴风叶的长度为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．
例7．（2023·四川宜宾·校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为 ．
【答案】
【分析】过点作于，利用的正弦函数值，设出的长，根据勾股定理求出，最后根据的规定求值即可．
【详解】解：过点作于，如图所示，
，设，，
，，，
；故答案为：．
【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了等腰三角形的定义、勾股定理和三角函数等知识，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义以及新定义运算的规定是解答此题的关键．
例8．（2022春·浙江·九年级专题练习）阅读下列材料：
在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）．
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出．
阅读以上内容，回答下列问题：在中，．
（1）如图3，若，则__，_____；
（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含的式子表示）．
【答案】（1）；；（2）
【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可；（2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：（1）由勾股定理可得：
由三角函数的定义可得，
由材料可得：故答案为；
（2）取的中点，连接，过点作于点，如下图：
则，，，
在中，，在中，，
在中，，则
则 故答案为
【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线作所求角的直角三角形．
例9．（2022·重庆·校考一模）材料一：证明：．
证明：如图，作∠BAC=∠a，在射线AC上任意取一点D(异于点A)，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵DE⊥AB于点E，
∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2
∵∠BAC=∠a ∴．
材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来.
应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的长．
(2)在（1）题图中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和csa表示AB的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不可以，说明理由．
【答案】(1)(2)能，过程见解析
【分析】(1) 过点A作于点D，根据解直角三角形即可求得；
(2) 过点A作于点D，根据解直角三角形即可求得．
【详解】（1）解：过点A作于点D
，
（2）解：如图，过点A作于点D
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键．
例10．（2023春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：
(1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ；
(2)若角α的终边与直线重合，则的值；
(3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值；
(4)若，则的取值范围是 ．
【答案】(1)(2)或(3)(4)
【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可；（2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可；（3）由题意可得，然后依据定理列出关于x的方程，从而求出x的值，然后依据正切的定义求解即可；（4）依据三角形的三边关系可得，然后再得到，再求得的取值范围，即可求得结果．
【详解】（1）解：当时，，，，
，，，故答案为：．
（2）解：∵若角α的终边与直线重合，，，
当时，，当时，，
的值为或．
（3）解：，点，且，
，（正值舍去），．
（4）解：，，，
，，又，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质、三角函数的定义及完全平方公式，理解三角函数的定义是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；；现已知在中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用公式直接解答即可．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，整理得，，
解得或（负值舍去），故选：B．
【点睛】此题考查了三角函数的应用、解一元二次方程，正确理解公式并灵活运用是解题的关键．
2．（2020·四川广元市·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．
【详解】解：（1），故此结论正确；
（2），故此结论正确；
（3）故此结论正确；
（4）==
，故此结论错误.故选：C．
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.
3．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
【详解】解：∵，，
∴ 即，
，，故选：A．
【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．
4．（2023·安徽滁州·校考二模）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题．中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若 一个三角形的三边长分别为5，6，7，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为5，6，7的面积，从而可以解答本题．
【详解】∵S=∴若一个三角形的三边长分别为5，6，7，
则面积是：S=，故选A.
【点睛】此题考查二次根式的应用，解题关键在于结合题意列相应的二次根式并将其化简.
5．（2023·山东潍坊·统考二模）一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．请根据以上材料，求得tan75°的值为 ．
【答案】2+．
【分析】根据给定的公式，将，代入中计算化简即可．
【详解】解： tan75°=tan（45°+30°）=====2+．
故答案为：2+．
【点睛】本题考查了三角函数的计算以及用平方差公式进行分母有理化，读懂新定义的含义是关键.
6．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．
sin230°＋cs230°＝ ；
sin245°＋cs245°＝ ；
sin260°＋cs260°＝ ；
……
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cs2A＝ ．
【答案】 1 1 1 1
【详解】sin230°＋cs230°＝=1 ，
sin245°＋cs245°＝=1 ，
sin260°＋cs260°＝=1 ，
即可猜想出：对任意锐角，都有 故答案为：1；1；1；1
7．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据和新定义，代入计算即可．
【详解】解：
，故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，涉及新定义，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，能准确进行二次根式的计算．
8．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
【答案】
【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可．
【详解】解：如图，在中，
∵，∴．
∵，∴．∵为锐角，∴．
∵
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键．
9．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据代入进行计算即可．
【详解】解：=
===．故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
10．（2023·四川成都·成都外国语学校校考一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即 ，同理有：，所以．
即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．
根据上述材料，完成下列各题．
（1）如图（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A= ；AC= ；
（2）某次巡逻中，如图（3），我渔政船在C处测得钓鱼岛A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．
【答案】（1）60°,20;(2)10
【详解】（1）先利用三角形内角和定理求出∠A，再利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可；（2）在△ABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理AB的长即可．
解析：（1）∵∠B=45°，∠C=75°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60°，
根据材料有：，∴，即，∴AC=20，故答案为60°，20；
（2）如图，依题意：BC=40×0.5=20（海里），∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°．∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°，
∵∠ABE=75°，∴∠ABC=75°，∴∠A=45°，
在△ABC中， ， 即， 解之得：AB=10海里，
所以渔政船距钓鱼岛A的距离为10海里．
【点睛】本题考查的阅读理解题，涉及到三角函数等知识，弄清材料中知识，并能应用解决相关的问题是关键.
11．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）定义：在△ABC中，若AB＝c，AC＝b，BC＝a，则存在余弦定理：，，，即三角形一边的平方等于另两边的平方和减去这两边与这两边夹角的余弦的积的2倍．
例如：在图1中，，∴AC＝
请你利用余弦定理解答下列问题：(1)应用新知：在图2中，①若a＝2，b＝3，∠C＝60°，则c＝______；
②若，，，求∠A；
(2)迁移发散：如图3，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°方向上，在A处看灯塔B在客轮的北偏西30°方向距离海里处，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°距离6海里处，求此时C处到灯塔B的距离．
【答案】(1)①；②∠A=60°(2)C处到灯塔B的距离为海里
【分析】（1）根据给出的公式和已知条件计算即可；
（2）求出的度数，得到，代入公式计算即可．
【详解】（1）解：①由余弦定理得：，；
②根据题意，由余弦定理得：，
∴，∴；
（2）解：，，
，，
答： 处到灯塔的距离为海里．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，掌握方向角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（2023·广东云浮·统考一模）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA=，sinB=，∴c=，c=，∴=，
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．
【答案】==，理由见解析.
【分析】过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．
【详解】解:==，理由如下：如图，过A作AD⊥BC，BE⊥AC，
在Rt△ABD中，sin∠ABC=，即AD=csin∠ABC，
在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，
∴csin∠ABC=bsinC, ∴=，即=，
同理可得=， 则==．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
13．（2023·山东·一模）小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，BC=a=1，AC=b=，AB=c=2，那么．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系”．
这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“”的关系是否成立？ 答：______________．
（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：
如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，
∴sinA=______________，sinB=______________．
∴=_____________，=____________．
∴
同理，过点A作AH⊥BC于H，可证∴
请将上面的过程补充完整．（3）运用上面结论解答下列问题：
①如图4，在△ABC中，如果∠A=75°，∠B=60°，AB=6，求AC的长．
②在△ABC中，如果∠B=30°，AB=，AC=2，那么△ABC内切圆的半径为______．
【答案】（1）成立；（2）；；； ；（3）①；②
【分析】（1）根据三角函数的定义得到于是得到结论；
（2）过点C作CD⊥AB于D．根据三角函数的定义得到，，推出，．同理，过点A作AH⊥BC于H，可证，即可得到结论；
（3）①把∠C=45°，∠B=60°，AB=c=6，代入，解方程得到b=，即可得到结论；②过△ABC内切圆的圆心O作OE⊥AB，OG⊥AC，OF⊥BC，则OG=OE=OF=r，证明和，根据勾股定理求出BC的长即可得出结论．
【详解】解；（1）成立，理由如下：∵
∴∴
（2）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．过点C作CD⊥AB于D．设CD=h，
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴，．
∴，．∴．
同理，过点A作AH⊥BC于H，可证．∴．
故答案为：；；； ；
（3）①∵∠A=75°，∠B=60°，∴∠C=45°
∴把∠C=45°，∠B=60°，AB=c=6，代入得：，
∴，解得：b=，即AC=；
②∵AB=，AC=2，∴ ∴
过△ABC内切圆的圆心O作OE⊥AB，OG⊥AC，OF⊥BC，则OG=OE=OF=r，
∵∴AG=AE=OE=OG=r∴四边形AEOC是正方形
∵AC=2，∴CG=2-r∵AB= ∴BE=-r连接OC，OB，
∵OC为的平分线，∴
又，OC=OC∴
同理可得∴CF=CG=2-r，BF=BE=-r
而 ∴BC=4
∴BC=CF+BF=2-r+-r=4解得，r=故答案为：
【点睛】本题锐角三角函数的定义、勾股定理以及三角形的内切圆，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用．
14．（2023·江苏扬州·九年级阶段练习）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
；
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值
例：
根据以上阅读材料，请选择适当的公式答案下面的问题
(1)计算；(2)栖灵塔是扬州市标志性建筑之一（如图），小明想利用所学的数学知识来测量该塔的高度，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离为1.62米，请帮助小华求出该信号塔的高度．（精确到0.1米，参考数据：，）
【答案】(1)(2)27.7米
【分析】（1）把15°化为以后，再利用公式计算，即可求出的值；（2）先根据锐角三角函数的定义求出的长，再根据即可得出结论．
【详解】（1）解：；
（2）解：在中，，，，∴，
∵∴米，
∴∴信号塔的高度约为27.7米．
【点睛】本题考查了：（1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．（2）解直角三角形的应用—仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键．
15．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）关于三角函数有如下的公式：；；，利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值
如：
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
(1)求的值；(2)激光测速是目前道路测速方法中最为精准的一种，它是对被测车辆进行两次有特定时间间隔的激光测距，取得该一时段内被测车辆的移动距离，从而得到该车辆的移动速度．如图，在一条限速为80千米/小时的国道边上有一个激光测速仪P，该测速仪与车道中心的垂直距离米，在某一时刻测得某辆汽车从点A到点B的时间间隔为0.5秒，而第一次的点A在点P的北偏东75°，第二次的B点在点P的北偏东45°，请问该汽车是否超速？为什么？（1.732）
【答案】(1)(2)该汽车没有超速，理由见解析
【分析】（1）利用所给公式运算即可；
（2）构建直角三角形，解直角三角形求出长，然后计算出汽车的速度比较解题即可.
【详解】（1）
（2）该汽车没有超速.理由如下：
由题意，得,
，
在 中, ∴
在中, ∴.
∴
∴该汽车的速度为
∵ ,所以该汽车没有超速.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形利用三角函数计算是解题的关键.
16．（2022·山东济宁·统考二模）在中，，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如，等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较广泛．设，是锐角，定义：当时，两角和的余弦公式：．
例：计算的值．
，
两角差的余弦公式：．利用类比的方法运用公式求解．
(1)计算_______．(2)计算的值；
(3)一副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过A、B、C、D四点的矩形ABEF的面积．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）将变形为，利用两角差的余弦公式直接求解；
（2）利用两角差的余弦公式，可知，即可求解；
（3）利用三角函数先求出AD， AB的长，再利用（1）的结论求出AF的长，即可求出．
【详解】（1）解：当时，两角差的余弦，
，故答案为：；
（2）解：利用两角差的余弦公式可知，；
（3）解：由题意可知，，，
，，
，由（1）知，
，．
【点睛】本题考查锐角三角函数和矩形的性质，理解新定义、新公式，根据新定义求解是解题的关键．
【知识储备】
模型1、新定义模型
此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。
若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；
1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。
图1 图2
2）余弦定理：如图2， ．
3）正弦面积公式：如图2，.
4）同角三角函数的基本关系式:，。
5）和（差）、二倍角角公式：
; .
; .
.
例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB； 在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
(1)证明：如图2，过点作于点，在中，，
在中，，，；
(2)解：如图3，过点作于点，，，，
在中，
又，即，，．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
例2．（2022·湖南湘西·统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccsA；b2＝a2＋c2﹣2accsB；c2＝a2＋b2﹣2abcsC
现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____．
【答案】
【分析】从阅读可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2ABACcsA，将数值代入求得结果．
【详解】解：由题意可得，
BC2＝AB2＋AC2﹣2AB•AC•csA＝32＋42﹣2×3×4cs60°＝13，∴BC＝，故答案为：．
【点睛】本题考查阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用．
例3．（2022·山东青岛·校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．
问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究．
探究一：如图1，在中，，，，，求的面积．
在中，， ．．
探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含、、代数式表示），写出探究过程．
探究三：如图3，中，，，，求的面积（用、、表示）写出探究过程．
问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）．
问题应用：如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用、、表示）写出解题过程．
问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、、、、、表示），其中，，，，，．
【答案】，见解析；，见解析；一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半；；
【分析】探究二：如图2中，作于．求出高，即可解决问题；
探究三：如图3中，作于．求出高，即可解决问题；
问题解决：（）是a、b两边的夹角）；
问题应用：如图4中，作AH⊥CB于H．求出高，即可解决问题；
问题拓广：如图5，连接，由探究三的结论可得出答案．
【详解】解：探究二：如图2中，作于．
，，，，
在中，，，，．
探究三：如图3中，作于．
在中，，．
问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半．
故答案为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半．
问题应用：如图4中，作于．
在中，，．
问题拓广：连接，由探究三的结论可得：．
．．
【点睛】本题考查四边形综合题、三角形的面积、平行四边形的面积，锐角三角函数知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
例4．（2023春·四川泸州·八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式：
（海伦公式）； （秦九韶公式）．
(1)一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积；
(2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，，，，求的面积和边上得高的长．
【答案】(1)(2)的面积为84；边上得高的长为12
【分析】（1）利用两个公式分别代入即可；
（2）设，则，利用勾股定理得，，即，求解得，即，再利用勾股定理求解，然后利用三角形面积公式求出其面积即可．
【详解】（1）解：，
由海伦公式可得；
由秦九昭公式可得．
（2）解：设，则，，，，
，解得；∴
∴．∴．
【点睛】此题考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积公式和勾股定理是解题的关键．
例5．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ，cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cs60°+cs30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cs90°＝0，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．
【详解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cs45°+cs60°sin45°= =，故此选项正确；
②tan105°=tan（60°+45°）== ==-2-，故此选项正确；
③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cs45°-cs60°sin45°==，故此选项正确；
④cs90°=cs（45°+45°）=cs45°cs45°-sin45°sin45°==0，故此选项正确；
故正确的有4个．故选D．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键．
例6．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．
(1)已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算；
(2)求风叶的长度．
【答案】(1)(2)风叶的长度为米
【分析】（1）根据题中公式计算即可；（2）过点A作，连接，，先根据题意求出，再根据等腰对等边证明，结合第一问的结论用三角函数即可求，再证明四边形是矩形，即可求出．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴；
（2）解：过点A作，连接，，如图所示，
由题意得：米，，∴米，，
∵三片风叶两两所成的角为，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴米，
∵，，∴，由（1）得：，
∴米，∴米，
∵，，，∴四边形是矩形，∴米，
∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，∴，
∴米，∴风叶的长度为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．
例7．（2023·四川宜宾·校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为 ．
【答案】
【分析】过点作于，利用的正弦函数值，设出的长，根据勾股定理求出，最后根据的规定求值即可．
【详解】解：过点作于，如图所示，
，设，，
，，，
；故答案为：．
【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了等腰三角形的定义、勾股定理和三角函数等知识，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义以及新定义运算的规定是解答此题的关键．
例8．（2022春·浙江·九年级专题练习）阅读下列材料：
在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）．
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出．
阅读以上内容，回答下列问题：在中，．
（1）如图3，若，则__，_____；
（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含的式子表示）．
【答案】（1）；；（2）
【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可；（2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：（1）由勾股定理可得：
由三角函数的定义可得，
由材料可得：故答案为；
（2）取的中点，连接，过点作于点，如下图：
则，，，
在中，，在中，，
在中，，则
则 故答案为
【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线作所求角的直角三角形．
例9．（2022·重庆·校考一模）材料一：证明：．
证明：如图，作∠BAC=∠a，在射线AC上任意取一点D(异于点A)，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵DE⊥AB于点E，
∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2
∵∠BAC=∠a ∴．
材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来.
应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的长．
(2)在（1）题图中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和csa表示AB的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不可以，说明理由．
【答案】(1)(2)能，过程见解析
【分析】(1) 过点A作于点D，根据解直角三角形即可求得；
(2) 过点A作于点D，根据解直角三角形即可求得．
【详解】（1）解：过点A作于点D
，
（2）解：如图，过点A作于点D
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键．
例10．（2023春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：
(1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ；
(2)若角α的终边与直线重合，则的值；
(3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值；
(4)若，则的取值范围是 ．
【答案】(1)(2)或(3)(4)
【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可；（2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可；（3）由题意可得，然后依据定理列出关于x的方程，从而求出x的值，然后依据正切的定义求解即可；（4）依据三角形的三边关系可得，然后再得到，再求得的取值范围，即可求得结果．
【详解】（1）解：当时，，，，
，，，故答案为：．
（2）解：∵若角α的终边与直线重合，，，
当时，，当时，，
的值为或．
（3）解：，点，且，
，（正值舍去），．
（4）解：，，，
，，又，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质、三角函数的定义及完全平方公式，理解三角函数的定义是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；；现已知在中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用公式直接解答即可．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，整理得，，
解得或（负值舍去），故选：B．
【点睛】此题考查了三角函数的应用、解一元二次方程，正确理解公式并灵活运用是解题的关键．
2．（2020·四川广元市·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．
【详解】解：（1），故此结论正确；
（2），故此结论正确；
（3）故此结论正确；
（4）==
，故此结论错误.故选：C．
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.
3．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
【详解】解：∵，，
∴ 即，
，，故选：A．
【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．
4．（2023·安徽滁州·校考二模）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题．中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若 一个三角形的三边长分别为5，6，7，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为5，6，7的面积，从而可以解答本题．
【详解】∵S=∴若一个三角形的三边长分别为5，6，7，
则面积是：S=，故选A.
【点睛】此题考查二次根式的应用，解题关键在于结合题意列相应的二次根式并将其化简.
5．（2023·山东潍坊·统考二模）一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．请根据以上材料，求得tan75°的值为 ．
【答案】2+．
【分析】根据给定的公式，将，代入中计算化简即可．
【详解】解： tan75°=tan（45°+30°）=====2+．
故答案为：2+．
【点睛】本题考查了三角函数的计算以及用平方差公式进行分母有理化，读懂新定义的含义是关键.
6．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．
sin230°＋cs230°＝ ；
sin245°＋cs245°＝ ；
sin260°＋cs260°＝ ；
……
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cs2A＝ ．
【答案】 1 1 1 1
【详解】sin230°＋cs230°＝=1 ，
sin245°＋cs245°＝=1 ，
sin260°＋cs260°＝=1 ，
即可猜想出：对任意锐角，都有 故答案为：1；1；1；1
7．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据和新定义，代入计算即可．
【详解】解：
，故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，涉及新定义，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，能准确进行二次根式的计算．
8．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
【答案】
【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可．
【详解】解：如图，在中，
∵，∴．
∵，∴．∵为锐角，∴．
∵
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键．
9．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据代入进行计算即可．
【详解】解：=
===．故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
10．（2023·四川成都·成都外国语学校校考一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即 ，同理有：，所以．
即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．
根据上述材料，完成下列各题．
（1）如图（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A= ；AC= ；
（2）某次巡逻中，如图（3），我渔政船在C处测得钓鱼岛A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．
【答案】（1）60°,20;(2)10
【详解】（1）先利用三角形内角和定理求出∠A，再利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可；（2）在△ABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理AB的长即可．
解析：（1）∵∠B=45°，∠C=75°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60°，
根据材料有：，∴，即，∴AC=20，故答案为60°，20；
（2）如图，依题意：BC=40×0.5=20（海里），∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°．∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°，
∵∠ABE=75°，∴∠ABC=75°，∴∠A=45°，
在△ABC中， ， 即， 解之得：AB=10海里，
所以渔政船距钓鱼岛A的距离为10海里．
【点睛】本题考查的阅读理解题，涉及到三角函数等知识，弄清材料中知识，并能应用解决相关的问题是关键.
11．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）定义：在△ABC中，若AB＝c，AC＝b，BC＝a，则存在余弦定理：，，，即三角形一边的平方等于另两边的平方和减去这两边与这两边夹角的余弦的积的2倍．
例如：在图1中，，∴AC＝
请你利用余弦定理解答下列问题：(1)应用新知：在图2中，①若a＝2，b＝3，∠C＝60°，则c＝______；
②若，，，求∠A；
(2)迁移发散：如图3，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°方向上，在A处看灯塔B在客轮的北偏西30°方向距离海里处，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°距离6海里处，求此时C处到灯塔B的距离．
【答案】(1)①；②∠A=60°(2)C处到灯塔B的距离为海里
【分析】（1）根据给出的公式和已知条件计算即可；
（2）求出的度数，得到，代入公式计算即可．
【详解】（1）解：①由余弦定理得：，；
②根据题意，由余弦定理得：，
∴，∴；
（2）解：，，
，，
答： 处到灯塔的距离为海里．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，掌握方向角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（2023·广东云浮·统考一模）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA=，sinB=，∴c=，c=，∴=，
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．
【答案】==，理由见解析.
【分析】过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．
【详解】解:==，理由如下：如图，过A作AD⊥BC，BE⊥AC，
在Rt△ABD中，sin∠ABC=，即AD=csin∠ABC，
在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，
∴csin∠ABC=bsinC, ∴=，即=，
同理可得=， 则==．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
13．（2023·山东·一模）小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，BC=a=1，AC=b=，AB=c=2，那么．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系”．
这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“”的关系是否成立？ 答：______________．
（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：
如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，
∴sinA=______________，sinB=______________．
∴=_____________，=____________．
∴
同理，过点A作AH⊥BC于H，可证∴
请将上面的过程补充完整．（3）运用上面结论解答下列问题：
①如图4，在△ABC中，如果∠A=75°，∠B=60°，AB=6，求AC的长．
②在△ABC中，如果∠B=30°，AB=，AC=2，那么△ABC内切圆的半径为______．
【答案】（1）成立；（2）；；； ；（3）①；②
【分析】（1）根据三角函数的定义得到于是得到结论；
（2）过点C作CD⊥AB于D．根据三角函数的定义得到，，推出，．同理，过点A作AH⊥BC于H，可证，即可得到结论；
（3）①把∠C=45°，∠B=60°，AB=c=6，代入，解方程得到b=，即可得到结论；②过△ABC内切圆的圆心O作OE⊥AB，OG⊥AC，OF⊥BC，则OG=OE=OF=r，证明和，根据勾股定理求出BC的长即可得出结论．
【详解】解；（1）成立，理由如下：∵
∴∴
（2）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．过点C作CD⊥AB于D．设CD=h，
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴，．
∴，．∴．
同理，过点A作AH⊥BC于H，可证．∴．
故答案为：；；； ；
（3）①∵∠A=75°，∠B=60°，∴∠C=45°
∴把∠C=45°，∠B=60°，AB=c=6，代入得：，
∴，解得：b=，即AC=；
②∵AB=，AC=2，∴ ∴
过△ABC内切圆的圆心O作OE⊥AB，OG⊥AC，OF⊥BC，则OG=OE=OF=r，
∵∴AG=AE=OE=OG=r∴四边形AEOC是正方形
∵AC=2，∴CG=2-r∵AB= ∴BE=-r连接OC，OB，
∵OC为的平分线，∴
又，OC=OC∴
同理可得∴CF=CG=2-r，BF=BE=-r
而 ∴BC=4
∴BC=CF+BF=2-r+-r=4解得，r=故答案为：
【点睛】本题锐角三角函数的定义、勾股定理以及三角形的内切圆，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用．
14．（2023·江苏扬州·九年级阶段练习）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
；
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值
例：
根据以上阅读材料，请选择适当的公式答案下面的问题
(1)计算；(2)栖灵塔是扬州市标志性建筑之一（如图），小明想利用所学的数学知识来测量该塔的高度，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离为1.62米，请帮助小华求出该信号塔的高度．（精确到0.1米，参考数据：，）
【答案】(1)(2)27.7米
【分析】（1）把15°化为以后，再利用公式计算，即可求出的值；（2）先根据锐角三角函数的定义求出的长，再根据即可得出结论．
【详解】（1）解：；
（2）解：在中，，，，∴，
∵∴米，
∴∴信号塔的高度约为27.7米．
【点睛】本题考查了：（1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．（2）解直角三角形的应用—仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键．
15．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）关于三角函数有如下的公式：；；，利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值
如：
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
(1)求的值；(2)激光测速是目前道路测速方法中最为精准的一种，它是对被测车辆进行两次有特定时间间隔的激光测距，取得该一时段内被测车辆的移动距离，从而得到该车辆的移动速度．如图，在一条限速为80千米/小时的国道边上有一个激光测速仪P，该测速仪与车道中心的垂直距离米，在某一时刻测得某辆汽车从点A到点B的时间间隔为0.5秒，而第一次的点A在点P的北偏东75°，第二次的B点在点P的北偏东45°，请问该汽车是否超速？为什么？（1.732）
【答案】(1)(2)该汽车没有超速，理由见解析
【分析】（1）利用所给公式运算即可；
（2）构建直角三角形，解直角三角形求出长，然后计算出汽车的速度比较解题即可.
【详解】（1）
（2）该汽车没有超速.理由如下：
由题意，得,
，
在 中, ∴
在中, ∴.
∴
∴该汽车的速度为
∵ ,所以该汽车没有超速.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形利用三角函数计算是解题的关键.
16．（2022·山东济宁·统考二模）在中，，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如，等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较广泛．设，是锐角，定义：当时，两角和的余弦公式：．
例：计算的值．
，
两角差的余弦公式：．利用类比的方法运用公式求解．
(1)计算_______．(2)计算的值；
(3)一副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过A、B、C、D四点的矩形ABEF的面积．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）将变形为，利用两角差的余弦公式直接求解；
（2）利用两角差的余弦公式，可知，即可求解；
（3）利用三角函数先求出AD， AB的长，再利用（1）的结论求出AF的长，即可求出．
【详解】（1）解：当时，两角差的余弦，
，故答案为：；
（2）解：利用两角差的余弦公式可知，；
（3）解：由题意可知，，，
，，
，由（1）知，
，．
【点睛】本题考查锐角三角函数和矩形的性质，理解新定义、新公式，根据新定义求解是解题的关键．
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